第3章 3.2 3.2.2　空间线面关系的判定

1、.3.2.2空间线面关系的断定学习目的：1.能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系，能用向量方法证明有关直线、平面位置关系的一些定理包括三垂线定理重点2.能用向量方法断定空间线面的平行和垂直关系重点、难点3.向量法证明线面平行易错点自 主 预 习·探 新 知教材整理向量法断定线面关系阅读教材P101例1以上的部分，完成以下问题设空间两条直线l1，l2的方向向量分别为e1，e2，两个平面1，2的法向量分别为n1，n2，那么有下表：平行垂直l1与l2e1e2e1e2l1与1e1n1e1n11与2n1n2n1n21判断正确的打“，错误的打“×1假设向量n1，n2为平面的

2、法向量，那么以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行2假设平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，那么该直线与平面平行3假设一直线与平面垂直，那么该直线的方向向量与平面内所有直线的方向向量的数量积为0.4两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线的方向向量与另一个平面内的直线的方向向量垂直答案1234×2设直线l1的方向向量为a3,1，2，l2的方向向量为b1,3,0，那么直线l1与l2的位置关系是_解析a·b3,1，2·1,3,03300，ab，l1l2.答案垂直3假设直线l的方向向量为a1,2,3，平面的法向量为n2，4，6，那么直线l与平面的位置关系

3、是_. 【导学号：71392194】解析n2a，na，又n是平面的法向量，所以l.答案垂直4不重合的平面，的法向量分别为n1，n2，那么平面与的位置关系是_解析n13n2，n1n2，故.答案平行合 作 探 究·攻 重 难向量法证明平行问题在正方体ABCD­A1B1C1D1中如图3­2­7，设O，O1分别为AC，A1C1的中点，求证：图3­2­71BO1OD1；2BO1平面ACD1；3平面A1BC1平面ACD1. 【导学号：71392195】精彩点拨自主解答建立如下图的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，那么有：D0,0,0，A2,0,

4、0，B2,2,0，C0,2,0，A12,0,2，B12，2,2，C10,2,2，D10,0,2，O11,1,2，O1,1,01由上可知1，1,2，1，1,2，又直线BO1与OD1无公共点，BO1OD1.2法一：由上可知，2,2,0，2,0,2，共面，平面ACD1，又BO1平面ACD1，BO1平面ACD1.法二：设平面ACD1的一个法向量为nx，y,1，由得n1,1,1·n1，1,2·1,1,10，n.又BO1平面ACD1，BO1平面ACD1.3法一：2,0,2，2,0,2，又BC1与AD1不重合，BC1AD1，又BC1平面ACD1，BC1平面ACD1.又由1知，BO1平面A

5、CD1.BC1，BO1平面A1BC1，且BC1BO1B，平面A1BC1平面ACD1.法二：设平面A1BC1的一个法向量为nx，y,1，由可求得n1,1,1，nn，平面ACD1平面A1BC1.名师指津1证明线面平行常用的方法1证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量共面2证明直线的方向向量与平面内的一个向量平行3证明直线的方向向量与平面的法向量垂直2证明面面平行常用的方法1利用上述方法证明平面内的两个不共线向量都平行于另一个平面2证明两个平面的法向量平行3证明一个平面的法向量也是另一个平面的法向量提醒：直线与平面平行与向量与平面平行是有区别的，通过证明平面内的一个向量与直线的方向向量平行需要

6、特别说明直线的方向向量不在平面内再练一题1如图3­2­8所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点，求证：MN平面A1BD.图3­2­8证明法一：如下图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，那么M，N，D0,0,0，A11,0,1，B1,1,0，1,0,1，1,1,0设平面A1BD的一个法向量为nx，y，z，那么从而可得令x1，得y1，z1，平面A1BD的一个法向量为n1，1，1，·n0，n.MN平面A1BD，MN平面A1BD.法

7、二：，.MN平面A1BD，A1D平面A1BD，MN平面A1BD.法三：0·，可用与线性表示，故与和是共面向量，MN平面A1BD，MN平面A1BD.向量法证明垂直问题如图3­2­9所示，在四棱锥P­ABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60°，PAABBC，E是PC的中点图3­2­9证明：1AECD；2PD平面ABE. 【导学号：71392196】精彩点拨自主解答AB，AD，AP两两垂直，建立如下图的空间直角坐标系，设PAABBC1，那么P0,0,11ABC60°，ABC为正三角形，C，E.设D0，

