第1章 1.2 第2课时　余弦定理(2)

1、.第2课时余弦定理2学习目的：1.理解余弦定理，能用余弦定理确定三角形的形状.2.纯熟边角互化重点自 主 预 习·探 新 知1射影定理在ABC中，bcos Cccos Ba；ccos Aacos Cb；acos Bbcos Ac.2平行四边形性质定理平行四边形两条对角线平方的和等于四边平方的和特别地，假设AM是ABC中BC边上的中线，那么AM.考虑：三角形的形状类别很多，按边可分为等腰三角形，等边三角形，其他；按角可分为钝角三角形，直角三角形，锐角三角形在判断三角形的形状时是不是要一个一个去断定？提示不需要假如所知条件方便求角，只需判断最大的角是钝角，直角，锐角；假如方便求边，假设最

2、大边为c，可用a2b2c2来判断cos C的正负而判断边或角是否相等那么一目了然，不需多说根底自测1在ABC中，假设BC3，那么ccos Bbcos C_.解析ccos Bbcos CBC3.答案32假设ABC中，AB1，AC3，A60°，那么BC边上的中线AD_.解析在ABC中，由余弦定理可知BC.AD.答案合 作 探 究·攻 重 难利用正、余弦定理解决实际问题某巡逻艇在A处发现北偏东45°相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75°的方向以10 n mile/h的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14 n mile/h的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应

3、该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？思路探究先画出示意图，再借助正、余弦定理求解解如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x h后在B处追上走私船，那么CB10x，AB14x，AC9，ACB75°45°120°，由余弦定理，得14x29210x22×9×10xcos 120°，化简得32x230x270，即x或x舍去，巡逻艇需要1.5 h才追赶上该走私船BC10x15，AB14x21.在ABC中，由正弦定理，得sinBAC×.BAC38°13，或BAC141°47钝角不合题意，舍去，38°13

4、45°83°13.答巡逻艇应该沿北偏东83°13方向去追，经过1.5 h才追赶上该走私船规律方法准确理解应用题中的有关名称、术语，如仰角、俯角、方位角等，将要求解的问题归纳到一个或几个三角形中，通过合理运用余弦定理等解三角形的有关知识，建立数学模型，然后正确求解.跟踪训练1两船同时从A港出发，甲船以20 n mile/h的速度向北偏东80°的方向航行，乙船以12 n mile/h的速度向北偏西40°方向航行，求一小时后，两船相距多少n mile.解一小时后甲船到B处，乙船到C处，如图，ABC中，AB20，AC12，CAB40°80&#

5、176;120°，由余弦定理，得BC22021222×20×12·cos 120°784，BC28n mile即一小时后，两船相距28 n mile.利用正、余弦定理判断三角形的形状在ABC中，abcabc3ab，且2cos Asin Bsin C，试确定ABC的形状. 【导学号：57452019】思路探究abcabc3ab求C；2cos Asin Bsin C求A与B的关系解abcabc3ab，a2b2c2ab，2abcos Cab，cos C，C.法一：又2cos Asin Bsin CsinABsin Acos Bcos Asin B，s

6、in Acos Bcos Asin B0，sinAB0，AB，ABC，ABC为等边三角形法二：由2cos Asin Bsin C可知2b×c，即b2a2，ab，ABC，ABC为等边三角形规律方法利用正、余弦定理断定三角形形状的策略跟踪训练2在ABC中，假设B60°，2bac，试判断ABC的形状解法一：根据余弦定理得b2a2c22accos B.B60°，2bac，a2c22accos 60°，整理得ac20，ac.又2bac，2b2a，即ba.ABC是正三角形法二：根据正弦定理，2bac可转化为2sin Bsin Asin C.又B60°，AC

7、120°，C120°A，2sin 60°sin Asin120°A，整理得sinA30°1，A60°，C60°，ABC是正三角形.利用正、余弦定理度量平面图形探究问题1在ABC中，假设ADBC，那么ABcos BACcos C的值为多少？提示如图，易知ABcos BBD，ACcos CCD，又BDCDBC，故ABcos BACcos CBC.2在ABC中，假设AD是BAC的平分线，那么BD与DC有什么关系？提示BDDCABAC.3在ABC中，假设AD是BC边上的中线，那么AD与AB，AC，BC间存在怎样的等量关系？提示4AD

8、22AB2AC2BC2.如图1­2­1，在平面四边形ABCD中，ABAD，AB1，AC，ABC，ACD.图1­2­11求sinBAC；2求DC的长思路探究1在ABC中，由余弦定理求BC，在ABC中由正弦定理求BAC的正弦值2解1在ABC中，由余弦定理得：AC2BC2BA22BC·BAcos B，即BC2BC60，解得：BC2，或BC3舍，由正弦定理得：sinBAC.2因为ABAD，所以CADBAC，所以cosCADsinBAC，sinCAD，所以sin Dsin××，由正弦定理得：DC.母题探究：1.变条件将本例中四边形AB

9、CD满足的条件改为BAD90°，BCD150°，DAC60°，AC2，AD1.求CD的长和ABC的面积解在ACD中，由余弦定理得CD2AD2AC22AD·ACcosCAD6，所以CD.在ACD中，由正弦定理得，那么sinADC，又0°<ADC<120°，所以ADC45°，从而有ACD75°，由BCD150°，得ACB75°，又BAC30°，所以ABC为等腰三角形，即ABAC2，故SABC1.2变结论本例条件不变，求ACD的面积解由例题解答知sin D，sinCAD，在ACD

10、中由正弦定理得AD，SACDAC·AD·sinCAD×××.规律方法正、余弦定理在几何计算中的应用技巧(1)抓住条件及待求式子的特点，恰中选择定理.(2)正弦定理常用来边角互化，余弦定理常用来联络三边的关系求边或角.(3)正确挖掘图形中的几何条件，简化运算.当 堂 达 标·固 双 基1在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a4bsin A，那么cos B_.解析a4bsin A，由正弦定理知sin A4sin Bsin A，sin B，cos B.答案2假设平行四边形两邻边的长分别是和，它们的夹角是45°，那

11、么这个平行四边形的两条对角线的长分别是_解析两条对角线的长分别为和.答案3A，B两地的间隔 为10 km，B，C两地的间隔 为20 km，经测量，ABC120°，那么A，C两地的间隔 为_ km. 【导学号：57452019】解析AC21022022×10×20×cos 120°，AC10.答案104在ABC中，AB，点D是BC的中点，且AD1，BAD30°，那么ABC的面积为_解析因为D为BC的中点，所以SABC2SABD2××AB·AD·sinBAD2×××1&

12、#215;sin 30°.答案5如图1­2­2所示，在四边形ABCD中，BC20，DC40，B105°，C60°，D150°，求：图1­2­21AB的长；2四边形ABCD的面积解1连结BD，因为ABC105°，C60°，ADC150°，所以A360°105°60°150°45°.在BCD中，BD2BC2CD22BC·CDcos C2024022×20×40×1 200，于是BD20.因为BD2BC2CD2，所以CBD90°