第2章 2.3　2.3.1　双曲线的标准方程

1、.2.3双曲线2.3.1双曲线的标准方程学习目的：1.理解双曲线标准方程的推导过程难点2.理解双曲线的标准方程，能求双曲线的标准方程重点、难点3.能用双曲线的标准方程处理简单的实际问题难点自 主 预 习探 新 知双曲线的标准方程焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程1a0，b01a0，b0焦点坐标F1c,0，F2c,0F10，c，F20，ca，b，c之间的关系b2c2a2根底自测1判断正误：11表示焦点在y轴上的双曲线2在双曲线标准方程1中，a0，b0，且ab.3双曲线的标准方程中，a，b的大小关系是ab.【解析】1.方程1表示焦点在x轴上的双曲线2.当ab时方程也表示双曲线3.双曲线

2、的标准方程中a，b的大小关系不确定【答案】1232中心在原点的双曲线C的右焦点为F3,0，那么C的方程是_. 【导学号：95902104】【解析】右焦点为F3,0说明两层含义：双曲线的焦点在x轴上；c3.又离心率为，故a2，b2c2a232225，故C的方程为1.【答案】1合 作 探 究攻 重 难求双曲线的标准方程根据以下条件，求双曲线的标准方程1过点P，Q；2c，经过点5,2，焦点在x轴上；3与双曲线1有一样焦点且过点P2,1思路探究解答1可分情况设出双曲线的标准方程，再构造关于a，b，c的方程组求解，从而得出双曲线的标准方程，也可以设双曲线方程为mx2ny21mn0的形式，将两点代入，简化

3、运算过程，解答2可设双曲线的标准方程1a0，b0，也可将方程设为106，把点5,2的坐标代入求解；3根据条件设出双曲线的标准方程解方程组可求【自主解答】 1方法一：假设焦点在x轴上，设双曲线的方程为1a0，b0，点P和Q在双曲线上，解得舍去假设焦点在y轴上，设双曲线的方程为1a0，b0，将P，Q两点坐标代入可得解得双曲线的标准方程为1.方法二：设双曲线的标准方程为mx2ny21mn0，因为双曲线过点P，Q，所以，解得，所以所求双曲线方程为1.2方法一：依题意可设双曲线方程为1a0，b0依题设有解得所求双曲线的标准方程为y21.方法二：焦点在x轴上，c，设所求双曲线方程为1其中06双曲线经过点5

4、,2，1，5或30舍去所求双曲线的标准方程是y21.3由题意，设双曲线方程为1a0，b0两双曲线有一样焦点，a2b2c242. 又点P2,1在双曲线1上1. 由、联立，得a2b23.故所求双曲线方程为1.规律方法利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤如下：(1)定位置：根据条件断定双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，不能确定时应分类讨论.(2)设方程：根据焦点位置，设方程为1或1(a0，b0)，焦点不定时，亦可设为mx2ny21(mn0，n0，那么，双曲线方程为1.曲线类型的讨论方程kx2y24，其中k为实数，对于不同范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型思路探究由方程满足圆、椭圆、双曲线的条件，

5、对k的值分类讨论，确定曲线类型【自主解答】1当k0时，y2，表示两条与x轴平行的直线；2当k1时，方程为x2y24，表示圆心在原点，半径为2的圆；3当k0时，方程为1，表示焦点在y轴上的双曲线；4当0k1时，方程为1，表示焦点在x轴上的椭圆；5当k1时，方程为1，表示焦点在y轴上的椭圆规律方法将方程化为标准方程的形式，假设方程为1，1当mn0且m0，n0，mn时表示椭圆.3当mn0时表示圆.跟踪训练21假如方程1表示双曲线，那么实数m的取值范围是_2“ab0是方程ax2by2c表示双曲线的_条件填“必要不充分、“充分不必要、“充要和“既不充分也不必要【解析】1由题意知m2m10，解得2m1，故

