集合的概念与运算技巧

1、集合的概念与运算技巧11编稿：林景飞审稿：张扬责编：严春梅命题趋向：1. 高考试题通过选择题和填空题，以及大题的解集， 全面考查集合与简易逻辑的知识,题型新，分值稳定.一般占 5-10分.2简易逻辑一局部的内容在近两年的高考试题有所出现，应引起注意.规律方法指导：固1. 理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、 包含、相等关系的意义掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合.2. 解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合x|x P,要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质 P;要重视发挥图示法

2、的作用，通过数形结合直观地解决问题3注意空集Q的特殊性，在解题中，假设未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A匚B,那么有A= 或A工两种可能，此时应分类讨论 .经典例题精析：區类型一：正确理解和运用集合概念仁理解集合的概念，正确应用集合的性质是解此类题目的关键1. 集合 M=y|y=x 2+ 1,x R,N=y|y=x + 1,x R，贝U M A N=丨盘A . 0, 1， 1, 2B. 0, 1， 1, 2 C. y|y=1,或 y=2 D. y|y> 1思路点拨：集合M、N是用描述法表示的，兀素是实数y而不是实数对(x,y),因此M、N分别表示函数 y=x2 + 1(x R

3、), y=x + 1(x R)的值域，求 M A N即求两函数 值域的交集.解析：M=y|y=x 2 + 1,x R=y|y > 1 , N=y|y=x + 1,x R=y|y R. M A N=y|y > 1 A y|y R=y|y > 1, a 应选 D.总结升华：此题求M A N,经常发生解方程组心0L=+1-得Ji或xX，从而选B的错误,这是由于在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而无视了集合的元素是什么.事实上 M、N的兀素是数而不是点，因此M、N是数集而不是点集.集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分x|y=x 2 + 1、y|y

4、=x2+ 1,x R、(x,y)|y=x 2+ 1,x R，这三个集合是不同的.举一反三：C.【变式 1 】假设 P=y|y=x 2,x R , Q=y|y=x 2+ 1,x R，那么 PA Q 等于D .不知道【答案】事实上，P、Q中的代表元素都是 y,它们分别表示函数 y=x2,y= x2+ 1的值域，由 P=y|y >0,Q=y|y > 1，知 Q二|p，即 phq=q.应选 b.【变式 2】假设 P=y|y=x 2,x R , Q=(x , y)|y=x 2,x R，那么必有A. PH Q=B. P| QC. P=QD. P Q【答案】选 A . P表示函数y=x2的值域，

5、Q表示抛物线y=x2上的点组成的点集，因此PH Q=.【变式3】假设门=T“.，那么j 3 =A . 3B . 1C .D . 1【答案】 I，I'； C应选D .类型二：集合元素的互异性虧2. 集合 A=x|x 2 3x + 2=0,B=x|x 2 x + ：仁0，且 A U B=A，那么二 的 值煲思路点拨：要解决集合的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两 个集合元素完全相同及集合中元素确实定性、互异性，无序性建立关系式。由A UB=A=二-J从而推出B有四种可能，进而求出：；的值。解析：/ A U B=A，匸匸 A=1 , 2,b=或 B=1或 B=2或 B=1

6、 , 2.假设B= 二，那么令< 0得左;假设B=1，那么令 =0得左=2，此时1是方程的根；假设B=2，那么令 =0得左=2，此时2不是方程的根，.应<假设B=1 , 2，那么令> 0得文 R且:；丰2,把x=1代入方程得二 R,把x=2 代入方程得史=3.综上二的值为2或3.总结升华： 此题不能直接写出 B=1 , 1,因为史1可能等于1,与集合元素的互异性矛盾， 另外还要考虑到集合 B有可能是空集，还有可能是单元素集的情况. 集合元素的互异性，是集合的重要属性，教学实践告诉我们，集合中元素的互异性常 常被学生在解题中忽略，从而导致解题的失败。 解决集合相等的问题易产生与

