第1章 1.3 正弦定理、余弦定理的应用

1、.1.3正弦定理、余弦定理的应用学习目的：1.稳固正、余弦定理的应用，纯熟掌握解三角形的步骤与过程重点2.可以运用正、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题难点3.方向角与方位角的区分及应用易混点自 主 预 习·探 新 知方位角方位角是从指北方向顺时针转到目的方向线的角根底自测考虑辨析1方位角和方向角是同一个概念2从A处望B处的仰角为 ，从B处望A处的俯角为，那么.3从C地看A，B二人的方位角分别为30°，45°，那么ACB为75°.4甲看乙南偏东30°，那么乙看甲北偏西30°.答案1×23×4

2、合 作 探 究·攻 重 难正、余弦定理在物理学中的应用如图1­3­1，墙上有一个三角形灯架OAB，灯所受的重力为10 N，且OA，OB都是细杆，只受沿杆方向的力试求杆OA，OB所受的力图1­3­1思路探究先借助向量的合成与分解画出图示，然后借助正弦定理求解解如图，作F，将F沿A到O，O到B两个方向进展分解，即作OCED，那么F1，F2.由题设条件可知，|10，OCE50°，OEC70°，所以COE180°50°70°60°.在OCE中，由正弦定理，得，因此，|F1|11.3，|F2|1

3、2.3.答灯杆OA所受的拉力为11.3 N，灯杆OB所受的压力为12.3 N.规律方法在运用正弦定理、余弦定理解决力的合成与分解问题时，通常涉及平行四边形，根据题意，选择一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解.跟踪训练1作用于同一点的三个力F1，F2，F3平衡F130 N，F250 N，F1与F2之间的夹角是60°，求F3的大小与方向准确到0.1°. 【导学号：57452019】解F3应和F1，F2的合力F平衡，所以F3和F在同一直线上，并且大小相等，方向相反如图，在OF1F中，由余弦定理，得F70N，再由正弦定理，得sinF1OF，所以F1OF38.2&

4、#176;，从而F1OF3141.8°.答F3为70 N，F3和F1间的夹角为141.8°.正、余弦定理在几何中的应用如图1­3­2，在ABC中，B，AC2，cos C.图1­3­21求sinBAC的值；2设BC的中点为D，求中线AD的长思路探究12解1因为cos C，且C是三角形的内角，所以sin C.所以sinBACsinBCsinBCsin Bcos Ccos Bsin C××.2在ABC中，由正弦定理得，那么BC×sinBAC×6，所以CDBC3.又在ADC中，AC2，cos C，所以由

5、余弦定理得，AD.规律方法应用解三角形知识解决实际问题需要以下四步1分析题意，准确理解题意，分清与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语；2根据题意画出示意图，并将条件在图形中标出；3将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦、余弦定理等有关知识正确求解；4检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进展取舍，得出正确答案.跟踪训练2.如图1­3­3所示，ACD是等边三角形，ABC是等腰直角三角形，ACB90°，BD交AC于E，AB2.图1­3­31求cosCBE的值；2求AE.解1因为BCD90°60°150°

6、，CBACCD，所以CBE15°.所以cosCBEcos45°30°.2在ABE中，AB2，由和1知ABEABCCBE45°15°30°AEBACBEBC90°15°105°由正弦定理，得，AE.正、余弦定理在测量学中的应用探究问题1如图1­3­4，A，B两点在河的对岸，且不可到达，如何测量其两点间的间隔 ？图1­3­4提示在河岸这边选取点C，D，测得CDa，ACD，BCD，BDC，ADC，那么在ACB和ACD中应用正弦定理可求AC，BC的长，进而在ACB中应用余弦

7、定理求AB.2如图1­3­5，如何测量山顶塔AB的高？测量者的身高忽略不记图1­3­5提示测量者在山下先选择一基点P，测出此时山顶的仰角，前进a米后，再测出此时山顶的仰角，那么借助直角三角形的边角关系可求塔顶距地面的高h，进而利用ABhH求解如图1­3­6，A，B是海面上位于东西方向相距53海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里每小时，该救援船到达D点至少需要几个小时图

8、1­3­6思路探究在ABD中，利用正弦定理求出BD的长，再在DBC中利用余弦定理求出DC的长，进而求时间解由题意知AB53，DBA90°60°30°，DAB45°，所以ADB105°，所以sin 105°sin 45°cos 60°sin 60°cos 45°××，在ABD中，由正弦定理得，所以BD10，又DBC180°60°60°60°，BC20，在DBC中，由余弦定理得CD2BD2BC22×BD

9、5;BCcos 60°3001 2002×10×20×900，所以CD30海里，那么至少需要的时间t1小时母题探究：本例中，A与B的间隔 改为“5海里，点C的位置改为“位于A点南偏西15°且与A点相距10海里，如图1­3­7所示，其他条件不变，应如何解答？图1­3­7解在ABD中，由正弦定理得，所以AD10.在ACD中，CAD90°45°15°150°，AD10，AC10，由余弦定理得CD2AD2AC22×AD×ACcos 150°10

10、03002×10×10×700，所以CD10海里，那么需要的时间t小时规律方法1解决测量高度问题的一般步骤1画图：根据条件画出示意图；2分析三角形：分析与问题有关的三角形；3求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识，注意方程思想的运用2测量间隔 问题分为三种类型：两点间不可通又不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达解决此问题的方法是，选择适宜的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解提醒：解题时要注意题目条件和实际意义中的隐含信息，防止出现增解或漏解当 堂 达

11、 标·固 双 基1两座灯塔A，B与海洋观察站C的间隔 相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，那么灯塔A在灯塔B的_填序号1北偏东10°；2北偏西10°；3南偏东10°；4南偏西10°.解析如图，因为ABC为等腰三角形，所以CBA180°80°50°，60°50°10°，故答案为2答案22如图1­3­8，为测量一棵树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且

12、A，B两点之间的间隔 为60 m，那么树的高度为_. 【导学号：57452020】图1­3­8解析由正弦定理，得，PB，hPB·sin 45°·sin 45°3030m.答案3030m3一艘船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，河水流速为2 km/h，那么经过 h，该船实际航程为_解析v实2km/h所以实际航程为2×6km答案6 km4某市在“旧城改造工程中，方案在如图1­3­9所示的一块三角形空地上种植草皮以美化环境这种草皮价格为a元/m2，那么购置这种草皮需要_元图1­3­9解析S×20×30×sin 150°×20×30×150m2，购置这种草皮需要150a元答案150a5如图1&