选修单元综合测试

1、单元综合测试二(第二章综合测试)时间：120分钟分值：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1抛物线yx2的准线方程是()A4y10B4x10C2y10 D2x10【答案】A【解析】p，准线方程为y，即4y10.2设k>1，则关于x，y的方程(1k)x2y2k21所表示的曲线是()A长轴在y轴上的椭圆 B长轴在x轴上的椭圆C实轴在y轴上的双曲线 D实轴在x轴上的双曲线【答案】C【解析】k>1，方程可化为1.表示实轴在y轴上的双曲线3下列曲线中离心率为的是()A.1 B.1C.1 D.1【答案】B【解析】双曲线1的离心率e.4在平面直角坐标系xOy中，已知ABC的顶点A(4,0)

2、和C(4,0)，顶点B在椭圆1上，则等于()A. B.C. D.【答案】C【解析】椭圆1中，长半轴长a5，短半轴长b3，半焦距c4，.5椭圆a2x2y21的一个焦点是(2,0)，则a等于()A. B.C. D.【答案】B【解析】椭圆a2x2y21可化为1，a<0，排除C、D.当a时，62，2(1)，62224，一个焦点是(2,0)6(2014·重庆理)设F1，F2分别为双曲线1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|PF2|3b，|PF1|·|PF2|ab，则该双曲线的离心率为()A. B.C. D3【答案】B【解析】不妨设点P是右

3、支上的一点，由双曲线的定义知，|PF1|PF2|2a，|PF1|，|PF2|，|PF1|PF2|×，解得3b4a，双曲线的离心率e.所以离心率为e.7抛物线yx2到直线2xy4距离最近的点的坐标是()A(，) B(1,1)C(，) D(2,4)【答案】B【解析】设P(x，y)为抛物线yx2上任一点，则P到直线的距离d，所以当x1时，d取最小值，此时P为(1,1)8设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()A. B.C. D.【答案】D【解析】设双曲线方程为1(a>0，b>0)，F(c,0)，B(0，b)，

4、则kBF，双曲线的渐近线方程为y±x，·1，即b2ac，c2a2ac，e2e10，解得e，又e>1，e，故选D.9(2014·辽宁理)已知点A(2,3)在抛物线C：y22px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为()A. B.C. D.【答案】D【解析】本题考查抛物线的几何性质、直线的斜率，直线与抛物线的位置关系由题意知，准线方程为x2，p4，抛物线方程：y28x，焦点坐标F(2,0)设过A点的直线为yk(x2)3，联立化简得y2y160，4(16)0，k，k2(舍去)将k代入方程，y8，x8.B点坐标为(8,8)

5、kBF.10连接双曲线1与1的四个顶点构成的四边形的面积为S1，连接它们的四个焦点构成的四边形的面积为S2，则S1S2的最大值是()A2 B1C. D.【答案】C【解析】x轴上的两个顶点为(a,0)，(a,0)，y轴上的两个顶点为(0，b)，(0，b)这四个顶点构成的四边形为菱形，面积S1·2a·2b2ab，焦点分别为(±c,0)，(0，±c)，则四个焦点构成的四边形为正方形，面积S2·2c·2c2c2.S1S2.当且仅当ab时，等号成立，故选C.11(2014·山东理)已知a>b>0，椭圆C1的方程为1，双曲线

6、C2的方程为1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为()Ax±y0 B.x±y0Cx±2y0 D2x±y0【答案】A【解析】本题考查椭圆、双曲线的几何性质e，ee·e()2a44b4，±双曲线的渐近线方程为y±x.12过椭圆C：1(a>b>0)的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若<k<，则椭圆离心率的取值范围是()A(，) B(，1)C(，) D(0，)【答案】C【解析】点B的横坐标是c，故B的坐标为(c，±)，又k(，)，B(c，

7、)斜率k.由<k<，解得<e<.二、填空题(每小题4分，共16分)13已知长方形ABCD，AB4，BC3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为_【答案】【解析】AB2c4，c2.又ACCB5382a，a4.椭圆离心率为.14(2013·江西理)抛物线x22py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线1相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p_.【答案】6【解析】本题考查抛物线的几何性质，方程的思想如图不妨设A(x0，)F(0，)，FDp，可解得A(，)在RtDFA中，tan30°，.p236，p6.15抛物线形拱桥的跨度是20米，拱

