第3章 3.3　3.3.2　极大值与极小值

1、.3.3.2极大值与极小值学习目的：1.理解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵敏应用难点2.掌握函数极值的断定及求法重点自 主 预 习探 新 知1函数极值的定义函数的极值极大值设函数yfx在xx0及其附近有定义，假如fx0的值比x0值附近所有各点的函数值都要大，那么称fx0是函数fx的一个极大值极小值设函数yfx在xx0及其附近有定义，假如fx0的值比x0值附近所有各点的函数值都要小，那么称fx0是函数fx的一个极小值.2.求函数yfx的极值的方法解方程fx0，当fx00时：1假如在x0附近的左侧fx0，右侧fx0，那么fx0是极大值；2假如在x0附近的左侧fx

2、0，右侧fx0，那么fx0是极小值根底自测1判断正误：1函数fx有极值2函数的极大值一定大于极小值3假设fx00，那么x0一定是函数fx的极值点【解析】1.fx在，0，0，上是减函数，故无极值2.反例，如下图的函数的极大值小于其极小值3.反例，fxx3，fx3x2，且f00，但x0不是极值点【答案】1232函数yx的极大值为_【解析】y1，令y0得x21，x1.当x，1时，y0.当x1,0时，y0.yx在x1处获得极大值y2.【答案】2合 作 探 究攻 重 难求函数的极值求以下函数的极值：1y2x36x218x3；2y2x. 【导学号：95902226】思路探究f x00只是可导函数fx在x0

3、处有极值的必要条件，只有再加上x0左右导数的符号相反，才能断定函数在x0处获得极值【自主解答】1函数的定义域为R.y6x212x186x3x1，令y0，得x3或x1.当x变化时，y，y的变化情况如下表：x，333,111，y00y极大值57极小值7从上表中可以看出，当x 3时，函数获得极大值，且y极大值57.当x 1时，函数获得极小值，且y极小值7.2函数的定义域为，00，y222，令y0，得x2或x2.当x2时，y0；当2x0时，y0.即x2时，y获得极大值，且极大值为8.当0x2时，y0；当x2时，y0.即x2时，y获得极小值，且极小值为8.规律方法求函数极值的方法(1)求f(x)0在函数

4、定义域内的所有根；(2)用方程f(x)0的根将定义域分成假设干个小区间、列表；(3)由f(x)在各小区间内的符号，判断f(x)0的根处的极值情况.跟踪训练1求函数yx44x35的极值【解】y4x312x24x2x3令y4x2x30，得x10，x23.当x变化时，y，y的变化情况如下表：x，000,333，y00y不是极值极小值22故当x3时函数获得极小值，且y极小值f322.函数的极值求参数函数fxax3bx2cxa0在x1处获得极值，且f11.1求常数a，b，c的值；2求函数的极大值和极小值思路探究可导函数的极值点一定是使导函数值为零的点，因此f10，f10，再由f11，得到三个关于a，b，

5、c的方程，联立可求得a，b，c的值【自主解答】1fx3ax22bxc，由x1是极值点，得又f11，所以abc1. 联立，解得，经历证a，b，c的值符合题意2由1得fxx3x，所以fxx2x1x1，当x1或x1时，fx0；当1x1时，fx0.所以，当x1时，fx有极大值f11；当x1时，fx有极小值f11.规律方法函数极值，求参数的值时，应注意两点：(1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解.(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.跟踪训练2函数fxx3ax2bxa2在x1处获得极值10，求常数a、b的值. 【导学

6、号：95902227】【解】fx3x22axb，依题意得即解得或但由于当a3，b3时，fx3x26x30，故fx在R上单调递增，不可能在x1处获得极值，所以不符合题意，舍去；而当时，经检验知符合题意，故a，b的值分别为4，11.函数极值的综合应用探究问题1三次函数fxax3bx2cxda0，假设fx0的两个根是x1，x2，且x1x2，分别写出当a0和a0时函数fx的单调区间【提示】由题意可知fxaxx1xx2，当a0时，令fx0可得xx1或xx2，令fx0可得x1xx2，所以当a0时，函数fx的单增区间是，x1，x2，单调减区间是x1，x2同理当a0时，函数fx的单增区间是x1，x2，单减区间

