第2章 2.4 2.4.1　向量在几何中的应用2.4.2　向量在物理中的应用

1、.2.4向量的应用2.4.1向量在几何中的应用2.4.2向量在物理中的应用学习目的：1.会用向量法计算或证明平面几何和解析几何中的相关问题重点2.会用向量法解决某些简单的物理学中的问题难点自 主 预 习探 新 知1向量在几何中的应用1直线与向量平行的条件直线的斜率与向量的关系：设直线l的倾斜角为，斜率为k，Ax1，y1l，Px，yl，向量aa1，a2平行于l，可得ktan .平行条件：假如知道直线l的斜率k，那么向量a1，a2一定与该直线平行法向量：假如表示向量的基线与一条直线垂直，那么称这个向量垂直该直线这个向量称为这条直线的法向量2特殊向量设直线l的一般方程为AxByC0，那么向量A，B与

2、直线l垂直，向量B，A与l平行考虑1：向量可以解决哪些常见的几何问题？提示1解决直线平行、垂直、三点共线等位置关系问题2解决有关夹角、长度及参数的值等的计算或度量问题2向量在物理中的应用1力向量力向量与自由向量不同，它包括大小、方向、作用点三个要素在不考虑作用点的情况下，可利用向量运算法那么进展计算2速度向量一质点在运动中每一时刻都有一个速度向量，该速度向量可以用有向线段表示考虑2：向量可以解决哪些物理问题？提示解决物理中力、速度、加速度、位移等有关矢量的合成与分解问题，以及与力做功相关的问题根底自测1判断正确的打“，错误的打“1假设ABC是直角三角形，那么有0.2假设，那么直线AB与CD平行

3、解析1错误因为ABC为直角三角形，B并不一定是直角，有可能是A或C为直角2错误向量时，直线ABCD或AB与CD重合答案122以下直线与a2,1垂直的是【导学号：79402099】A2xy10Bx2y10Cx2y40 D2xy40A直线2xy10与向量2,1垂直3力F2,3作用在一物体上，使物体从A2,0挪动到B2,3，那么F对物体所做的功为_焦耳解析由位移4,3，力F做的功为WF24331.答案1 合 作 探 究攻 重 难向量在平面几何中的应用如图241，平行四边形ABCD中，E，F分别是边AD，DC的中点，连接BE，BF，分别交AC于R，T两点求证：ARRTTC.图241思路探究由于R，T是

4、对角线AC上的两点，要证ARRTTC，只要证AR, RT，TC都等于AC即可证明设a，b，r，t，那么ab.由于与共线，所以可设rnab因为ab，与共线，所以可设mm.因为，所以rbm，所以nabbm，即nmab0.由于向量a，b不共线，要使上式成立，那么有解得所以.同理.所以ARRTTC.规律方法1利用向量的关系证明问题通常先选取一组基底，基底中的向量最好模及两者之间的夹角，然后将问题中出现的向量用基底表示，再利用向量的运算法那么、运算律以及一些重要性质运算，最后把运算结果复原为几何关系2平面向量在坐标表示下的应用利用平面向量的坐标表示，可以将平面几何中长度、垂直、平行等问题很容易地转化为代

5、数运算的问题，运用此种方法必须建立适当的坐标系跟踪训练1.如图242所示，假设D是ABC内的一点，且，求证：ADBC.图242证明设a，b，e，c，d，那么aec，bed，a2b2ec2ed2c22ec2edd2.由a2b2c2d2，c22ec2edd2c2d2，即ecd0.dc，edc0，即ADBC.向量在解析几何中的应用过点A2,1，求：1与向量a3,1平行的直线方程；2与向量b1,2垂直的直线方程思路探究在直线上任取一点Px，y，那么x2，y1，由a可以得1，由b可以得2解设所求直线上任意一点Px，y，A2,1，x2，y11由题意知a，x213y10，即x3y50，所求直线方程为x3y5

6、0.2由题意，知b，x21y120，即x2y40，所求直线方程为x2y40.规律方法用向量方法解决解析几何问题的步骤：一是把解析几何问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量模型，通过向量运算解决问题；三是将结果复原为解析几何问题.跟踪训练2点A1,0，直线l：y2x6，点R是直线l上的一点，假设2，求点P的轨迹方程解设Px，y，Rx0，y0，那么1,0x0，y01x0，y0，x，y1,0x1，y由2，得又点R在直线l：y2x6上，y02x06，由得x032x，代入得6232x2y，整理得y2x，即为点P的轨迹方程向量在物理中的应用探究问题1向量的数量积与功有什么联络？提示物理上力做功的本质是力

7、在物体前进方向上的分力与物体位移间隔 的乘积，它的本质是向量的数量积2用向量方法解决物理问题的一般步骤是什么？提示用向量理论讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：问题转化，即把物理问题转化为数学问题；建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；答复以下问题，即把所得的数学结论回归到物理问题中两个力F1ij，F24i5j作用于同一质点，使该质点从点A20,15挪动到点B7,0其中i，j分别是与x轴、y轴同方向的单位向量求1F1，F2分别对该质点做的功；2F1，F2的合力F对该质点做的功思路探究向量数量积的物理背景是做功问题，所以此题需将做功问题转化为求

8、向量的数量积的问题解720i015j13i15j.1F1做的功W1F1sF1ij13i15j28 J.F2做的功W2F2sF24i5j13i15j23 J.2FF1F25i4j，所以F做的功WFsF5i4j13i15j5 J.规律方法1求几个力的合力：可以用几何法，通过解三角形求边长及角，也可以用向量法求解2假如一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W|F|s|cos ，其中是F与s的夹角由于力和位移都是向量，所以力所做的功就是力与位移的数量积跟踪训练3在静水中划船速度的大小是每分钟40 m，水流速度的大小是每分钟20 m，假如一小船从岸边O处出发，沿着垂直于水流的航线到达对岸，那

9、么小船的行进方向应指向哪里？解如下图，设向量的长度和方向表示水流速度的大小和方向，向量的长度和方向表示船在静水中速度的大小和方向，以，为邻边作平行四边形OACB，连接OC.依题意OCOA，BCOA20，OB40，BOC30.故船应向上游左与河岸夹角为60的方向行进当 堂 达 标固 双 基1直线l：mx2y60，向量1m,1与l平行，那么实数m的值为【导学号：79402100】A1B1C2 D1或2D由于，得m1或m2.2在ABC中，假设0，那么ABC为A正三角形 B直角三角形C等腰三角形 D形状无法确定C0，220，22，CACB，ABC为等腰三角形3过点A2,3，且垂直于向量a2,1的直线方程为A2xy70 B2xy70Cx2y40 Dx2y40A设Px，y是所求直线上任一点，那么a，又x2，y3，2x2y30，即2xy70.4假设3e，5e，且|，那么四边形ABCD的形状为_解析由3e，5e，得，又因为ABCD为四边形，所以ABDC，ABDC.又|，得ADBC，所以四边形ABCD为等腰梯形答案等腰梯形5一架飞机从A地向北偏西60的方向飞行1 000 km到达B地，然后向C地飞行设C地恰好在A地的南偏西60方向上，并且A，C两地相距2 000 km，求飞机从B地到C