7、互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验和修正举一反三：【变式1】假设A=2 , 4,入 ,1QB=1 冷 +1 tjK 2盘+2 _2& 十也 +3盘 + 7 且A n B=2 , 5，那么实数应的值是【答案】：/ A n B=2，5，'】/ 丄 -,由此求得：二或二二 ±.A=2,4,5，集合B中的元素是什么，它是否满足元素的互异性，有待于进步考查.当-时，十二；1 ,与元素的互异性相违背，故应舍去.当【时，B=1,0,5,2,4,与An B=2，5相矛盾，故又舍去二一-.当一时，A=2 , 4, 5,B=1,3,2,5,25，此时 A n B=2 , 5，满足题

8、设.故$二为所求.【变式2】集合 人=丁只一三：戶一壬 , B=二 产，.假设A=B，那么的值是【答案】分两种情况进行讨论.1假设直_上=乳：且卫_口：=：二，消去b得：丄二；*-,，一】时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故“ “. 一-,即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解.2 丨假设应+ b=：；c2 且:；+ 2b=：；c,消去 b 得：Nc2出 c：； =0,：；丰 0,1c = 2c2 c仁0,即(c 1)(2c + 1)=0，又 CM 1，故-.类型三：证明、判断两集合关系的方法.1集合与集合之间的关系问题， 是我们解答数学问题过程中经常遇到，并且必须

9、解决的问题，因此应予以重视.反映集合与集合关系的一系列概念，都是用元素与集合的关系来定义的因此，在证明判断两集合的关系时，应回到元素与集合的关系中去.设集合 A=a|a=3n + 2,n Z，集合 B=b|b=3k 1,k Z，那么集合 A、B 的关系 .忌思路点拨：此题主要考查集合间关系的运算解析：设 a A，贝U a=3n + 2=3(n + 1) 1(n Z)，/ n乙+ 1乙 -3 B,故日一卫. 又设 b B，贝U b=3k 1=3(k 1) + 2(k Z),/ k Z,. k 1 乙 b A，故三'=丄由、知A=B .总结升华：这里说明a B或b A的过程中，关键是先要变

10、或凑出形式，然后再 推理.举一反三：【变式1】假设A、B、C为三个集合，那么一定有A .二=匚B .= C 斗一 ID .-!?【答案】选A.由一三知，丄一. 一一 ，应选A.等于A. 2 【答案】选C.【变式2】全集C. 3 , 4D. 2 , 3, 4, 5【变式3】设集合-,那么满足二-： 宀H的集合B的个数是A . 1B .3C .4D . 8【答案】选C.'；，1 '：，那么集合 B中必含有元素 3，即此题可转化为求集合“丄1的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B共有-个.【变式4】记关于的不等式77T的解集为p，不等式1 _ I " 1的解集为j-由宀，

11、得一<x <a，又。匚F,所以迎沁，I丨假设- 5，求丄二；II丨假设二一 ，求正数虫的取值范围.【答案】I由_ ，得一'II2 = >j|z -1|< l = xpf rC 2即空的取值范围是类型四：空集的特殊性和特殊作用修空集是一个特殊的重要集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集显然，空集与任何集合的交集为空集，与任何集合的并集仍等于这个集合当题设 中隐含有空集参与的集合关系时，其特殊性很容易被无视的，从而引发解题失误.4. 集合 A=x|x 2 + (m + 2)x + 1=0,x R，假设 A n ='=二：，那么实数 m

12、 的取值 范围是. d±j思路点拨：从方程观点看，集合A是关于x的实系数一元二次方程x2+ (m + 2)x +仁0的解集，而x=0不是方程的解，所以由 A n =可知该方程只有两个负根或无实数根，从而 分别由判别式转化为关于m的不等式，并解出 m的范围.解析：由A n三“=，又方程x2 + (m + 2)x +仁0无零根，所以该方程只有两个负根或无实数根，A = (ffs-l- 2)' 40,一 (陶+2)CO,或厶=(m + 2)2-4<0.解得 m> 0 或一4< m<0, 即卩 m> 4.点评：此题容易发生的错误是由A n ='=

