數概念(原型)

1、主題：整數的數概念 撰寫者：謝堅子題1：利用數字或數詞溝通個數11：數概念與數概念的表徵12：透過點數活動利用數詞及數字溝通個數13：數字的大小與個數的多少14：20以內數詞與數字的學習子題2：整數的命名及說、讀、聽、寫、做21：省略的數詞序列22：1100的命名及說、讀、聽、寫、做23：1011000的命名及說、讀、聽、寫、做24：100110000的命名及說、讀、聽、寫、做子題3：序數31：集合數、順序數與識別數32：集合數與順序數的異同子題4：印度阿拉伯記數系統41：位值概念42：十進位表示法43：數字大小的比較子題1：利用數字或數詞溝通個數11：數概念與數概念的表徵認知及數學結構：(一

2、)數概念與數概念表徵的意義：數概念是看不見，摸不到的，我們經常使用的數字(例如5)或數詞(例如)，都是數概念的表徵。數字是與他人溝通數概念的文字符號，數詞是與他人溝通數概念的聲音符號，不同時代、不同地區的人們，發展出不同的數字符號，例如巴比倫數字，羅馬數字，希臘數字等，現在世界通用的數字是印度阿拉伯數字，但是不同地區的人們使用不同的聲音來讀印度阿拉伯數字。除了數詞或數字之外，還有其它表徵數概念的方法，遠古時代的人類，不會使用現在的數字與數詞來溝通數量，但是可以透過伸出5根手指頭、拿出5個小石頭、在木頭上刻出5個刻痕或點5下頭等方式，溝通抓到羊的個數是5隻。國小階段，整數教學的重點是建立學生的數

3、概念，並學會使用印度阿拉伯數字與數詞來表徵個數。(二)數概念的迷失會用數詞或數字等表徵，不一定有數概念，例如學童看到骰子出現5點，口中能唸出點時，並不代表他已經有了數概念，如果他是透過點數5個黑點唸出，唸出的數詞是數概念的表徵，如果他只是認圖識字，把骰子的圖像稱為點，唸出的數詞並不是數概念的表徵，只是骰子圖像的名字。部份成人習慣使用大姆指及小姆指表徵6(大姆指代表5、小姆指代表1)，使用大姆指及食指表徵7(很像阿拉伯數字7)，這兩種表徵與數概念沒有直接的關係，它們只是數字圖像的特殊表徵。下面是喜宴開桌前討論加法的案例：成人甲先要求幼稚園大班的學童乙用手指頭表徵6，乙伸出大姆指及小姆指表徵6，甲

4、接著詢問6個蘋果和3個蘋果合起來是多少個蘋果，乙先伸出左手的大姆指及小姆指，再伸出右手的3根手指後開始數，回答有5個蘋果，發現答案不對，向弟弟丙借6根手指頭，才算出正確的答案。12：透過點數活動利用數詞及數字溝通個數認知及數學結構：(一)數概念與一對一的對應關係甲昨天晚上夢到天上只剩下 顆星星，早上醒來看不見星星，他如何與別人溝通夢到星星的個數？ 上圖左上方直接畫出5個星星的圖像，左下方用1個圓圈代表1個星星的方式，畫出5個圓圈來表示星星的個數；右上方用數詞，右下方用數字5來表示星星的個數，左邊和右邊這兩類表徵中，誰比較容易溝通星星的個數？為什麼？數概念是建立在一對一的對應關係上，上圖左邊的兩

5、個圖像與5顆星星之間都滿足一對一對應的關係，因此很容易溝通星星的個數，例如古時候，人們曾經利用綁繩結或在木頭上刻刻痕的方式來描述個數，5個繩結或5個刻痕，可以代表所有由5個元素所構成集合的個數。上圖右邊的數字5及數詞與星星之間並不滿足一對一對應的關係，為什麼數字與數詞也可以溝通星星的個數？(二)如何利用數詞來溝通個數和綁繩結的概念相同，發出5個聲音，也能夠溝通星星的個數，但是，發出相同的5個聲音和不同的5個聲音，誰比較容易溝通星星的個數？相同的聲音，在相互傳遞的過程中，很容易發生失誤；如果透過約定，建立一套標準的數詞序列，讓每一個人發出不同聲音的順序都一樣，就能夠透過點數活動，以一個聲音對應一