8、高是4米，每隔4米用一支柱支撑，其中最长支柱的长是_【答案】3.84 m【解析】如图，建立如图所示的平面直角坐标系设抛物线方程为：x22py(p>0)，点A(10，4)在抛物线上，1008p，p，x225y，其中最长一根长柱与抛物线的交点为B(x0，y0)，由题意知x02，y0，最长的支柱长为43.84(米)16设AB是椭圆1的不垂直于对称轴的弦，M为AB的中点，O为坐标原点，则kAB·kOM_.【答案】【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则中点M(，)，得kAB，kOM，kAB·kOM，又由b2xa2ya2b2，b2xa2ya2b2，得b2(xx)a2(y

9、y)0，即.三、解答题(共74分)17(本题满分12分)求以椭圆3x213y239的焦点为焦点，以直线y±为渐近线的双曲线方程【解析】椭圆3x213y239可化为1，其焦点坐标为(±，0)，所求双曲线的焦点为(±，0)，设双曲线方程为：1(a>0，b>0)，双曲线的渐近线为y±x，a28，b22，即所求的双曲线方程为：1.18(本题满分12分)设F1，F2分别是椭圆y21的左、右焦点若点P是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值【解析】由题意知a2，b1，c，所以F1(，0)，F2(，0)，设P(x，y)，则·(x，y)

10、·(x，y)x2y23(3x28)由于x2,2，故当x0，即点P为椭圆短轴端点时，·有最小值2；当x±2，即点P为椭圆长轴端点时，·有最大值1.19(本题满分12分)如图所示，椭圆1的左、右焦点分别为F1，F2，一条直线l经过F1与椭圆交于A，B两点，若直线l的倾斜角为45°，求ABF2的面积【解析】由椭圆的方程1知，a4，b3，c.由c知F1(，0)，F2(，0)，又ktan45°1，直线l的方程为xy0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由消去x，整理得25y218y810，|y1y2|.SABF2|F1F2|·|

11、y1y2|×2×.20(本题满分12分)在直角坐标系xOy中，点P到两点(0，)，(0，)的距离之和为4，设点P的轨迹为C，直线ykx1与C交于A，B两点(1)写出C的方程；(2)若，求k的值【解析】(1)设P(x，y)，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，)，(0，)为焦点，长半轴为2的椭圆它的短半轴b1，故曲线C的方程为x21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足消去y并整理得(k24)x22kx30，故x1x2，x1x2.若，则x1x2y1y20.而y1y2k2x1x2k(x1x2)1，于是x1x2y1y210，化简得4k210，所以k±

12、.21(本题满分13分)已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率e，椭圆上的点到焦点的最短距离为1，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A、B，且A3P.(1)求椭圆方程；(2)求m的取值范围【解析】(1)设C：1(a>b>0)，设c>0，c2a2b2，由条件知ac1，a1，bc，故椭圆方程为y21.(2)当直线斜率不存在时，m±，满足条件，当直线斜率存在时，设直线l的方程为ykxm，与椭圆C交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得整理得(k22)x22kmx(m21)0，(2km)24(k22)(m21)4(k22m22)>

13、0，(*)x1x2，x1x2，A3P，x13x2，由消去x1，x2，得3()20.整理得4k2m22m2k220，m2时，上式不成立；m2时，k2，k20，1m<或<m1，把k2代入(*)得1<m<或<m<1.1<m<或<m<1.综上，m的取值范围为1<m或m<1.22(本题满分13分)(2014·山东理，21)已知抛物线C：y22px(p>0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|FD|.当点A的横坐标为3时，ADF为正三角形(1)求C的方

14、程；(2)若直线l1l，且l1和C有且只有一个公共点E.()证明直线AE过定点，并求出定点坐标；()ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由【解析】(1)由题意知F(，0)，设D(t,0)(t>0)，则FD的中点为(，0)因为|FA|FD|，由抛物线的定义知3|t|，解得t3p或t3(舍去)，由3，解得p2.所以抛物线C的方程为y24x.(2)()由(1)知F(1,0)设A(x0，y0)(x0y00)，D(xD,0)(xD>0)，因为|FA|FD|，得|xD1|x01，由xD>0得xDx02，故D(x02,0)故直线AB的斜率kAB.因为直线l1和直线AB平行，设直线l1的方程为yxb，代入抛物线方程得y2y0，由题意0，得b，设E(xE，yE)，则yE，xE.当y4时，kAE，可得直线AE的方程为yy0(xx0)，由y4x0，整理可得y(x1)，直线AE恒过点F(1,0)当y4时，直线AE的方程为x1，过点F(1,0)所以直线AE过定点F(1,0)()