13、：只片面地推出方程只有两个负根因为两根之积为1，因为方程无零根，而把A=；漏掉，因此要全面准确理解和识别集合语言.总结升华：从以上解容许看到：解决有关A n-7 =芒、A U B=E , A二B等集合问题易无视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题.举一反三：【变式1】A=x|x 2 3x+ 2=0,B=x|ax 2=0且A U B=A，那么实数a组成的集合 C 是.【答案】答案：C=0 , 1 , 2.当b=：时，应=0,符合题设，当B为非空集合时，由 x2 3x + 2=0 得 x=1 或 2.当 B=1时，a=2,当 B=2时，a =1.卡6+4刊.假设如-0,

14、故正确答案为 C=0 , 1 , 2.【变式2】集合-! I :,那么实数0的取值范围是.【答 案】二制不>4或t莖1),j4 = x | j -dt|C 1 = - 1 < xC1),a +1 <4=>2< 3.-1 > 1故实数二的取值范围是(2-3)【答案】p的取值范围是p< 3错解：由 x2- 3x - 10W 0 得一2< x< 5【变式3】集合A=x|x 2- 3x 10W 0，集合B=x|p +-1 假设BU A，那么实数p的取值范围是 .欲使B二A，只须一 f 一1 p的取值范围是一3W p< 3 上述解答忽略了 空集

15、是任何集合的子集这一结论，即B=W时，符合题设. 正解：当 BM时，即p + 1 <2p- 1二p>2 由B匚A得: 2< pw 3.当 B=：时，即 p+ 1> 2p- 1 二 pv 2 由、得：p w 3.类型五：利用数形结合解集合问题 仁集合问题大都比拟抽象，解题时要尽可能借助文氏图、数轴或直角坐标系等工具将抽象 问题直观化、形象化、明朗化，然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获解.5. 设 A=x| 2v x v- 1 或 x > 1， B=x|x 2 + 史 x + bw 0，鳶| A U B=x|x >- 2，A n B=x|1 v xw

16、3，求曳、b 的值.思路点拨：可在数轴上画出图形，禾U用图形分析解答.解析：如下列图，设想集合B所表示的范围在数轴上移动，显然当且仅当一 儿I-.-时，才能使 a U B=x|x >- 2，且 A n B=x|1 v xw 3.根据二次不等式与二次方程的关系，可知1与3是方程x2 + ：； x + b=0的两根，-y= ( 1 + 3)= 2，b=( 1) X 3= 3.点评：类似此题多个集合问题，借助于数轴上的区间图形表示进行处理，采用数形结合的方法，会得到直观、明了的解题效果.总结升华：此题采用数轴表示法，根据数轴表示的范围，可直观、准确的写出问题的结果.举一反三：【变式 1 】设全

17、集 U=x|0 v x v 10,x N*，假设 A n B=3，A n CuB=1，5，7，CuA n CuB=9，那么集合A= ; B =.【答案】A=1，3，5，7，B=2，3，4，6，8.先画出文氏图，用填图的方法来解【变式 2】集合 A=x|x 2+ 5x - 6w 0,B=x|x 2 + 3x > 0，求 A U B 和 A n B .【答案】 A=x|x 2 + 5x- 6w 0=x| - 6w xw 1，B=x|x 2+ 3x > 0=x|x v 3 或 x > 0.* i '_SJ di_>如下列图，一、 ._A U B=x| 6Wxw 1 U