6、個物件的方式，建立一對一對應關係，並利用最後一個聲音(例如)，抽象的代表前面唸過的那幾個(例如5個)聲音，來溝通個數，下圖說明如何利用標準數詞序列來溝通個數。 ò 上圖中有兩個，第二行最右邊的，是數詞序列中的一個元素；最下面單獨出現的，是前面5個聲音（數詞序列）抽象的代表。學生必須透過模仿及不斷的練習，才能掌握並區分抽象出來聲音及數詞序列第5個聲音的意義。 (三)如何利用數字來溝通個數(1)如何利用數字來溝通個數：有兩種幫助學生利用數字來溝通個數的方法：第一種方法是類比利用數詞溝通個數的方法，以一個數字對應一個物件的方式，建立一對一對應的關係，並利用最後一個數字(例如5)，抽象的代表

7、前面寫過的那幾個數字，下圖說明如何利用數字序列來溝通個數。 1 2 3 4 5 ò 5 第二種方法是當學生已經掌握用最後一個聲音(例如)抽象的代表前面唸過的那幾個(例如5個)聲音後，直接學習抽象出來聲音(例如)的寫法(例如5)。因為點數一堆物件的個數時，逐一寫出數字序列字來對應很不方便，建議採用第二種方法引入數字，當學童掌握數詞的意義後，再透過已經掌握的數詞來學習數字。(2)如何學習數字的寫法很多幼稚園教師連結圖像及數字的關係，透過鉛筆1、天鵝2、耳朵3、帆船4、.的口訣幫助學生學習數字，這些數字所對應的圖像是成人主觀的想法，認為數字2的樣子像天鵝，數字4的樣子像帆船，但是，很多學生

8、可能沒有見過天鵝或帆船，因此必須先介紹天鵝或帆船的圖像，才能利用天鵝或帆船的圖像來學習數字。建議教師先詢問學童數字像什麼，再利用學童熟悉的圖像來學習對應數字的寫法。當學生學習數字4寫法的時候，教師應該畫出4條帆船或只畫出1條帆船？如果教師只畫出1條帆船，此時的教學重點是利用圖像學習數字4的記法，與數字所連結的數概念無關；如果教師畫出4條帆船，此時的教學重點是4條帆船的個數4的記法。建議教師應畫出4條帆船，或先畫出4個星星或拿出4個花片，再溝通要寫的數字是星星或花片的個數，畫出的帆船只是幫助記憶數字4的寫法。數字的寫法對摜用右手的學生比較方便，摜用左手的學生書寫6、9等數字時並不順暢，可能寫出對

9、稱記法的數字，書寫0、8等數字時筆順可能不正確，建議教師多體諒這些學生，讓他們有較多改正數字寫法的時間。13：數字的大小與個數的多少認知及數學結構：(一)個數的多少2個西瓜比5粒葡萄大很多，為什麼數字2比數字5小？，這是幼稚園或國小一年級學童常問的問題，為什麼他們會混淆數字2比數字5小的意義？ 日常生活中，人們常使用大、小來描述兩個物件面積或體積比較的結果，例如西瓜比葡萄大，指的是西瓜的體積比葡萄大；使用多、少來描述兩堆物件個數比較的結果，例如透過一對一對應的方法來比較西瓜和葡萄的個數，1個西瓜對應1粒葡萄後，葡萄還有剩下，我們說5粒葡萄比2個西瓜多或2個西瓜比5粒葡萄少，不會說5粒葡萄比2個

10、西瓜大或2個西瓜比5粒葡萄小。建議在國小一年級階段，比較西瓜及葡萄的個數後，教師應使用5粒葡萄比2個西瓜多或2個西瓜比5粒葡萄少的語詞來描述比較的結果，不宜使用5比2大或2比5小的語詞來描述比較的結果。(二)數字的大小5比2大，指的是兩個集合大小的關係，當集合A包含於集合B的時候，數學上稱集合A比集合B小，或稱集合B比集合A大。和利用最後一個聲音抽象的代表前面唸過的那幾個聲音的概念相同，可以用最大的數字2抽象的代表數字序列所構成的集合1、2，用最大的數字5抽象的代表數字序列所構成的集合1、2、3、4、5。因為集合1、2包含於集合1、2、3、4、5，所以集合2比集合5小，簡稱為2比5小。國小學生

