一元积分总结

1、不定积分一、 不定积分性质与概念 1 原函数定义：如果在区间I上，可导函数F(x)的导数为f(x)，即对任一xI都有 F(x）=f(x)或者dF(x)=f(x)dx那么函数F(x)就称为f(x)在区间I上的原函数连续函数一定有原函数（连续则可导，可导即有原函数）2 积分定义：在区间I上，函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)在区间I上的不定积分，记作若F(x)为f(x)的一个原函数，则 C为常数 （切记 不要忘记常数C）3 原函数与不定积分的关系：互为逆运算例由于，所以的一个原函数，因此基本积分表(一定要记熟) （a>0 ,a1） 4 不定积分的性质性质1 设函数f(x)及g(

2、x)的原函数存在，则性质2设函数f(x)的原函数存在，k为非零常数，则（两条性质记住，你在做题的时候对于性质掌握不好，做题的时候不要忘记性质有时候可简化计算）例二、 不定积分计算1换元积分法（第一类换元和第二类换元）2分部积分法（记住基本类型，做题时看属于哪类，套用方法）第一类换元对于第一类换元法，总结可归纳为将dx凑成被积函数的变量，再套用基本公式例分析：被积函数是个多项式2cos2x，变量是2x，想办法把dx变成d2x，而d2x=2dx分析：有公式，所以可以把3+2x看成一个整体，dx变成d(3+2x)，但d(3+2x)= 2dx，所以原式前要加分析：被积函数出现两个变量，考虑换元，一般带

3、根号的，带多项式几次幂的会考虑换元的问题，换元以后问题会变得简单分析：被积函数,由2x和组成，观察得到dx2=2xdx，所以可以将2x拿到d后面，令x2=u， 最后把x2代入得到分析：被积函数中有x，而考虑到dx2=2xdx，进一步可得d（1-x2）=-2xdx，积分符号前提取出-，便可利用基本公式求解（还有些三角，反三角的不定积分求解的问题PPT上有，可以看看。三角函数的一些公式，基本三角公式，极化和差公式，万用公式，三角恒等式等要记熟，在求解三角的不定积分的时候可用来化简）三角函数公式两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB

4、-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tan(A-B) =cot(A+B) =cot(A-B) =倍角公式tan2A =Sin2A=2SinACosACos2A = Cos2A-Sin2A=2Cos2A-1=1-2sin2A三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA)3cos3A = 4(cosA)3-3cosAtan3a = tana·tan(+a)·tan(-a)半角公式sin()=cos()=tan()=cot()= tan()=和差化积 si

5、na+sinb=2sincossina-sinb=2cossincosa+cosb = 2coscoscosa-cosb = -2sinsintana+tanb=积化和差 sinasinb = -cos(a+b)-cos(a-b)cosacosb = cos(a+b)+cos(a-b)sinacosb = sin(a+b)+sin(a-b)cosasinb = sin(a+b)-sin(a-b)万能公式sina=cosa=tana=第二类换元法和第一类相反，是变化被积函数，主要用于以下三种情况：1）如果被积函数中含有可作变换x=a sint(或x=a cost)2）如果被积函数中含有可作变换x

6、=a tant(或x=a sht 用的不多)3）如果被积函数中含有可作变换x=a sect(或x=a cht 用的不多)如果被积函数中含有根式，则可直接令，将根式消去例分析：含有根式，所以令分析：虽然有代换公式但是，存在分母，采用倒代换，消除分母中的变量x分析：这是利用代换，属于第二类代换，也可以用后面提到的公式分析：根据1）如果被积函数中含有可作变换x=a sint(或x=a cost)想办法出现，然后通过代换一步步求解补充公式：公式挺多的，熟记可以减少计算，多做做题，然后可以熟悉一下换元法总结：在解答不定积分的时候，用换元法，要么换d后面的x，要么换前面被积函数，其目的都是转换成基本形式，

7、然后根据基本公式轻松得出答案。在第二类换元的时候要注意令被积函数=u时，要解出dx，就是先解出x=什么，然后对x关于u求导，详细看例题分部积分法利用两个函数乘积的求导法则，则简单归纳为一个公式：如果是两个函数乘积的形式，可以考虑分布积分法例 x 幂函数 cosx三角函数 保留幂函数分析：被积函数是两个基本函数即幂函数和三角函数的乘积，考虑分部积分。在使用分部积分的时候，主要是将一个基本函数提到d的后面即对一个基本函数先求导。 x 幂函数指数函数 保留幂函数 x2幂函数 ex指数函数 保留幂函数像这个题用到了两遍分部积分法 x幂函数 lnx对数函数 保留幂函数 x 幂函数 arctanx 反函数

8、 保留反函数这个题涉及到有理式积分，后面会提到，用的方法还是分部积分法到了这，你可能会有点疑问，遇到两个相乘的，被积函数应该保留哪个，哪个应该提到d后面去呢？教你个口诀：反对幂三指 意思是遇到两个基本函数相乘，被积函数保留的考虑顺序是反函数，对数函数，幂函数，三角函数，指数函数。也不能说绝对这样，但是对付你学的应该肯定没问题，我们解答也是按照这么个顺序来的。这几个基本函数形式应该吧，不知道问度娘，我不给你说明了。然后咱在从第一题来看，我用红字给你标出了趁热打铁再来几个典型点的题：最后是有理函数的积分两个多项式的商称为有理函数，又称有理分式的次数小于称为真分式，否则称为假分式假分式化为真分式 利用多项式除法真分式，如果分母可以分解为两个多项式的乘积，切没有公因式，那么它可以分拆成两个真分式之和，便于计算例分析：在化成两个有理式相加的时候，系数A，B的确定是关键，本题中分母可以化成两个多项式相乘，取两个多项式分别为两个有理式的分母，因为题目中的分子是一次，而分子中也只有一次的x，可确定A B中可定没有