江苏专转本高等数学模拟试题与解析(四)

1、、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共24分，请把正确答案的结果添在划线上）江苏省20XX年普通高校“专转本”统一考试模拟试卷(四)高等数学注意事项：1 .考生务必将密封线内的各项填写清楚。2 .考生必须要钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上，写在草稿纸上无效。3 .本试卷五大题24小题，满分150分，考试时间120分钟。一、选择题(本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合要求的，请把所选项前的字母填在题后的括号内)。1、下列极限存在的是 ()xX3 11A lim 4 B、lim C、limn xD、hmsin i3x3-1Cdx-1x -12、函数y

2、= x -1在则x =1处()A、连续B、不连续 C、可导D、可微3、函数f(x)=xsinx在闭区间10,1上的最大值为()冗A、0B、1C、1 sin1 D、一24、不定积分 f f b/x)dVx =()A、 f(7x)B> f(G)+CC、f (x)D> f(x)+C5、方程y+2y'+y =e=sinx的特解形式为()A、AesinxB、Ax2e«sinx-x2 ,.、C、e (Asin x Bcosx)D、Ax (sin x cosx)6、直线 工二=y =z±1与平面的x-y +z = 1的位置关系是()21-1A、垂直B>平行冗冗C

3、、夹角为-D>夹角为ax bx 2 一7、已知 a,b为常数，lim=3Ua=,b =- 2x1,1.8、d=dx1 +x °329、y=x -3x +5的拐点是。10、定积分 j4x2(1x3)dx =。11、哥级数f (-1)n 1nxn的收敛域是n12、设 z+ez=xy,Fz则丁 =二 y三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）。13、求极限1 -cosx limx-0 xsin x14、已知摆线的参数方程x=a(t -Sint)十 d yi,求一2y = a(1 - cost) dx15、求不定积分1 1 xdx。1 ex16、计算定积分 t-J dx。2x

4、 , x2 -117、计算J(x + y)dxdy,其中D由y = x2,y = x在第一象限所围的区域。三 ：2z,Fx ；x；y18、已知函数z = f (x2 y2,xy),其中f (u,v)有二阶连续偏导数，求19、求一曲线方程，使得此曲线在任一点处的切线斜率等于2x + y,并且曲线通过原点。x -2 y 1 z-2 一20、求过点（2,1,1）,平行于直线 =1=且垂直于平面x + 2y 3z + 5 = 0的32-1平面方程。四、证明题(每小题9分，共18分)21、证明：当 xa0 时，ln(1+x)<x。b22、设 f(x)在a,b上有连续导数，且 f(a) = f(b)

5、=0, f2(x)dx = 1,证明: ab1ax f (x) f (x)dx =-五、综合题（每小题10分，共20分）23、计算y=e"与直线y =0之间位于第一象限内的平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积。24、在半径为R的半圆内作内接梯形，何时面积最大?江苏省20XX年普通高校“专转本”统一考试模拟试卷解析(四)高等数学一、选择题(本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合要求的，请把所选项前的字母填在题后的括号内)。1、下列极限存在的是 ()a、xim4xBx 1.D、limsin x " x -1lim -zc、 lim I

6、n xx，二3x3 -1 x ：00解析：求极限时，先判断极限类型，若是0或一型可以直接使用罗比达法则，其余类型可00以转化为0或一型。不过，在求极限时应灵活使用多种方法，特别是无穷小量或是无穷大0量阶的比较，无穷小量与有界变量的乘积还是无穷小量等性质。极限存在是指它的极限为一个有限的数值，无穷或振荡均属极限不存在情况。x3 11 一一，一,lim二一二-(最高次系数比值)，故本题答案选Bx : 3x3 -132、函数y = x -1在则x =1处()A、连续B、不连续C、可导D、可微解析：本题考查可导与连续之间的关系。也可从几何直观上加以解释。连续是指曲线在该点没有断开，可导是在连续的基础上

7、考查曲线在该点的光滑性(“尖”点处没有导数)。连续是可导的必要而非充分条件。故本题答案选A 3、函数 f (x) = x -sinx在闭区间b,1】上的最大值为()冗A、0 B、1 C、1 -sin1 D、2解析：本题考查闭区间上连续函数最值求法。先求区间内部的可能极值点(驻点、不可导点)，再将它们所对应的函数值与区间端点的函数值进行比较即可。又f '(x) =1 -cosx >0, f (x)在闭区间(0,1)上单调递增，故f (x)在x =1处取得最大值，最大值f (1) = 1 -sin1,故本题答案选 C4、不定积分f'(Jx)d/x=()A、f(Vx)B、f(T

8、x)+CC、f (x)D> f(x)+C解析：该题考察不定积分的基本概念以及凑微分法。求f(x)的不定积分就是找那些导数为f(x)的所有函数全体，不定积分求解正确与否，只要反过来求导是否为被积函数即可。f ( ,x)d . x = f (. X) C ,故本题答案选 bX5、万程y +2y +y=e sinx的特解形式为()x2 x .A、Ae-sinxB、Axe-sinx2,C、e (Asin x Bcosx)D、Ax (sin x cosx)解析：解微分方程首先要判别类型，该方程是二阶常系数线性非齐次方程。(1)齐次方程y"+py'+qy =0 ,其中p,q为常数。