11、無法理解集合大小的意義，建議教師在二年級時，才可以透過5個比2個多，可以說成5比2大、2個比5個少，可以說成2比5小的方式引入5比2大或2比5小的語詞來描述比較個數的結果。14：20以內數詞與數字的學習認知及數學結構：(一)如何幫助學生學習數詞與數字我們可以透過下列六個步驟幫助學生學習數詞與數字：步驟1：讓學生有很多具體物對應具體物一對一對應的解題經驗，能判斷兩堆物件個數的多少，並描述甲堆物件比乙堆物件多(少)，或兩堆物件一樣多。步驟2：能唱出標準數詞序列。步驟3：能透過一個聲音對應一個物件的方式，進行點數活動。步驟4：能抽象地使用最後一個聲音，描述某一堆物件的個數是多少個。步驟5：能書寫數字

12、來代表數詞。步驟6：能使用數字或數詞，進行說、讀、聽、寫、做的活動。學生有了步驟1中物件對應物件一對一對應的解題經驗，並無法保證學生能自發性的進行步驟3中的點數活動，因為點數並不是物件對應物件的活動，而是聲音對應物件的活動，如果學童無法進行一個聲音對應一個物件的點數活動，教師應多提供學童模仿的機會。(二)如何檢查學生是否掌握數詞及數字的意義國小一年級的數學課本，都是站在檢查的角度引入數字及數詞，下面說明教師如何檢查學生是否掌握數詞及數字的意義。(1)透過點數活動，檢查數詞的意義教師先要求學生點數一堆蘋果(例如5個)有多少個，當學生透過點數活動，得到有5個蘋果的答案後，接著詢問5個蘋果在哪裡？。

13、如果學生指著第5個蘋果說5個蘋果在這裡，他並沒有掌握使用最後一個聲音來描述蘋果個數的意義；如果學生的回答的與意是合起來有5個蘋果，他才可能掌握使用最後一個聲音來代表前面5個聲音點數的意義。(2)檢查個數的保留概念：教師將5粒糖果緊密的排列成一堆，再將另5粒糖果鬆散的排列成一堆，接著要求學生分別點數這兩堆糖果的個數。當學生說出這兩堆蘋果都是5粒後，接著詢問哪一堆糖果比較多？。如果學生回答鬆散的那一堆糖果比較多，或緊密的那一堆糖果比較少，表示他沒有個數的保留概念，因為5個糖果的個數是不會改變的，而學生受到排列方式的影響，誤認為排列鬆散的5個糖果比排列緊密的5個糖果多。教師也可以利用朝三暮四的成語故

14、事，檢查學生是否掌握個數的保留概念。子題2：整數的命名及說、讀、聽、寫、做21：省略的數詞序列認知及數學結構：(一)又一、又十、又百及又千等數詞序列1、2、3、4、5；98、99、100、101、102等這些一個一數的數詞序列，可以稱為又一數詞序列；10、20、30、40、50；78、88、98、108、118等這些十個一數的數詞序列，可以稱為又十數詞序列；100、200、300、400、500；718、818、918、1018、1118等這些百個一數的數詞序列，可以稱為又百數詞序列；1000、2000、3000、4000、5000；7128、8128、9128、10128、11128等這些千

15、個一數的數詞序列，可以稱為又千數詞序列。面對零散排列的7個一元硬幣，可以透過又一數詞序列，1、2、3、4、5、6、7來點數，算出共有7元。面對已經10個排成一堆的一元硬幣(如圖一)，還是可以利用又一數詞序列來點數，由1開始數到24，算出共有24元；但是利用又十及又一數詞序列，10、20、21、22、23、24；或1、2、3、4、14、24來點數，算出共有24元比較有效率。jjjjjjjjjj jjjjjjjjjj jjjj (圖一)面對3個十元及4個一元硬幣時(如圖二)，透過又一數詞序列無法算出共有多少元，只能點數出共有7個錢幣；必須透過又十及又一數詞序列，10、20、30、31、32、33、

16、34；或1、2、3、4、14、24、34來點數，才能算出共有34元。 s s s j j j j (圖二)面對4張百元及3張千元鈔票時，透過又一數詞序列來點數，只能算出有4張百元鈔票及3張千元鈔票，必須透過又百數詞序列，100、200、300、400來點數，才能算出4張百元鈔票是400元，透過又千數詞序列，1000、2000、3000來點數，才能算出3張千元鈔票是3000元；透過又百及又千數詞序列1000、2000、3000，3100，3200，3300，3400來點數，才能算出3張千元鈔票和4張百元鈔票合起來是3400元。由上面的說明可以知道，學生必須掌握又一、又十、又百及又千等數詞序列，才

