第2章 2.4　线性回归方程

1、.2.4线性回归方程学习目的：1.理解两个变量之间的相关关系并与函数关系比较.2.会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有线性相关关系.3.能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程，并能由回归方程对总体进展预测、估计重点、难点自 主 预 习·探 新 知1变量之间的两类常见关系在实际问题中，变量之间的常见关系有如下两类：一类是确定性函数关系，变量之间的关系可以用函数表示另一类是相关关系，变量之间有一定的联络，但不能完全用函数表示2相关关系的分类相关关系分线性相关和非线性相关两种3线性回归方程系数公式能用直线方程bxa近似表示的相关关系叫做线性相关关系，该方程叫线性回归方

2、程给出一组数据x1，y1，x2，y2，xn，yn，线性回归方程中的系数a，b满足上式还可以表示为根底自测1有以下关系：人的年龄与其拥有的财富之间的关系；曲线上点与该点的坐标之间的关系；苹果的产量与气候之间的关系；森林中的同一树木，其横截面直径与高度之间的关系；学生与其学号之间的关系其中具有相关关系的是_为确定关系不是相关关系2下面四个散点图中点的分布状态，直观上判断两个变量之间具有线性相关关系的是_图2­4­1散点图中的点无规律的分布，范围很广，说明两个变量之间的相关程度很小；中所有的点都在同一条直线上，是函数关系；中点的分布在一条带状区域上，即点分布在一条直线的附近，是线

3、性相关关系；中的点也分布在一条带状区域内，但不是线性的，而是一条曲线附近，所以不是线性相关关系，故填.3工人工资y元依劳动消费率x千元变化的线性回归方程为5080x，以下判断正确的选项是_劳动消费率为1 000元时，工资为130元；劳动消费率进步1 000元时，工资进步80元；劳动消费率进步1 000元时，工资进步130元；当月工资为250元时，劳动消费率为2 000元回归直线斜率为80，所以x每增加1，增加80，即劳动消费率进步1 000元时，工资进步80元4下表是广告费用与销售额之间的一组数据：广告费用千元1461014销售额千元1944405253销售额y千元与广告费用x千元之间有线性相

4、关关系，回归方程为2.3xaa为常数，现要使销售额到达6万元，估计广告费用约为_千元. 【导学号：20192119】157，41.6，那么a2.341.62.3×725.5.当y6万元60千元时，602.3x25.5，解得x15千元5某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如下对应数据单位：百万元：x24568y30406050701画出散点图；2从散点图中判断销售额与广告费支出成什么样的关系？解析以x值为横坐标，y值为纵坐标得到点2,30，4,40，5,60，6,50，8,70，在平面直角坐标系中作出这些点，即得散点图，由散点分布规律作出关系判断解1以x对应的数据为横坐标，以y对应的

5、数据为纵坐标，所作的散点图如以下图所示：2从图中可以发现广告费支出与销售额之间具有相关关系，并且当广告费支出由小变大时，销售额也大多由小变大，图中的数据大致分布在某条直线的附近，即x与y成正相关关系合 作 探 究·攻 重 难变量间相关关系的判断在以下两个变量的关系中，具有相关关系的是_正方形边长与面积之间的关系；作文程度与课外阅读量之间的关系；人的身高与年龄之间的关系；降雪量与交通事故发生率之间的关系两变量之间的关系有两种：函数关系与带有随机性的相关关系正方形的边长与面积之间的关系是函数关系作文程度与课外阅读量之间的关系不是严格的函数关系，但是具有相关性，因此是相关关系人的身高与年龄

6、之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄到达一定时期身高就不发生明显变化了，因此他们不具备相关关系降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系规律方法1.函数关系是一种确定的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.2.准确理解变量间的相关关系是解答此题的关键.要准确区分两个变量间的相关关系和函数关系，事实上，现实生活中相关关系是处处存在的，从某种意义上讲，函数关系可以看作一种理想的关系模型，而相关关系是一种普遍的关系.两者区别的关键点是“确定性还是“不确定性. 跟踪训练1以下两个变量中具有相关关系的是_填写相

7、应的序号正方体的棱长和体积；单产为常数时，土地面积和总产量；日照时间与水稻的亩产量正方体的棱长x和体积V存在着函数关系Vx3；单产为常数a公斤/亩，土地面积x亩和总产量y公斤之间也存在着函数关系yax.日照时间长，那么水稻的亩产量高，这只是相关关系，应选.2以下命题：任何两个变量都具有相关关系；圆的周长与该圆的半径具有相关关系；某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系；根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的；两个变量间的相关关系可以通过回归直线，把非确定性问题转化为确定性问题进展研究其中正确的命题为_. 【导学号：20192120】两个变量不一定是相关关系，也可能是确定性关系，故错

8、误；圆的周长与该圆的半径具有函数关系，故错误；都正确散点图的画法及应用现有5个同学的数学和物理成绩如下表：学生学科ABCDE数学8075706560物理7066686462利用散点图判断它们是否具有线性相关关系？假如有线性相关关系，是正相关还是负相关？ 【导学号：20192121】解析此题涉及两个变量数学成绩与物理成绩，以x轴表示数学成绩、y轴表示物理成绩，可得相应的散点图，再观察散点图得出结论解把数学成绩作为横坐标，把相应的物理成绩作为纵坐标，在平面直角坐标系中描点xi，yii1,2，5从图中可以直观地看出数学成绩和物理成绩具有线性相关关系，且当数学成绩减小时，物理成绩也由大变小，即它们正相