7、是，x1，x2，2当a0时，分别判断当x和x时探究1中的三次函数fx的变化趋势是怎样的？当a0时呢？【提示】当a0时，假设x，那么fx，假设x，那么fx；当a0时，假设x，那么fx，假设x，那么fx.3设a0，讨论探究1中的三次函数fx的图象和x轴交点的个数？【提示】因为a0，所以函数fx的单调增区间是，x1，x2，单减区间是x1，x2所以fx的极大值为fx1，极小值为fx2，显然fx1fx2，所以当fx20或fx10时，函数fx的图象和x轴只有1个交点；当fx10或fx20时，函数fx的图象和x轴有2个交点；当fx10且fx20时，函数fx的图象和x轴有3个交点函数fxx33ax1，a0.1

8、求fx的单调区间；2假设fx在x1处获得极值，直线ym与yfx的图象有三个不同的交点，求m的取值范围思路探究解1需要对参数a分类讨论解决2可根据在x1处获得极值的条件，解出a的值，进而求m的取值范围【自主解答】1fx3x23a3x2a，当a0时，对xR，有fx0，所以当a0时，fx的单调递增区间为，；当a0时，由fx0，解得x或x，由fx0，解得x，所以当a0时，fx的单调递增区间为，fx的单调递减区间为，2因为fx在x1处获得极值，所以f13123a0.所以a1.所以fxx33x1，fx3x23.由fx0，解得x11，x21.由1知fx的单调性，可知fx在x1处获得极大值f11 ，在x1处获

9、得极小值f13.因为直线ym与函数yfx的图象有三个不同的交点，又f3193，f3171，结合fx的单调性和极值情况，它的图象大致如下图，结合图象，可知m的取值范围是 3,1规律方法应用导数求函数的极值，来确定函数图象的交点个数或方程的根的个数，是一种很有效的方法，它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数.跟踪训练3函数fxx34x4.试分析方程afx的根的个数【解】fxx34x4，fxx24x2x2由fx0得x2或x2.当x变化时，fx，fx的变化情况如下表：x，222,222，fx00fx极大值极小值当x2时，函数获得极大值f2.当x2时，

10、函数获得极小值f2.且fx在，2上递增，在2,2上递减，在2，上递增根据函数单调性、极值情况，它的图象大致如下图结合图象：当a或a时，方程afx有一个根当a时，方程afx有三个根当a或a时，方程afx有两个根构建体系 当 堂 达 标固 双 基1以下四个函数中：yx3；yx21；yx2；y2x 能在x0处获得极值的函数是_填序号【解析】均为单调函数，不存在极值，在x0处获得极值【答案】2以下结论：导数为零的点一定是极值点；假如在x0附近的左侧f x0，右侧f x0，那么fx0是极大值；假如在x0附近的左侧f x0，右侧f x0，那么fx0是极小值；假如在x0附近的左侧f x0，右侧f x0，那么fx0是极大值其中正确的选项是_. 【导学号：95902228】【解析】根据函数极值的概念，依次判断各选项知，选项，均错，选项正确【答案】3函数fxx33x21在x_处获得极小值【解析】fx3x26x3xx2，当x0,2时，fx0，fx递减，当x，0或2，时，fx0，fx递增，在x2处函数获得极小值【答案】24函数fx的定义域为开区间a，b，导函数fx在a，b内的图象如图336所示，那么函数fx在开区间a，b内有_个极小值点图336【解析】由题图可知，在区间a，x1，x2,0，0，x3内fx0；在区间x1，x2，x3，b内fx0，即fx在a，x1内单调递增，在x1，x2内单调递减，在x2