9、求解步骤：1)特征方程 九2十p九+ q = 0,求根%,九2。2)儿，互异实根，y =Ge九x+c2e%x,% = %, y = G e" + c2xe2x ；A,2 =a ±i P( P 00), y =6倍(。cosPx + .sin Px)。(2)非齐次方程y" + py' + qy = f (x),通解为其所对应的齐次方程通解加上本身特解y*。第一种：f (x) =e谯Pm(x ),其中Pn(x)表示m次多项式。解结构：y =齐次方程通解y +特解y*。特解y形式设定如下：(1)识别 ct ,m ;(2)考查a作为特征根的重数个数 k ;(3)特

10、解可设为 y*(x) = xke8Qm(x ),0p不是特征根；其中Qm(x/示m次多项式。k = ”,a是单根；2p是二重根；第二种：f (x) =ecx(Pm(x JoosBx 广 Pn (x Jsin(Px),其中Pm(x), P,(x )表示m,n次多项式。解结构：y =齐次方程通解y +特解y *。特解y*形式设定如下：(1)识别 % p, m,n ；(2)计算N=a+ip, k = N和特征根儿，儿相等个数，l=max(m, n)。(3)特解可设为 y *(x )=xke°x(Ql (x )cos(Bx )十(?(x )sin( Px),A其中Ql(xQl(x)为l次多项

11、式。甘+ 。 +iP不是特征根；的.口谷依生斗 乂 .、其中k=<口故本题答案为 C：e (Asinx+ Bcosx),其中A,B待1, a十甲是特征根；,定系数。6、直线 二二1 = y =三口与平面的x-y +z = 1的位置关系是() 21-1A、垂直B、平行C、夹角为D>夹角为解析：考查直线与平面之间的位置关系，主要是平面的法向量与直线的方向向量之间的关系。直线的方向向量为"s=(2,1,1),平面的法向量为n=(1=1,1)；T TT T显然，s，n =0 ,即s _L n ,故直线平行于平面或在平面内。又直线上点(1,0, -1 )不满足平面方程，所以，该直线

12、平行于已知平面。故本题答案选B、填空题(本大题共6小题，每小题6分，共24分，请把正确答案的结果添在划线上)2. 一,b =ax bx 27、已知 a,b 为常数，lim=3Ua =2x-1解析：该题为极限反问题，考查有理分式极限lim £m1个)，只需比较分子与分母的次数即可, x ： Pn x00 ,二一，先判断极限类型，若是Y或型可以直接使用罗比达法则， 其余类型可以转化为 -或一型。0 二0 二0, m : nHm.Pm x .'Pn( x) '分子与分母最高次系数之比值,二， m n；故a = 0,b =6，故本题答案选B,1.8、d=dx1 + x

13、76;1解析：该题考查微分的形式不变性，常规凑微分方法。d ln(1 +x) = dx 。1 x3_ 29、y=x -3x +5的拐点是解析：曲线上凹凸性发生改变的界点称为拐点。它可能出现在f (x)=0的点或f“(x)不存在的点。由于多项式函数处处二阶可导，故拐点处的二阶导数一定为零。然后再看该点左右二阶导数是否变号求出拐点。令y” = 6x6=0,得x = 1,此时y=3。又 x<1 时，y" = 6x_6<0； x>1 时，y" = 6x6>0。故拐点为(1,3)。2 5-Q10、定积分匕 J4x2(1x3)dx =。解析：该题考察奇偶函数的定

14、积分在对称区间上的积分性质以及定积分的几何意义。a10,f(x)为奇函数f f(x)dx=a；I 2j0 f (x)dx, f(x)为偶函数一x2 (1-x3)dx4 -x2dx=4 - x2 dx - x3, "2- _2=2二-0 =2二这里因为函数f(x) =x3 '，4-x2是奇函数，故积分为零，积分 jj4 x2dx表示半径为2 的上半圆的面积。一二 n xn11、哥级数 工(-1)的收敛域是nWn解析：对于哥级数Z anxn ,如果 lim n田tan 1an=P(或段 0IJ = P),则1收敛半径R =,收敛区间为(-R, R )。再将x = ±R代

15、入级数具体考查。若薛QO级数、anxnn=0缺少的奇次项(偶次项)或上述极限不存在(不是无穷) 项级数处理。本题 lim 亘 =lim n =1,所以 R = =1,n - ann E: n - 1,则此时将x当作常量转化为常数oOx =1时，级数工n 1(-1)nn1收敛，x = -1时，级数1 1发散，故收敛域为-1,1)。n d nod对于哥级数 工an(x-x0)n只需作变量代换x x0=t即可。 n 1zq z12、设 z+e =xy ,贝U =o：:y 解析：由方程F(x,y,z) =0决定隐函数z= z(x, y)。求偏导公式为:FL yy =lFz(也可方程或等式两边直接对某个

