第2章 2.3 2.3.1 2.3.2 第1课时　等比数列的概念及通项公式

1、.2.3等比数列2.3.1等比数列的概念2.3.2等比数列的通项公式第1课时等比数列的概念及通项公式学习目的：1.理解等比数列的概念，能在详细情景中，发现数列的等比关系重点2.会推导等比数列的通项公式，并能应用该公式解决简单的等比数列问题重点3.会证明一个数列是等比数列难点自 主 预 习·探 新 知1等比数列的概念假如一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示q0考虑1：观察以下4个数列，归纳它们的共同特点1,2,4,8,16，；1，；1,1,1,1，；1,1，1,1，.提示从第2项起，每一项

2、与前一项的比是同一个常数考虑2：假设数列an满足an12annN*，那么an是等比数列吗？提示不一定当a10时，按上述递推关系，该数列为常数列，且常数为0，故an不一定为等比数列2等比数列的通项公式假如数列an是等比数列，首项为a1，公比为q，那么它的通项公式为ana1qn1a10，q03等比中项1假设a，G，b成等比数列，那么称G为a和b的等比中项，且满足G2ab.2假设数列an是等比数列，对任意的正整数nn2，都有aan1·an1.考虑3任意两个非零常数都有等比中项吗？假设有，有几个？提示当ab>0时，a，b的等比中项有两个，且这两个数互为相反数；当ab<0时，a，b

3、没有等比中项根底自测1考虑辨析1等比数列中，各项与公比均不为零2数列a，a，a一定是等比数列3等比数列an中，a1，a3，a5一定同号答案12×32在等比数列an中，a12，a416，那么an_.解析a4a1q3，q38，q2，ana1qn12·2n12n.答案2n3在等比数列an中，a13，q3，假设an729，那么n_.解析ana1qn1，a13，q3，7293·3n13n，n6.答案64假设2是b1，b1的等比中项，那么b_.解析b1b122，b218，b29，b±3.答案±35假设1，a,4成等比数列，那么a_.解析1，a,4成等比数列

4、，a21×44，a±2.答案±2合 作 探 究·攻 重 难等比数列的通项公式1假设an为等比数列，且2a4a6a5，那么公比为_2在等比数列an中，假设a2a518，a3a69，an1，那么n_. 【导学号：57452047】解析1a6a4q2，a5a4q，2a4a4q2a4q，q2q20，q1或q22.公比为1或2.2法一：因为由得q，从而a132，又an1，所以32×1，即26n20，所以n6.法二：因为a3a6qa2a5，所以q.由a1qa1q418，知a132.由ana1qn11，知n6.答案11或226规律方法等比数列根本量的求法a1

5、和q是等比数列的根本量，只要求出这两个根本量，其他量便可求出来，法一是常规解法，先求a1，q，再求an，法二是运用通项公式及方程思想建立方程组求a1和q，这也是常见的方法.跟踪训练11假设等比数列的前三项分别为5，15,45，那么第5项是_2一个各项均为正数的等比数列，每一项都等于它后面两项的和，那么公比q_.解析1a5a1q4，a15，q3，a5405.2由题意，anan1an2，即ananqanq2，q2q10，q.q>0，q.答案14052等比中项的应用在4与之间插入3个数，使这5个数成等比数列，求插入的3个数思路探究法一：利用等比数列的通项公式求解；法二：先设出这三个数，再利用等

6、比中项求解解法一：依题意，a14，a5，由等比数列的通项公式，得q4，q±.因此，插入的3项依次为2,1，或2,1，.法二：此等比数列共5项，a3是a1与a5的等比中项，因此a3±±1.a2是a1与a3的等比中项，a4是a3与a5的等比中项，因为一个正数和一个负数没有等比中项，所以a31，a2±±2，a4±±.因此，插入的3项依次为2,1，或2,1，.规律方法注意等比数列中各项的符号特点是隔项符号必须一样.从而，对于数a，b的等比中项G，G2ab一定成立，但G的符号不一定正负都可取，如等比数列an中，三项分别为a1，a4，a

7、7，那么a4是a1与a7的等比中项，此时a4可取正值，也可取负值；而对于下面的三项a2，a4，a6，也有a4是a2与a6的等比中项，此时a4只能与a2和a6同号.提醒：三个数满足G2xy，那么x，G，y不一定成等比数列，如0，0，0这三个数不成等比数列.跟踪训练2a，b，c这五个数成等比数列，求a，b，c的值解由题意知b2×，b±.当b时，ab，解得a；bc，解得c.同理，当b时，a，c.综上所述，a，b，c的值分别为，或，.等比数列的断定与证明探究问题1断定或证明等比数列有哪些常用的方法？提示1利用定义：q与n无关的常数2利用等比中项：aan·an2nN*3通项

8、公式法：ana1qn1a10且q02如何断定或证明一个数列不是等比数列？提示1利用定义：常数2证明.数列an的前n项和为Sn，Snan1nN*1求a1，a2；2求证：数列an是等比数列思路探究1Snan1令n1，n2求值2Snan1消去Snan，an1的关系证明解1由S1a11，得a1a11，所以a1，又S2a21，即a1a2a21，得a2.2当n2时，anSnSn1an1an11，得，又a1，所以an是首项为，公比为的等比数列母题探究：1.变条件将本例的条件改为“a1，且an1an，求证数列an是等比数列证明因为an1an，所以an1an，所以，所以是首项为，公比为的等比数列2变条件将本例条

9、件“Snan1nN*改为“a11，a2aanan1，试证明数列an是等比数列，并求an的通项公式解由得aanan12a0，所以an12anan1an0.所以an12an0或an1an0.1当an12an0时，2.又a11，所以数列an是首项为1，公比为2的等比数列所以an2n1.2当an1an0时，1，又a11，所以数列an是首项为1，公比为1的等比数列所以an1×1n11n1.综上：an2n1或an1n1.规律方法判断一个数列是不是等比数列的常用方法：1定义法；2等比中项法；3通项公式法.提醒：判断是否为等比数列，最终一般都要转化为定义法.当 堂 达 标·固 双 基1以下

10、各组数能组成等比数列的是_填序号，；lg 3，lg 9，lg 27；6,8,10；3，3，9.解析.答案2假设等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，那么这个数列的项数n_.解析由等比数列的通项公式，得1284×2n1,2n132，所以n6.答案63在8和5 823之间插入5个数，使它们组成以8为首项的等比数列，那么此数列的第5项是_解析设公比为q，那么8q65 832，所以q6729，所以q29，所以a58q4648.答案6484在数列an中，假设a11，an12an3n1，那么该数列的通项an_.解析由条件知an132an3，2，即an34·2n1，an2n13.答案2n135在243和3中间插入3个数，使这5个数成等比数