2圆内接四边形性质定理

1、CD·OBAEP圆内接四边形性质定理证明：如右图：圆内接四边形ABCD，圆心为O，延长BC至E，AC、BD交于P，则：1、 圆内接四边形的对角互补：ABC+ADC=180°，BCD+BAD=180°2、 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角：DCE=BAD3、 圆内接四边形对应三角形相似：BCPADP4、 相交弦定理：AP×CP=BP×DP5、 托勒密定理：AB×CD+AD×CB=AC×BD一、圆内接四边形的对角互补的证明（三种方法）【证明】方法一：利用一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。CABD·

2、;O如图，连接OB、OD则A=，C=+=360°A+C=×360°=180°同理得B+D=180°（也可利用四边形内角和等于360°）【证明】方法二：利用直径所对应的圆周角为直角。设圆内接四边形ABCD证明：A+C=180°，B+D=180°连接BO并延长，交O于E。连接AE、CE。则BE为O的直径BAE=BCE=90°BAE+BCE=180°BAE+BCE-DAE+DAE=180°即BAE-DAE+BCE+DAE=180°DAE=DCE（同弧所对的圆周角相等）BAE-DAE

3、+BCE+DCE=180°即BAD+BCD=180°A+C=180°B+D=360°-（A+C）=180°（四边形内角和等于360°）【证明】方法三：A·OBCD12435678利用四边形内角和为360°及同弧所对的圆周角均相等连接AC、BD，将A、B、C、D分为八个角1、2、3、4、5、6、7、81+2+3+4+5+6+7+8=360（四边形内角和为360°） 4=1，7=2，8=5，3=6（同弧所对的圆周角相等）1+2+5+6=×360°=180°1+2=A 5+6=CA

4、+C=180°B+D=360°-（A+C）=180°（四边形内角和等于360°）2、 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角证明CD·OBAEP如图，求证：DCE=BADBCD+DCE=180°（平角为180°）BCD+BAD=180°（圆内接四边形的对角互补）DCE=BAD3、 圆内接四边形对应三角形相似如上图，求证：BCPADP，ABPDCP证明：CBP=DAP，BCP=ADP（一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。）又APD=BPC（对顶角相等）BCPADPBAP=CDP，ABP=DCP（一条弧所对圆周角

5、等于它所对圆心角的一半。）又APB=DPC（对顶角相等）ABPDCP4、 相交弦定理仍用上图，求证：AP×CP=BP×DP证明：BCPADP（圆内接四边形对应三角形相似）（相似三角形的三边对应成比例）AP×CP=BP×DPCD·OBAEP5、 托勒密定理求证：如图，四边形ABCD内接于圆O，那么AB×CD+AD×BC=AC×BD【证明】方法一：作辅助线AE，使BAE=CAD，交BD于点EABE=ACD（同弧AD所对的圆周角相等）BACE·OD又BAE=CADABEACD，即AB×CD=AC

6、15;BE (1)BAE=CADBAE+EAC=CAD+EAC即BAC=EAD又ACB=ADE（同弧AB所对的圆周角相等）ABCAED，即BC×AD=AC×DE (2)(1)+(2),得AB×CD+BC×AD=AC×BE+AC×DE=AC（BE+DE）=AC×BD【证明】方法二：利用西姆松定理证明托勒密定理。（提示：本题要使用正弦定理），初三现有知识还不能求证。广义托勒密定理广义托勒密(Ptolemy)定理指出，圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，其推论是任意凸四边形ABCD，必有AC·BDAB&#

7、183;CD+AD·BC，而且当ABCD四点共圆时取等号。内容：凸四边形对边乘积和对角线的积托勒密定理的推论：任意凸四边形ABCD，必有AC·BDAB·CD+AD·BC，当且仅当ABCD四点共圆时取等号。证明如下：在四边形ABCD中,连接AC、BD,作ABE=ACD,BAE=CAD，则ABEACD BE/CD=AB/AC,AB/AC=AE/ADBE*AC=AB*CD ,AB/AE=AC/ADBAE=CADBAE+EAC=CAD+EAC即BAC=DAE又AB/AE=AC/AD,ABCAEDBC/ED=AC/ADED*AC=AD*BC+,得AC*(BE+ED)=AB*CD+AD*BC又BE+