第3章 3.2 3.2.1　倍角公式

1、.3.2倍角公式和半角公式3.2.1倍角公式学习目的：1.理解二倍角公式的推导过程，知道倍角公式与和角公式之间的内在联络重点2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并能运用这些公式进展简单的恒等变换重点、难点自 主 预 习·探 新 知二倍角公式S2：sin 22sin_cos_ .C2：cos 2cos2sin22cos2112sin2 .T2：tan 2 .考虑：你是怎样理解倍角公式中的“倍角二字的？提示倍角公式中的“倍角是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如2是的二倍角，8是4的二倍角，是的二倍角等等根底自测1判断正确的打“，错误的打“×1二倍角的正弦、余弦、正

2、切公式的适用范围是任意角2存在角，使得sin 22sin 成立3对于任意的角，cos 22cos 都不成立解析1×.二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二倍角的正切公式，要求kkZ且±kkZ，故此说法错误2.当kkZ时，sin 22sin .3×.当cos 时，cos 22cos .答案1×23×2sin 15°sin 75°的值为A.B.C. D.B原式sin 15°cos 15°sin 30°.3计算12sin222.5°的结果为【导学号：79402126】A. B.C.

3、D.B12sin222.5°cos 45°.4cos ，那么cos 2等于_解析由cos ，得cos 22cos212×21.答案合 作 探 究·攻 重 难利用二倍角公式化简求值化简求值1cos4 sin4 ；2sin ·cos ·cos ；312sin2 750°；4tan 150°.思路探究灵敏运用倍角公式转化为特殊角或产生相消项，然后求得解1cos4 sin4 cos .2原式cossin cos sin ，原式.3原式cos2×750°cos 1500°cos4×36

4、0°60°cos 60°，原式.4原式，原式.规律方法二倍角公式的灵敏运用：1公式的逆用：逆用公式，这种在原有根底上的变通是创新意识的表达主要形式有：2sin cos sin 2，sin cos sin 2，cos ，cos2 sin2 cos 2，tan 2.2公式的变形：公式间有着亲密的联络，这就要求考虑时要融会贯穿，有目的地活用公式主要形式有：1±sin 2sin2 cos2 ±2sin cos sin ±cos 2，1cos 22cos2 ，cos2 ，sin2 .跟踪训练1求以下各式的值：1sin cos ；22sin21；

5、3cos 20°cos 40°cos 80°.【导学号：79402127】解1原式.2原式22cos .3原式.利用二倍角公式解决条件求值问题1sin 3cos ，那么tan 2的值为A2B2C. D2sin，那么cos的值等于A. B.C D3cos ，sin ，是第三象限角，.求sin 2的值；求cos2的值思路探究1可先求tan ，再求tan 2；2可利用22求值；3可先求sin 2，cos 2，cos ，再利用两角和的余弦公式求cos2解析1因为sin 3cos ，所以tan 3，所以tan 2.2因为cossinsin，所以cos2cos212×

6、;21.答案1D2C3因为是第三象限角，cos ，所以sin ，所以sin 22sin cos 2××.因为，sin ，所以cos ，cos 22cos2 12×1，所以cos2cos 2cos sin 2sin ××.规律方法直接应用二倍角公式求值的三种类型：1sin 或cos cos 或sin sin 2或cos 22sin 或cos cos 212sin2 或2cos2 13sin 或cos 跟踪训练21，sin ，那么sin 2_，cos 2_，tan 2_.2sinsin，且，求tan 4的值解析1因为，sin ，所以cos ，所以s

7、in 22sin cos 2××，cos 212sin2 12×2，tan 2.答案2因为sinsincos，那么条件可化为sincos，即sin，所以sin，所以cos 2.因为，所以2，2，从而sin 2，所以tan 22，故tan 4.利用二倍角公式证明求证：sin 2.【导学号：79402128】思路探究可先化简左边，切化弦，再利用二倍角公式化简出右边证明：法一左边sin cos cos sin cos sin 2右边原式成立法二左边cos2·cos2·tan cos sin sin 2右边规律方法证明问题的原那么及一般步骤：1观察式子

8、两端的构造形式，一般是从复杂到简单，假如两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑的思想2证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子构造等方面的差异，然后本着“复角化单角“异名化同名“变量集中等原那么，设法消除差异，到达证明的目的跟踪训练3求证：cos2ABsin2ABcos 2Acos 2B；解左边cos 2Acos 2Bsin 2Asin 2Bcos 2Acos 2Bsin 2Asin 2Bcos 2Acos 2B右边，等式成立.倍角公式的灵敏运用探究问题1在化简时，如何灵敏使用倍角公式？提示在化简时，假如只是从的关系去整理，化简可能感觉无从下手，但假如将看成的倍角，可能会有另一

9、种思路，原式.2如何求函数fx2cos2x12·sin xcos xxR的最小正周期？提示求函数fx的最小正周期，可由fx2cos2x12sin xcos xcos 2xsin 2x2sin，知其最小正周期为.求函数fx5cos2xsin2x4sin xcos x，x的最小值，并求其单调减区间思路探究解fx5··2sin 2x32cos 2x2sin 2x343434sin34sin，x，2x，sin，所以当2x，即x时，fx取最小值为32.因为ysin在上单调递增，所以fx在上单调递减规律方法此题考察二倍角公式，辅助角公式及三角函数的性质.解决这类问题经常是先利

10、用公式将函数表达式化成形如yAsin(x)的形式，再利用函数图象解决问题.跟踪训练4求函数ysin4x2sin xcos xcos4 x的最小正周期和最小值，并写出该函数在0，上的单调递减区间解ysin4x2sin xcos xcos4xsin2xcos2xsin2xcos2x2sin xcos xcos 2xsin 2x22sin，所以T，ymin2.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，又x0，所以令k0，得函数的单调递减区间为.当 堂 达 标·固 双 基1sin x，那么cos 2x的值为A.B.C. D.A因为sin x，所以cos 2x12sin2 x12×2.2以下各式中，值为的是【导学号：79402129】A2sin 15°cos 15° Bcos215°sin215°C2sin215°1 Dcos215°sin215°B2sin 15°cos 15°2×，cos215°sin2