第1章 1.2 1.2.2　单位圆与三角函数线

1、.1.2.2单位圆与三角函数线学习目的：1.理解三角函数线的意义重点2.会用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切难点自 主 预 习·探 新 知1单位圆1一般地把半径为1的圆叫做单位圆2角的余弦和正弦分别等于角终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标2三角函数线考虑：三角函数线的方向是怎样确定的？提示三角函数线的方向，即规定的有向线段的方向：凡三角函数线与x轴或y轴同向的相应三角函数值为正值，反向的为负值根底自测1判断正确的打“，错误的打“×假设单位圆的圆心与坐标原点重合，判断以下结论的正误1单位圆上任意一点到原点的间隔 都是1.2单位圆与x轴的交点为1,03过点1,0的单位圆的切

2、线方程为x1.4与x轴平行的单位圆的切线方程为y1.解析12单位圆与x轴交点坐标为±1,034与x轴平行的单位圆的切线方程为y±1.答案12×34×2.如图1­2­1，在单位圆中角的正弦线、正切线完全正确的选项是A正弦线，正切线B正弦线，正切线C正弦线，正切线D正弦线，正切线图1­2­1C由三角函数线的定义知C正确3角的终边与单位圆的交点的坐标是_解析由于角的终边与单位圆的交点横坐标是cos ，纵坐标是sin ，角的终边与单位圆的交点的坐标是.答案合 作 探 究·攻 重 难三角函数线的概念1设P点为角的终

3、边与单位圆O的交点，且sin MP，cos OM，那么以下命题成立的是A总有MPOM1B总有MPOM1C存在角，使MPOM1D不存在角，使MPOM02分别作出和的正弦线、余弦线和正切线解析1显然，当角的终边不在第一象限时，MPOM1，MPOM0都有可能成立；当角的终边落在x轴或y轴正半轴时，MPOM1，应选C.答案C2在直角坐标系中作单位圆，如图甲，以Ox轴为始边作角，角的终边与单位圆交于点P，作PMOx轴，垂足为M，由单位圆与Ox轴正方向的交点A作Ox轴的垂线，与OP的反向延长线交于T点，那么sin MP，cos OM，tan AT，即的正弦线为，余弦线为，正切线为.同理可作出的正弦线、余弦

4、线和正切线，如图乙sin M1P1，cosO1M1，tanA1T1，即的正弦线为，余弦线为，正切线为.规律方法1作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线2作正切线时，应从A1,0点引单位圆的切线交角的终边于一点T，即可得到正切线，要特别注意，当角的终边在第二或第三象限时，应将角的终边反向延长，再按上述作法来作正切线跟踪训练1以下四个命题中：一定时，单位圆中的正弦线一定；单位圆中，有一样正弦线的角相等；和有一样的正切线；具有一样正切线的两个角终边在同一条直线上不正确命题的个数是A0B1C2 D3C由三角函数线的定义正确，不正确

5、中有一样正弦线的角可能不等，如与；中当时，与都没有正切线利用单位圆解三角不等式在单位圆中画出合适以下条件的角终边的范围，并由此写出角的集合1sin ；2cos .思路探究作出满足sin ，cos 的角的终边，然后根据条件确定角终边的范围解1作直线y，交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，那么OA与OB围成的区域图1中阴影部分即为角的终边的范围故满足条件的角的集合为.2作直线x，交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，那么OC与OD围成的区域图2中的阴影部分即为角的终边的范围故满足条件的角的集合为.规律方法1通过解答此题，我们可以总结出用三角函数线来解根本的三角不等式的步骤：1作出取等号的角的终边

6、；2利用三角函数线的直观性，在单位圆中确定满足不等式的角的范围；3将图中的范围用不等式表示出来2求与三角函数有关的定义域时，先转化为三角不等式组，然后借助三角函数线解此不等式组即可得函数的定义域跟踪训练2求ylg1cos x的定义域解如下图，1cos x0，cos x，2kx2kkZ，函数定义域为：kZ三角函数线的综合应用探究问题1为什么在三角函数线上，点P的坐标为cos ，sin ，点T的坐标为1，tan 呢？提示由三角函数的定义可知sin ，cos ，而在单位圆中，r1，所以单位圆上的点都是cos ，sin ；另外角的终边与直线x1的交点的横坐标都是1，所以根据tan ，知纵坐标ytan

7、，所以点T的坐标为1，tan 2如何利用三角函数线比较大小？提示利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：1角的位置要“对号入座；2比较三角函数线的长度；3确定有向线段的正负，试比较sin ，tan 的大小思路探究此题可以利用正弦线，所对的弧长及正切线来表示sin ，tan ，并借助它们所在的扇形及三角形的面积大小来解决解如下图，设角的终边与单位圆交于点P，单位圆交x轴正半轴于点A，作PMx轴，PNy轴，作ATx轴，交的终边于点T，由三角函数线定义，得sin MP，tan AT，又的长，SAOP·OA·MPsin ，S扇形AOP··OA·

8、;，SAOT·OA·ATtan .又SAOPS扇形AOPSAOT，sin tan .规律方法1此题的本质是数形结合思想，即要求找到与所研究问题相应的几何解释，再由图形相关性质解决问题2三角函数线是单位圆中的有向线段，比较三角函数值大小时，一般把三角函数值转化为单位圆中的某些线段，进而用几何方法解决问题跟踪训练3利用三角函数线证明：|sin |cos |1.证明在OMP中，OP1，OM|cos |，MP|sin |，因为三角形两边之和大于第三边，所以|sin |cos |1.当点P在坐标轴上时，|sin |cos |1.综上可知，|sin |cos |1.当 堂 达 标·固 双 基1角和角有一样的【导学号：79402019】A正弦线B余弦线C正切线 D不能确定C与的终边互为反向延长线，故它们有一样的正切线202的正弦线和余弦线长度相等，且符号一样，那么的值为A.或 B.或C.或 D.或C由题意的终边为一、三象限的平分线，且02，故得或.3在0,2上满足sin x的x的取值范围是A. B.C. D.B画出单位圆，结合正弦线得出sin x的取值范围是.4用三角函数线比较sin 1与cos 1的大小，结果是_解析<1<，正弦线大于