6、m的取值范围是2，12假设ax2by2c表示双曲线，即1表示双曲线，那么0，这就是说“ab0是必要条件，然而假设ab0，c0时不表示双曲线，即“ab0不是充分条件【答案】12，12必要不充分双曲线的定义及标准方程的应用探究问题1双曲线的定义是什么？假如把双曲线定义中的动点设为P，常数设为2a，你可以用一个数学式来表示双曲线的定义吗？【提示】平面内与两个定点F1，F2间隔 的差的绝对值等于常数小于F1F2 的正数的点的轨迹叫做双曲线用数学式可表示为|PF1PF2|2a2aF1F22设F1PF2，类比上一节对椭圆中焦点三角形的讨论，能否用双曲线方程1a0，b0中的参数来表示三角形PF1F2的面积？

7、【提示】在三角形PF1F2中，F1F22c.由余弦定理可得F1FPFPF2PF1PF2cos PF1PF222PF1PF21cos ，即4c24a22PF1PF21cos ，所以PF1PF2，所以SPF1F2PF1PF2sin .3设点F1，F2是双曲线1a0，b0的两个焦点，P是椭圆上任意一点，那么三角形PF1F2叫做该双曲线的焦点三角形，通过以上探究，我们解决焦点三角形问题时需要注意哪些知识？ 【提示】要注意充分利用双曲线的定义、正弦定理、余弦定理勾股定理和三角形的面积公式如图231所示，双曲线中c2a，F1，F2为左、右焦点，P是双曲线上的点，F1PF260；SF1PF212.求双曲线的

8、标准方程. 【导学号：95902106】图231思路探究设出双曲线的标准方程，利用双曲线的定义、余弦定理和三角形的面积公式构建方程组，解之可得双曲线的标准方程【自主解答】由题意可知双曲线的标准方程为1.由于|PF1PF2|2a，在F1PF2中，由余弦定理得cos 60所以PF1PF24c2a24b2，所以SF1PF2PF1PF2sin 602b2b2，从而有b212，所以b212，c2a，结合c2a2b2，得a24.所以双曲线的标准方程为1.规律方法1在椭圆或双曲线中，凡涉及以两焦点和椭圆或双曲线上一点为顶点的三角形称为焦点三角形的问题，一般都可以从圆锥曲线的定义和勾股定理或正、余弦定理等知识

9、入手来解决问题2在解题过程中，应注意到椭圆与双曲线定义的不同，配方时，一个配成PF1PF22，另一个配成PF1PF22.跟踪训练3设P为双曲线x21上的一点，F1、F2是该双曲线的两个焦点，假设PF1PF232，那么PF1F2的面积为_【解析】由得2a2，又由双曲线的定义得，|PF1PF2|2，又PF1PF232，PF16，PF24.又F1F22c2.由余弦定理得cos F1PF20.三角形为直角三角形SPF1F26412.【答案】12构建体系 当 堂 达 标固 双 基1双曲线1的焦距为_. 【导学号：95902107】【解析】c2m2124m216，c4,2c8.【答案】82满足条件a2，一

10、个焦点为4,0的双曲线的标准方程为_【解析】由a2，c4，得b2c2a212，又一焦点4,0在x轴上，双曲线的标准方程为1.【答案】13双曲线1上的点到一个焦点的间隔 为12，那么到另一个焦点的间隔 为_. 【导学号：95902108】【解析】a225，a5，由双曲线定义可得|PF1PF2|10，由题意知PF112，PF1PF210，PF222或2.【答案】22或24双曲线y21的两焦点为F1，F2，P是双曲线上一点，且满足F1PF2，那么F1PF2的面积等于_【解析】设|PF1|x，|PF2|y，xy根据双曲线定义可知xy4，F1PF2，x2y220，2xyx2y2xy2，xy2，SPF1F21.【答案】15如图232所示，定圆F1：x52y21，定圆F2：x52y242，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程. 【导学号：959021