16、变量求偏导，将z看作该变量的元函数，另外一个变量当作常量)zzF =z +e -xy ,=:yFy _Fz - -1 ezxVez三、计算题(本大题共8小题，每小题8分，共64分)。13、求极限1 f cosx lim。x0 xsin x解析:1 -cos x 1 -cosx 1lim 二 lim 2-二-x 0 xsin x x 0 x 2(当xt 0时，sin x与x为等价无穷小量,1 -cosx 与1 x2为等价无穷小量)2x =a(t 一sint)0 d2y14、已知摆线的参数方程«，求一y °y = a(1-cost) dx解析：由参数方程所确定函数的导数是常考的

17、一个内容，首先需要熟记求导公式a(1 -cost)t _ sin t a(t -sint)t1 -cost15、求不定积分 f 一二dx。1 ex1a(1 - cost)2dx =1 ex -11exdx= (1x；)dx = x -1 exdex1一 1n(1 d C2 ,cost(1-cost)-sin t1(1 - cost)2a(1 - cost)1解析：该题使用凑微分法，f (e x)e xdx -1 f (e-x)de-x是经常遇见的固定类型a16、计算定积分 (dx。 2x.XTi解析：该题使用第二类换元法，作三角代换 x=sed, dx =tantsectdt ,且 x = T

18、2时,1.3 tantsect 3 .xx21 1 X- t tantsect 一 7ji ji ji1217、计算JJ(x + y)dxdy,其中D由y = x2,y = x在第一象限所围的区域。D解析：二重积分问题是很多“专转本”同学的难点。首先要理解二重积分的几何意义，特别 是对称型简化积分计算。首先要画出积分区域(如图)，然后根据被积函数的特点与区域的形状选择适当的坐标以及适当的积分顺序。一般当被积函数形如f (x2 +y2),区域形状为圆形、圆环、扇形(环)等，往往使用极坐标计算；否则，往往用直角坐标计算。1 x1 i(x y)dxdy = dx (x y)dyx2= 1(xy +

19、； 02)xdxx21二 .(x203-x1-x24)dx23x -x-1x4)dx11017、解析：积分限为无穷的广义积分，当收敛时其收敛值的计算和正常的定积分一样，也有类似的牛顿-莱布尼兹公式：f(x)dx = F(x) =F(y) F(a),所以ae dt = (-e ).-22- .-x ；x：y18、已知函数z= f(x - y , xy),其中f (u,v)有二阶连续偏导数，求解析：该题型是几乎每年必考，需要认真掌握。 第一步：变量x, y,z的关系网络图TICz4'：其中1, 2分别表示x2_y2,xy第二步：寻找与x对应的路径计算的过程可以总结为“路中用乘，路间用加”z

20、 _ _一=f1 2x f2 y-2,二 z:x :y:x=2x % -2y3 x f2 y f2i -2yf22 x-4xyf112x2f12f2 - 2 y2 f21xyf2219、求一曲线方程，使得此曲线在任一点处的切线斜率等于2x + y,并且曲线通过原点。解析：导数的几何意义表示曲线在该点切线的斜率，由此先建立微分方程。一阶线性非齐次方程y'十P( x)，y = Q(x)的通解为_ P(x)dxy 二eQ(x)P(x)dxe dx C本题 y' = 2x + y 且 y(0) =0,即 y'y=2x, P(x) = 1, Q(x)=2x,1dx通解 y =e_

21、 1dx2x e dx C二ex -2xe，-2e，C =2x-2 Cex由于 y(0) = 0 得 0 = 2+C,C=2所以，曲线方程为 y =2ex -2x 2x-2 y 1 z-2一20、求过点(2,1,1),平行于直线 =-=且垂直于平面x + 2y 3z + 5 = 0的32-1平面方程。解析：求平面方程，基本方法是使用点法式。求出平面上的一个定点和法向量平面上的定点 (2,1,1)已知，直线 x2 =工1 =3二2的方向向量 S = 3,2,1,平面 32-1x+2y 3z + 5 = 0的法向量 京=1,2,3；由条件容易得到 ! n1,故可取.i j kn=sxn1 = 3

22、2 1 = ",8, 4 = H «1, 2, 11 2 -3平面点法式方程为：1(x2) 2(y 1)1(z1) =0,即 x2y z+1 = 0。四、证明题(每小题9分，共18分)21、证明：当 xa0 时，ln(1+x)<x。解析：函数不等式的证明方法很多，其中利用单调性证明不等式是经常使用的一种方法。可使用单调性证明的问题通常形式为x>a或x<a时，证明f(x)g(x)；通常设辅助函数 F(x)= f(x)g(x),证明F(x) = f (x) g(x)是单调的。、一一1x设 F(x)=ln(1+x) x, Fx)=-1=-1+x 1+x，当x A0时，F(x)<0 F(x)是严格单调递减的，F(x) <F(0) =0,即 ln(1 +x) <xob _222、设 f(x)在a,b上有连续导数，且 f(a) = f(b)=0, f f2(x)dx = 1,证明： ab _ .1f x f (x) f (x)dx = 一 。a2解析：定积分是一个值，计算的基本方法是牛顿 莱布尼兹公式。本题被积函数为抽象函数， 一般使用定积分的分部积分法。bb1bx f(x)