17、能解決日常生活中確定物件個數的問題，例如點數一堆鈔票合起來是多少元。(二)又二及又五等數詞序列(1)又二及又五數詞序列日常生活中，我們除了會10個、100個、1000個一數之外，還會2個或5個一數；為什麼我們會2個、5個、10個、100個、1000個一數，但是不會3個或7個一數？主要的理由是又二或又五數詞序列聲音的節奏有規律，比較容易順利且外速的唱出來。請由178開始，透過每次多5的方式，唱出又五的數詞序列，剛開始唱出178、183、188、193、.時，可能唱的不是很順利，但是唱幾個數之後，就能掌握聲音節奏的規律，快速的順利唱下去。接下來，請透過每次多2個、多3個及多7個的方式，分別唱出又二

18、、又三及又五數詞序列，我們會發現，又二數詞序列很容易掌握聲音節奏規律，但是又三及又七數詞序列，不易掌握聲音節奏的規律，以又七數詞序列為例，就算唱出178、185、192、199、206、213、220、227、234、.很多個數詞，也無法快速或順利的唱下去。(2)二個一數的點數策略點數一堆零散排列的物件時，一個一數很麻煩，我們都會利用2個一數的方式，較有效率的數出物件的個數。部份教師認為透過大聲唸出數詞1、小聲唸出數詞2、再大聲唸出數詞3、小聲唸出數詞4、.的方式，可以幫助學生學會利用兩個一數的策略來點數物件的個數，這是錯誤的想法，因為學生進行的還是逐一的點數，大聲、小聲交替的唸出數詞序列，無

19、法幫助學生掌握又二的數詞序列，只會讓唱數更麻煩。因為一次拿走2個物件並不困難，因此只要學生熟記2、4、6、8、10、12、.的又二數詞序列，就能類比逐一點數的策略，透過二個一數的方式，較有效率的算出零散物件的個數。部份教師誤認為點數零散排列的物件時，也可以利用5個一數或10個一數的方式，比2個一數更有效率的數出物件的個數，這也是不正確的想法，雖然學生很容易掌握又五及又十的數詞序列，但是他們無法不經過逐一點數，很快的一次拿出5個或10個物件，也就是說，大多數的學生或成人，點數零散排列的物件時，最有效率的方法是兩個一數。(3)五個及十個一數的點數策略點數一堆零散排列的物件時，部份教師會要求學生，先

20、每十個排成一堆，或先每十個畫一個圓圈後，再開始點數，這也不一定是正確的點數方式。如果學生不會又十的數詞序列，也就是不會10個一數，就算每十個排成一堆或畫一個圓圈，他還是只能重新進行1個一數或2個一數的活動，十個排成一堆或畫圓圈是多餘的解題活動。成人要求先將10個物件排成一堆或圈起來，主要的目的是一次點數10個物件比較不會出錯，而且10個物件排成一堆或圈起來後，可以利用十個一數的方式，快速的算出答案。建議教師應該思考學童有那些先備經驗，不應該要求學童模仿成人自以為最有效率的解題策略。(三)成比例的教具與不成比例的教具國小階段經常透過下面這四組教具，幫助學童建立又一、又十、又百及又千等數詞序列。吸

21、管：1根、1綑（10根）、1把（10綑）。積木：白色積木、橘色積木、百格板、千格板。 錢幣：一元、十元硬幣，百元、千元鈔票等。圖像：j、s、百、千等。我們可以把這四組教具分成兩類，第一類是成比例的教具，包含吸管和積木這兩組教具；第二類是不成比例的教具，包含錢幣及圖像這兩組教具。吸管及積木是成比例的教具。10根吸管綁起來就是1綑吸管，10綑吸管綁起來就是1把吸管；10個白色積木接起來的長度和1條橘色積木一樣長，10條橘色積木拼排起來的面積和1片百格板一樣大，10個百格板疊起來的體積和1塊千格板一樣大等。錢幣、圖像是不成比例的教具，十元硬幣的面積、體積或重量，都不是一元硬幣的10倍，一百元紙鈔的面

22、積、體積或重量，也不是十元硬幣的10倍；圖像s的面積、體積不是圖像j的10倍，圖像百的面積、體積也不是圖像s的10倍。下面說明這四組教具的特色及教學注意事項：1.吸管：1綑吸管與10根吸管之間，滿足一對一對應的關係。1綑吸管拆開後，就是10根吸管，而10根吸管綁起來，就是1綑吸管。當學生不知道為什麼7根吸管，再來1捆吸管，也就是10根吸管，合起來會是17根吸管，教師可以將1捆吸管拆開，讓學生由7根開始逐一點數那一捆拆開的吸管，得到合起來是17根的答案後，再將拆開的吸管合起來，幫助學生相信7根吸管，再來10根吸管，合起來會是17根吸管的結果。建議教師首次進行又十及又一數詞序列的教學時，使用吸管當