9、关规律方法1.判断两个变量x和y之间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，假如图上发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响.,假如变量的对应点分布没有规律，我们就可以认为这两个变量不具有相关关系.2.正相关、负相关,线性相关关系又分为正相关和负相关.,正相关是指两个变量具有一样的变化趋势，即从整体上来看，一个变量会随另一个变量变大而变大.从散点图上看，因变量随自变量的增大而增大，图中的点分布在左下角到右上角的区域.负相关是指两个变量具有相反的变化趋势，即从整体上来看，一个变量会随另一个变量变大而变小.从散点图上看，因变量

10、随自变量的增大而减小，图中的点分布在左上角到右下角的区域.提醒画散点图时应注意合理选择单位长度，防止图形过大或偏小，或者是点的坐标在坐标系中画不准，使图形失真，导致得出错误结论. 跟踪训练3如图2­4­2是两个变量统计数据的散点图，判断两个变量之间是否具有相关关系？图2­4­2解析观察图中点的分布情况作出判断从散点图上看，点的分布散乱无规律，故不具有相关关系解不具有相关关系，因为散点散乱地分布在坐标平面内，不呈线形4有个男孩的年龄与身高的统计数据如下：年龄岁123456身高cm788798108115120画出散点图，并判断它们是否有相关关系？假如有相关

11、关系，是正相关还是负相关？ 【导学号：20192122】解析描点1,78，2,87，3,98，4,108，5,115，6,120观察点的分布，作出判断解作出散点图如图：由图可见，具有线性相关关系，且是正相关.线性回归方程的求法及应用某产品的广告支出x单位：万元与销售收入y单位：万元之间有下表所对应的数据广告支出x/万元1234销售收入y/万元122842561画出表中数据的散点图；2求出y对x的回归直线方程bxa，并解释b的意义；3假设广告费为9万元，那么销售收入约为多少万元？解析只有当散点图大致表现为线性时，求回归直线方程才有实际意义先画图分析，再定量分析解1散点图如图2观察散点图可知各点大

12、致分布在一条直线附近，列出以下表格，以便计算回归系数a，b.序号xyx2y2xy11121144122228478456334291 7641264456163 13622410138305 828418于是，30，5 828，iyi418，代入公式得，b，ab×2.故y对x的回归直线方程为x2，其中回归系数b，它的意义是：广告支出每增加1万元，销售收入y平均增加万元3当x9万元时，×92129.4万元，即假设广告费为9万元，那么销售收入约为129.4万元规律方法1.求样本数据的线性回归方程，可按以下步骤进展：2.对于任意一组样本数据，利用上述公式都可以求得“回归方程，假如

13、这组数据不具有线性相关关系，即不存在回归直线，那么所得的“回归方程是没有实际意义的.因此，对一组样本数据，应先作散点图，在具有线性相关关系的前提下再求回归方程.提醒(1)对一组数据进展线性回归分析时，应先画出其散点图，判断变量之间是否线性相关，再由系数a，b的计算公式，计算出a，b，由于计算量较大，在计算时应借助计算器，仔细计算，以防出现错误.(2)为了方便，常制表对应算出，以便于求和.(3)研究变量间的相关关系，求得回归直线方程能帮助我们发现事物开展的一些规律，估计、预测某些数据，为我们的判断和决策提供根据. 跟踪训练5根据如下样本数据：x345678y4.02.50.50.52.03.0得

14、到的回归方程为bxa，那么以下判断正确的选项是_. 【导学号：20192123】a>0，b>0；a>0，b<0；a<0，b>0；a<0，b<0.作出散点图如图观察图象可知，回归直线bxa的斜率b<0，当x0时，a>0.故a>0，b<0.当 堂 达 标·固 双 基1在以下各组变量关系中，具有相关性的是_填序号炼钢时钢水的含碳量与冶炼时间；学生的身高与学生的学习成绩；老师的执教程度与学生的学习成绩；球的外表积与球的半径. 【导学号：20192124】中，炼钢时钢水含碳量和冶炼时间有一定的关系，但是还与炼钢时的原料和所

15、使用的煤炭等有一定的关系所以，炼钢时钢水的含碳量与冶炼时间是一种相关关系中，学生的身高与学习成绩不具有相关性中，一般来说老师的执教程度越高，学生的学习成绩越好，具有相关性中，球的半径确定，外表积也就随之确定，所以球的外表积与球的半径之间是函数关系，而不是相关关系2在图2­4­3所示的四个散点图中，两个变量具有相关性的是_填序号图2­4­3由图可知中变量间是一次函数关系，不是相关关系；中的所有点在一条直线附近波动，是线性相关的；中的点杂乱无章，没有什么关系；中的所有点在某条曲线附近波动，是非线性相关的故两个变量具有相关性的是.3四名同学根据各自的样本数据研

16、究变量x，y之间的相关关系并求得线性回归方程，分别得到以下四个结论：y与x负相关且2.347x6.423；y与x负相关且3.476x5.648；y与x正相关且5.437x8.493；y与x正相关且4.326x4.578.其中一定不正确的结论的序号有_由正负相关性的定义知一定不正确4某工厂消费某种产品的产量x吨与相应的消费能耗y吨标准煤有如下几组样本数据：x3456y2.5344.5据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为0.7，那么这组样本数据的线性回归方程是_. 【导学号：20192125】0.7x0.354.5，3.5，ab3.50.7×4.50.35.线性回归方程为0.7x0.35.52019年元旦前夕，某市××局统计了该市2019年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表：年收入x万元24466677810年饮食支出y万元0.91.41.62.02