18、 x|x v 3 或 x>0=R .A A B=x| 6< xw 1 A x|x v 3 或 x > 0=x| 6w xv 3 或 Ov x< 1.学习成果测评宏一.选择题:訝1. 设 M=x|x +x+2=0,a=lg(lg10)，那么a与 M的关系是A a=MB IMiaC M aD、审a2. 全集-t=R, A=x|x- - |<2 , B=x|x-1|> 3，且 AA B=，那么二的取值范围 是 A 0 , 2B、 -2 , 2C、 0, 2D、 0, 23. 集合 M=x|x= -3 盒+2, -； R, N=x|x=b -b , b R,那么 M

19、, N 的关系是A厝NB、M NC M=ND、不确定4. 设集合 A=x|x Z且-10 w x w -1 , B=x|x Z且凶w 5，那么AU B中的元素个数是A11B、10C、16D、155.集合 M=1, 2,3, 4, 5的子集是A15B、16C、31D、32kxfcr n+ 4-6、集合 M=x|x= -1 ,k Z,N=x|x='- ,k Z,那么()A M=NB、M NC 曙 ND、MA N=-'7、集合 A=x| 2w xw 7,B=x|m+1<x<2m 1且 B',假设 AU B=A 贝U ()A、一 3w mw 4B、一 3<m&

20、lt;4C、2<m<4 D、2<mw 4齐/十2兀一讣=W a0匚3&集合M=A. a 至-1B. a 至1C. a且工，那么实数a的取值范围是沙19.满足戊，b U M=严，b, c, d的所有集合M的个数是A. 7B. 6C. 5D. 410 .假设命题P: x迂A丨B ，那么一 P是 A. x B B. x 亡A或 xB C. x 壬 A且 B D. x 三 A- B11.集合M=：，龙 .P= - -； ,2 左-1 ;假设 card(M J P)=3，那么 M P=()A. -1 B. 1C. 0D. 312.设集合P= 3,4,5 .Q=4,5,6,7 .

21、令P*Q= ，那么P*Q中元素的个数是()A. 3B. 7C. 10D. 12二.填空题:13.M=N=x|-，贝y Mn N=u14.非空集合p满足以下两个条件：1卩厂1 , 2, 3, 4, 5 ,2假设元素二 p,那么6-肚 p，那么集合p个数是.15设A= 1, 2 , B= x | x匸A,假设用列举法表示，那么集合 B是16 .含有三个实数的集合可表示为三解答题：17 .全集戸=R，且 L厂 I丿，求(务亦畅).18. 集合 M=y|y=x2+1, x R, N=y|y=x+1 , x R，求 Mn N.19. 设集合 A=(x , y)|y= :; x+1 , B=(x , y)

22、|y= |x|,假设 An B是单元素集合，求；取 值范围.20. 设 A=x|x 2+px+q=0工；，M=1, 3, 5, 7, 9, N=1 , 4 , 7 , 10，假设 An M=, An N=A求p、q的值.2 221. 集合 A=x|x -3x+2=0 , B=x|x -mx+2=0，且 AA B=B,求实数 m范围.22. 集合/ = 齐|/ 一2斋一3 A= 入 J +曲 +& £Q)一 *十丄求十的值223.集合 A=x|x 4mx+ 2m+ 6=0,x R，假设AA R工：,求实数 m的取值范围。24.命题甲：方程 x2+ mx+仁0有两个相异负根；命题

23、乙：方程4x2+ 4(m 2)x + 1=0无实根，这两个命题有且只有一个成立，求m的取值范围。参考答案：強2.A3.C8.C9.D4.C5.D10.B11.B6. C12.D1.7.选择题：CD* .填空题：13.E ；14. 7;15.二.一；16.-1.三解答题：17.解":=工卜？空卞B = z|x <-15)5>5,CA = 才 <> 4卫課=|-1 r < 5j.-3门(护=朴心.218 解:M=y|y=x +1, x R=y|y > 1 , N=y|y=x+1 , x R=y|y R. M A N=M=y|y > 1.19. ： > 1或；w -1 ;提示：画图.20.护二一14a = 4021 .解：化简条件得