23、做教具。2.積木：1條橘色積木和10個白色積木的個數不一樣多，並不滿足一對一對應的關係，必須透過長度相等的等價關係，才能使用1條橘色積木來代表10個白色積木。也就是說，10個白色積木接起來永遠不會變成1條橘色積木，必須透過它們一樣長的關係，學生才能理解用1條橘色積木來代表10個白色積木的意義。剛開始使用積木進行教學時，建議教師先溝通1條橘色積木和10個白色積木接起來一樣長，可以拿1條橘色積木換10個白色積木，也可以拿10個白色積木換1條橘色積木；接著再透過這裡有7個白色積木，再來1條橘色積木，合起來和多少個白色積木接起來一樣長？的問話，來溝通又十的意義；最後才能引入這裡有7個白色積木，再來1條

24、橘色積木，合起來是多少個白色積木？的問話。3.錢幣：1枚十元硬幣和10枚一元硬幣的個數不一樣多，不滿足一對一的對應關係；10枚一元硬幣合起來的面積或體積，和1枚十元硬幣也不一樣大，不滿足面積或體積相等的等價關係；1枚十元硬幣和10枚一元硬幣等值，是經濟上的約定。日常生活中學生有很多使用錢幣的經驗，因此部份教師認為透過錢幣來學習又十及又一數詞序列最有效率，其實不然，學生雖然會利用又十及又一數詞序列唸出錢幣合起來是多少元，他可能只是將錢幣相加的結果記下來，但是不理解又十及又一數詞序列的意義。4.圖像：j、s兩圖像間的關係和1元及10元的關係相同，10個j等於1個s也是建立在相互的約定或共識上。因為

25、畫出圖像比拿出吸管、積木或錢幣方便許多，當學生有足夠使用吸管或積木溝通又十數詞序列的經驗後，建議教師先引入錢幣替代積木，再透過錢幣引入圖像，讓圖像成為解題最方便的教具。22：1100的命名及說、讀、聽、寫、做認知及數學結構：(一)命名及說、讀、聽、寫、做(1)命名活動：命名活動是給名字的活動，學生必須先學會標準數詞序列，才有辦法進行點數活動，1至100的命名活動，指的是建立1至100的標準數詞序列、.，以及寫出對應的數字1、2、3、.，標準指的是相同地區的人，必須唱出相同的數詞序列，或寫出相同的數字，才能溝通物件的個數。(2)說、讀、聽、寫活動當學生學會標準數詞序列之後，就能透過點數活動，確定

26、一堆物件的個數。其中說是使用數詞(聲音)來描述這堆物件的個數是多少個，聽是聽懂別人說出的數詞所代表物件的個數；寫是使用數字(符號)來描述這堆物件的個數是多少個，讀是看懂別人寫出來的數字所代表物件的個數。(3)做數(表現數)活動做數(表現數)指的是聽到數詞或看到數字，能拿出相對應個數的物件，例如聽到數詞個蘋果，或看到數字5個蘋果，能拿出5個蘋果。課堂中不可能準備多種物件供學生做數，當沒有蘋果時，教師應幫助學生利用花片或畫圈圈的方式代表蘋果，能拿出5個花片或畫出5個圈圈代表5個蘋果。部份教師可能不知道為什麼要進行做數活動，以問題甲有5個蘋果，乙有3個蘋果，二人合起來共有幾個蘋果？為例，如果教師直接

27、教加法，要求學生利用加法解題，做數活動對學生可能沒有幫助；如果學生不會加法，但是可以透過點數活動來確定數量，他必須學會做數才能夠解決加減問題。上面的問題中只有描述題意的文字，沒有蘋果可以數，學生看到問題中的數字5及3後，必須分別做出5個及3個蘋果，才能透過點數活動，算出一共有8個蘋果的答案。當學生建立數概念之後，教師必須幫助學生，連絡聲音符號(數詞)、文字符號(數字)及物件個數之間的關係，例如桌上有5個蘋果，學生能夠使用數詞或數字5來描述蘋果的個數，聽到數詞，能寫出數字5或拿出5個蘋果，看到數字5，能讀出數詞或拿出5個蘋果。(二)數字及數碼0、1、2、3、4、5、6、7、8、9這十個數字符號稱