8、y,0，由ACCD，得·0，即y，那么D，.又，·××0，即AECD.2法一：P0,0,1，.又·××10，即PDAE.1,0,0，·0.PDAB，又ABAEA，PD平面ABE.法二：1,0,0，设平面ABE的一个法向量为nx，y，z，那么令y2，那么z，n0,2，显然n.n，平面ABE，即PD平面ABE.名师指津1证明线线垂直常用的方法证明这两条直线的方向向量互相垂直2证明线面垂直常用的方法1证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量；2证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直3证明面面垂直常用的方法1转化为线

9、线垂直、线面垂直处理；2证明两个平面的法向量互相垂直再练一题2在例2中，平面ABE与平面PDC是否垂直，假设垂直，请证明；假设不垂直，请说明理由解由例2，可知，设平面PDC的法向量为mx，y，z，那么令y，那么x1，z2，即m1，2，由例2知，平面ABE的法向量为n0,2，m·n0220，mn.所以平面ABE平面PDC.利用向量法证明平行、垂直关系探究问题1向量法断定线面关系与传统法比较，向量法有何优点？提示向量法断定线面关系与传统法比较起来，优点在于：以算代证，用定量计算代替了定性分析，防止了繁琐的逻辑论证过程，对视图才能、空间想象才能要求稍低，降低理解决问题的难度2用向量方法证明

10、平行、垂直问题的一般步骤是什么？提示1建立空间图形与空间向量的联络；2通过向量运算研究平行、垂直问题；3根据运算结果解释相关问题3向量方法如何解决与平行、垂直有关的探究问题？提示在立体几何中，经常会遇到点、线、面处在什么位置时结论成立，或某一结论成立时需要具备什么条件，或某一结论在某一条件下，某个元素在某个位置时是否成立等类似的问题这些问题都属探究性问题，解决这些问题仅凭几何手段有时会非常困难，我们借助向量将“形转化为“数，把点、线、面的位置数量化，通过对代数式的运算就可得出相应的结论这样可以把许多几何问题进展类化，公式化，使问题的解决变得有“法可依，有路可寻如图3­2­1

11、0所示，四棱锥S­ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点图3­2­101求证：ACSD；2假设SD平面PAC，那么侧棱SC上是否存在一点E，使得BE平面PAC.假设存在，求SEEC的值；假设不存在，试说明理由. 【导学号：71392197】精彩点拨根据条件建立空间直角坐标系，把空间线面的位置关系问题转化为向量间的关系问题，通过向量的计算得出结论自主解答1证明：连接BD，设AC交BD于O，那么ACBD.由题意知SO平面ABCD.以O为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图，设底面边长为a，那么高SOa，于是

12、S，D，B，C，那么·0，故OCSD，从而ACSD.2棱SC上存在一点E使BE平面PAC.理由如下：由条件知是平面PAC的一个法向量，且，设t，那么t，而·0，a2a2t0，t.即当SEEC21时，.而BE不在平面PAC内，故BE平面PAC.再练一题3在直三棱柱ABC­A1B1C1中，ACBC，D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE平面A1MC？请证明你的结论图3­2­11解假设在线段AB上存在一点M，使直线DE平面A1MC，建立如下图的空间直角坐标系设ACa，BCb，AA1c，那么D，E，Aa,0,0，A1

13、a，0，c，B0，b,0设Mx0，y0,0，且0x0a,0y0b，那么，a,0，c，x0，y0,0，设平面A1MC的法向量为nx，y，z，那么令x1，那么z，y，n.假设DE平面A1MC，那么n·0，即bx0ay00. 又，即x0a，y0,0x0，by0,0，解得bx0ay0ab0. 由解得x0，y0，即M，所以存在点M为线段AB的中点时，使DE平面A1MC.当 堂 达 标·固 双 基1假设平面，垂直，那么下面可以作为这两个平面的法向量的是_填序号n11,2,1，n23,1,1；n11,1,2，n22,1,1；n11,1,1，n21,2,1；n11,2,1，n20，2，2解

14、析两个平面垂直时，其法向量也垂直，只有中的两个向量垂直答案2ax,2，4，b1，y,3，c1，2，z，且a，b，c两两垂直，那么x，y，z_.解析由题意，知解得x64，y26，z17.答案64，26，173两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v11,0，1，v22,0,2，那么l1与l2的位置关系是_. 【导学号：71392198】解析v22v1，v1v2，又l1与l2不重合，l1l2.答案平行4以下命题中，正确的选项是_填序号假设n1，n2分别是平面，的一个法向量，那么n1n2；假设n1，n2分别是平面，的一个法向量，那么 n1·n20；假设n是平面的一个法向量，a与平面共面，那么n·a0；假设两个平面的法向量不垂直，那么这两个平面一定不垂直解析一定正确，中两平面有可能重合答案5如图3­2­12, 在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC，E为PC的中点，EFBP于点F.求证：图3­2­121PA平面EDB；2PB平面EFD.证明以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系D­xyz，如图