第3章 3.1 3.1.2　空间向量的基本定理

1、.3.1.2空间向量的根本定理学习目的：1.理解共线向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.2.理解共线向量的充要条件和共面向量的充要条件及其推论，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题重点、难点.3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念自 主 预 习·探 新 知1共线向量定理与共面向量定理1共线向量定理 两个空间向量a，bb0，ab的充要条件是存在唯一的实数x，使axb.2向量共面的条件向量a平行于平面的定义向量a，作a，假如a的基线OA平行于平面或在内，那么就说向量a平行于平面，记作a.共面向量的定义平行于同一平面的向量，叫做共面向量共面向量定理假如两个向量a，b不共线，那么

2、向量c与向量a，b共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x，y，使cxayb.2空间向量分解定理1空间向量分解定理 假如三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使pxaybzc.2基底 假如三个向量a，b，c是三个不共面的向量，那么a，b，c的线性组合xaybzc能生成所有的空间向量，这时a，b，c叫做空间的一个基底，记作a，b，c，其中a，b，c都叫做基向量表达式xaybzc叫做向量a，b，c的线性表示式或线性组合根底自测1考虑辨析1向量a，b，c共面，即表示这三个向量的有向线段所在的直线共面2假设向量e1，e2不共线，那么空间任意向量a，都有ae1

3、e2，R提示1×表示这三个向量的有向线段平行于同一平面2×与e1，e2共面的任意向量a，都有ae1e2，R2给出的以下几个命题：向量a，b，c共面，那么存在唯一的有序实数对x，y，使cxayb；零向量的方向是任意的；假设ab，那么存在唯一的实数，使ab. 其中真命题的个数为A0 B1C2 D3B只有为真命题3假设a，b，c是空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xaybzc0，那么x，y，z满足的条件是_【导学号：33242244】xyz0假设x0，那么abc，即a与b，c共面由a，b，c是空间向量的一个基底，知a，b，c不共面，故x0，同理yz0.合 作 探 究

4、3;攻 重 难向量共线问题如图3­1­11所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E在A1D1上，且2，F在对角线A1C上，且.求证：E，F，B三点共线图3­1­11证明设a，b，c.2，.b，abc.abc.又bcaabc，.E，F，B三点共线规律方法断定两向量共线就是寻找x使axbb0成立，为此可结合空间图形并运用空间向量运算法那么化简出axb，从而得ab.跟踪训练1如图3­1­12所示，空间四边形ABCD，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD上的点，且，.利用向量法求证四边形EFGH是梯形图3&#

5、173;1­12证明E、H分别是边AB、AD的中点，且|，又F不在EH上，四边形EFGH是梯形.共面向量定理及应用对于任意空间四边形ABCD，E、F分别是AB、CD的中点试证：与、共面. 【导学号：33242245】思路探究解空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，那么，.又E、F分别是AB、CD的中点，故有，将代入中，两式相加得2.所以，即与、共面规律方法利用向量法证明四点共面，本质上是证明的向量共面问题，解题的关键是纯熟地进展向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中要注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系.跟踪训练2如图3­1­1

6、3所示，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，连接PA，PB，PC，PD，点E，F，G，H分别是PAB，PBC，PCD，PDA的重心，分别延长PE，PF，PG，PH，交对边于M，N，Q，R，并顺次连接MN，NQ，QR，RM.应用向量共面定理证明：E、F、G、H四点共面图3­1­13证明E、F、G、H分别是所在三角形的重心，M、N、Q、R为所在边的中点，顺次连接M、N、Q、R，所得四边形为平行四边形，且有，.MNQR为平行四边形，.由共面向量定理得，共面，所以E、F、G、H四点共面.基底的判断及应用探究问题1构成空间向量的基底唯一吗？是否共面？提示不唯一，不共面2怎样理解空间

7、向量根本定理？提示1空间向量根本定理说明，用空间三个不共面向量组a，b，c可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的2空间中的基底是不唯一的，空间中任意三个不共面向量均可作为空间向量的基底3拓展：设O、A、B、C是不共面的四点，那么对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组x，y，z，使xyz，当且仅当xyz1时，P、A、B、C四点共面1假设a，b，c是空间的一个基底，试判断ab，bc，ca能否作为该空间的一个基底图3­1­142如图3­1­14，在三棱柱ABC­ABC中，a，b，c，点M，N分别是BC，BC的中点，试用基底a，b，c表

8、示向量，. 【导学号：33242246】思路探究1判断ab，bc，ca是否共面，假设不共面，那么可作为一个基底，否那么，不能作为一个基底2借助图形寻找待求向量与a，b，c的关系，利用向量运算进展分析，直至向量用a，b，c表示出来解1假设ab，bc，ca共面那么存在实数、使得abbcca，abbac.a，b，c为基底，a，b，c不共面此方程组无解，ab，bc，ca不共面ab，bc，ca可以作为空间的一个基底2bacbbacbabc.ababcbabc.母题探究：1.变换条件假设把本例32中的a改为a，其他条件不变，那么结果又是什么？解babab.acbabc.2.变换条件、改变问法如图3

9、3;1­15所示，本例32中增加条件“P在线段AA上，且AP2PA，试用基底a，b，c表示向量.图3­1­15解acbcaabc.规律方法用基底表示向量的步骤1定基底：根据条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.2找目的：用确定的基底或基底表示目的向量，需要根据三角形法那么及平行四边形法那么，结合相等向量的代换、向量的运算进展变形、化简，最后求出结果.3下结论：利用空间向量的一个基底a，b，c可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量.提醒：利用三角形法那么或平行四边形法那么，把所求向量用基向量表示出来.当 堂 达

10、标·固 双 基1给出以下命题：假设a，b，c可以作为空间的一个基底，d与c共线，d0，那么a，b，d也可作为空间的基底；向量ab，那么a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；A，B，M，N是空间四点，假设，不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面；向量组a，b，c是空间的一个基底，假设mac，那么a，b，m也是空间的一个基底其中正确命题的个数是A1 B2C3 D4D根据基底的概念，空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，否那么就不能构成空间的一个基底显然正确，中由、共面且过一样点B，故A、B、M、N共面下面证明正确假设d与a、b共面，那么存在实数，使dab，d与c共线，c0，存在实数k，使dkc，d0，k0，从而cab，c与a、b共面与条件矛盾d与a，b不共面同理可证也是正确的2对空间任一点O和不共线三点A、B、C，能得到P、A、B、C四点共面的是A.B.C.D以上皆错B法一：1，选B.法二：，3，P、A、B、C共面3正方体ABCD­ABCD，点E是AC的中点，点F是AE的三等分点，且AFEF，那么等于 【导学号：33242247】A.B.C.D.D由条件AFEF知，EF2AF，AEAFEF3AF，.4点M在平面ABC内，并