28、之為數碼，數碼是印度阿拉伯記數系統所使用的基本符號，透過位值概念及逢十進一的約定，這十個數碼經過排列組合，可以最經濟的表徵所有的數量。成人能掌握印度阿拉伯記數系統位值概念，認為學童應該先學習構成數字的基本元素數碼後，才能夠開始學習數字，先學習數碼，對學童數概念的建立有幫助嗎？當我們說桌上有5個蘋果，5是描述蘋果個數的數字，5不是組成數字的數碼，當學完整數、分數及小數之後，發現所有的數字都是由09這十個符號所組成時，才能引入數碼的概念。部份教師認為國小低年級應該先引入09的教學，因為它們是組成所有數字的基本元素，這是不正確的想法，因為對國小一年級學生而言，09都是數字，而不是數碼，建議教師應該由

29、數字的觀點，先進行110或010的教學。(三)120及0的命名及說、讀、聽、寫、做(1)110的命名及說、讀、聽、寫、做數詞序列是社會性的知識，之後讀作，或3之後記成4，都是一種約定，並沒有數學上邏輯推理的意義，因此只能透過模仿，利用唱數將數詞序列背起來，進行110的命名活動。當學生學會110的數詞及數字後，教師可以布置不同具體物的情境，要求學生進行說、讀、聽、寫、做的活動，幫助學生察覺這一套數詞或數字，可以描述不同種類物件的個數，並強調數字與數詞間的轉換。因為數量範為不大，點數不會太麻煩，因此點數的對象應該多樣化。(2)1120的命名及說、讀、聽、寫、做如果無法看到數詞或數字命名的規律，學生

30、一輩子也無法學完或記憶所有的數詞序列，幫助學生察覺並掌握數詞或數字命名的規律，是國小階段命名活動的重點。因為所有的數字都是由數碼所組成，當學生學會寫0至9的數字之後，只要能唸出數詞，寫出數字並不困難，因此後面的命名活動，討論的重點都是如何引入標準數詞序列。只知道110命名的規律，學生是否有能力透過類比，自己進行1120的命名活動？如果教師有學習德文、俄文等外國語言的經驗，學會110的命名後，可以自行類比進行1120的命名嗎？如果不可能，只能要求學生透過模仿，利用唱數將數詞序列背起來，進行1120的命名活動。當學童學會1120的數詞及數字後，教師可以布置不同具體物的情境，要求學童進行說、讀、聽、

31、寫、做的活動，並強調數字與數詞間的轉換。(3)0的命名及說、讀、聽、寫、做下面提出三種0命名的教學活動：第一種：直接宣告0的記法及讀法，或宣告沒有可以記成0，讀作，再舉桌上沒有蘋果的例子，要求學生進行0的說、讀、聽、寫活動。第二種：將桌子擦乾淨，不放蘋果，直接問桌上有多少個蘋果？當學童回答沒有蘋果時，再宣告沒有蘋果可以記成0個蘋果，讀作個蘋果。第三種：透過由有到無，由無到有連續的情境，引入0的命名，例如在桌上放3個蘋果，要求學童說出個蘋果，或記成3個蘋果，再依序拿走1個蘋果，進行相同的活動，當桌上沒有蘋果時，教師宣告沒有蘋果可以記成0個蘋果，讀作個蘋果後。建議教師能採用第三種方式進行0的教學。

32、(四)2150的命名及說、讀、聽、寫、做(1)2130的命名及說、讀、聽、寫、做當熟悉120的數詞與數字時，學童有機會類比120命名的規律，進行較大數量的命名活動。國小一年級學童不易掌握類比命名的意義，2130命名的教學重點是幫助學童形成尋找命名規律的共識，教師可以透過120命名的舊經驗，幫助學童嘗試透過類比進行2130的命名活動。當學童點數完20個花片後，再拿出1個花片，詢問20個花片，再來1個花片，合起來是多少個花片？如果學童無法命名，教師可以提示10個花片，再來1個花片，合起來是11個，那麼20個花片，再來1個花片合起來是多少個花片？如果學童還是無法命名，教師應直接宣告20個花片，再來1

33、個花片，合起來是21個花片。(2)3150的命名及說、讀、聽、寫、做當學童注意到2130命名的規律後，應該有能力自行命名3150，教師應檢查學童是否察覺到數詞序列命名的規律。因為3150的數量不大，建議教師以進行又一數詞序列的命名為主，不必進行又十數詞序列的命名。(五)51100的命名及說、讀、聽、寫、做當學童注意到命名的規律後，應該有能力自行命名5199的又一數詞序列；因為國小一年級學童無法掌握十進位結構及位值的意義，99的下一個數詞是100，可以直接由教師宣告。本此階段的教學重點是建立又十數詞序列。因為十個一數的數詞有規律，很容易掌握，當學童學會又一數詞序列後，很容易唱出又十數詞序列，因此

34、，我們可以幫助學童利用又十數詞序列，讓點數活動更有效率。如下圖，我們可以利用又一數詞序列，由1開始點數到20，並用最後一個聲音20，來代表前面的20個聲音。也可以利用又十數詞序列，10、20來點數，先利用10來代表1到10那10個聲音，再利用20來代表1到20那20個聲音。 1 2 3 10 1112 19 20 建議教師不要只進行10、20、30、.、90又十數詞序列的命名活動，還要進行3、13、23、.、93；8、18、28、.、98等又十數詞序列的命名活動，它們對以後透過點數策略解決加法問題，會有很大的幫助。相同的理由，建議教師也要求學童進行又一及又十數詞序列的倒數活動，因為它們對以後透

35、過點數策略解決減法問題，會有很大的幫助。23：1011000的命名及說、讀、聽、寫、做認知及數學結構：(一)101200的命名及說、讀、聽、寫、做因為101200、201300、.、9011000的命名結構類似，教師應先幫助學生掌握101到200的命名，再要求學生自行類比201到1000數量範圍的命名。建議教師提供學生由100讀到200的經驗，因為它是200至999命名的基礎。101到200命名活動中，教師可以站在檢查的角度進行又一數詞序列及又十數詞序列的命名，其中101到109的命名規律，無法由100以內命名類推，教師在教學中應特別強調。至於199的下一個數詞是什麼，教師可以先提示，99的下

36、一個數詞是100，199的下一個數詞是多少，如果學生無法命名，教師可以直接宣告。當學生知道199的下一個數詞是200時，有相當大的機會能說出299的下一個數辭是300。(二)2011000的命名及說、讀、聽、寫、做透過對101200數詞序列的掌握，學生應該會自行命名201至1000，教師應站在檢查的角度進行又一及又十數詞序列的命名之外，還要進行又百數詞序列的命名。24：100110000的命名及說、讀、聽、寫、做認知及數學結構：(一)10012000的命名及說、讀、聽、寫、做因為10012000、20013000、.、900110000的命名結構類似，因此教師應先幫助學童掌握1001到2000

37、的命名，再要求學童自行類比至200110000數量範圍的命名。1001到2000命名活動中，教師應站在檢查的角度進行又一數詞序列、又十數詞序列及又百數詞序列的命名，其中1001到1099的命名無法由1000以內命名類推，教師在教學中應特別強調；另外1999的下一個數詞是2000，教師可以提問199之後是200，999之後是1000，請問1999之後是多少？，幫助學童類比以前的命名規律自行命名。(二)200110000的命名及說、讀、聽、寫、做透過對10012000數詞序列的掌握，學生應該會自行命名2001至10000，教師應站在檢查的角度進行又一、又十及右百數詞序列的命名之外，還要進行又千數詞

38、序列的命名。至於9999的下一個數詞是10000，教師可以提問99之後是100，999之後是1000，請問9999之後是多少？，幫助學生類比以前的命名規律自行命名。子題3：序數31：集合數、順序數與識別數認知及數學結構：集合數、順序數與識別數是三種不同概念的數。集合數是描述某一個集合元素的個數，例如全班共有25個人、我跑了60公尺，其中的25及60都是集合數；而順序數是坐標概念的前置經驗，標示某一物件在群體中的位置，群體必須按照某種特性加以排列以顯示其先後的次序，才能夠討論序數的意義，例如：月考成績由高至低排序後，知道甲的成績是全班第5名，或翻開課本第13頁，其中的第5及第13都是順序數；而識

39、別數只是某一個物件對應的數字名稱，例如：監獄中犯人的編號0871，或摸彩卷的號碼1425，其中的0871及1435都是識別數。國小階段教學的重點是集合數及順序數。32：集合數與順序數的異同認知及數學結構：(一)集合數與順序數的差異集合數1、2、3、.及順序數第1、第2、第3、.的中文描述很相似，部份教師誤認為它們是相同的概念，並爭議誰是誰的先備經驗，其實集合數和順序數是兩種完全不同的數概念，英文的集合數One、two、three和順序數first、secand、third的文字描述完全不同，可以驗證它們是不同的數概念。(二)集合數與順序數的關係國小階段，集合數要學到億、兆等大數，順序數也要學到

40、第1億個或第1兆個嗎？為什麼多數的數學課本，順序數的教材只安排到50或200以內？數詞序列中存在唱數先後的順序，因此可以利用數詞序列唱數先後的次序，來標示某一物件在群體中的位置，當學生察覺到這層關係後，就能透過數詞序列，掌握順序數的意義。建議順序數的教學也要和集合數一樣，進行命名及說、讀、聽、寫的活動，當學童掌握順序數的意義，以及數詞序列先後的順序關係後，就能自行掌握大數順序數的意義。子題4：印度阿拉伯記數系統41：位值概念認知及數學結構：(一)不同記數法的差異羅馬記數法CCCXXIIII、中國記數法3佰2拾4壹及印度阿拉伯記數法324；上面三種記數法記錄了相同的數量，哪幾種記數法有位值概念？

41、(1)羅馬記數法：CCCXXIIII羅馬記數法是加法概念的記數法，CCCXXIIII中CCC代表3個100，XX代表2個10，IIII代表4個1，而CCCXXIIII代表300204。CCCXXIIII中C、X、I只是100、10及1的簡記，如果不討論羅馬記數法中減法的意義，它們代表什麼數量，與它們所在的位置無關，如果將CCCXXIIII改記成CXICXICII，也是可以溝通數量的記法，因此羅馬記數法沒有位值的概念。(2)中國記數法：參佰貳拾肆(壹)中國記數法是乘法概念的記數法，利用壹、貳、.、玖等符號來溝通不同單位的個數。參佰貳拾肆(壹)表示百有3個、十有2個，一有4個，合起來是100

42、15;310×21×4。參、貳、肆記錄了什麼單位的個數，是由後面所描述的單位詞壹、拾、佰來決定，並不是由它們所在的位置來決定，如果將參佰貳拾肆(壹)改記成貳拾肆壹參佰，也是可以溝通的記法，因此中國記數法沒有位值的概念。(3)印度-阿拉伯記數法：324印度阿拉伯記數系統是十進位制的記數系統，只要使用09等10個數碼，加上逢十進一的原則與位值概念，就可以將所有的個數都表示出來。324中的3是3個100、2是2個10、4是4個1，3、2、4記錄了什麼單位的個數，是由它們所在的位置來決定，不同的位置記錄了不同數值，如果我們將324改記成243，它們將代表不同的數量，因此印度-阿拉伯

43、記數法是有位值概念的記數法。(二)位值概念因為不同數字所記錄的單位是由它們所在的位置來決定，因此數碼0的引入非常重要。如果沒有0，3024、30204等都記成324，就會混淆不同數字所代表單位的意義。十進位表示法只要使用09十個數碼，加上逢十進一的原則與位值概念，可以將所有的數量都表示出來。相同的概念，二進位表示法只用0，1兩個數碼；五進位表示法只用0，1，2，3，4五個數碼，都可以表示所有的數量。印度阿拉伯數字左邊位置的位值都是相鄰右邊位置位值的10倍，稱之為等比例的概念。透過等比例的概念，可以說明在計算5×10的時候，就是把被乘數5由個位的位置移到十位的位置，十位數字5表示50，

44、所以只要在被乘數5的後面加一個0，就能得到積數50；相同的理由，在計算70÷10的時候，就是把被除數70中7由十位的位置移到個位的位置，因此只要將被除數70右邊的0消去，就能得到商數7。42：十進位表示法認知及數學結構：(一)為什麼77這個數字中，左邊的7是右邊的7的10倍？77這個數字中，左邊的7和右邊的7一模一樣，為什麼左邊的7是右邊的7的10倍？左邊的7是7個s，右邊的7是7個j，它們的個數一樣多，因此由個數的觀點，左邊的7是右邊的7的1倍。左邊的7和右邊的7的單位不一樣，不能討論它們的差異量和倍數關係，必須將它們轉換成相同的單位才能比較。如果都轉換成j，左邊的7是7個s，也就是70個j，右邊的7是7個j，所以左邊的7是右邊的7的10倍。如果都轉換成s，左邊的7是7個s，右邊的7是7個j，也就是0.7個s，左邊的7還是右邊的7的10倍。(二)十進位表示法十進表示法是學習多項式的先備經驗，最容易溝通印度阿拉伯數字的位值概念。以多項式f(x)2x23x4為例，當x10的時候，f(10)2×1023×104234，數學上