三角形的内角和定理

1、三角形的内角和定理第一页，共27页。1 12 2a ab bA AB B 如图如图, ,木条木条a,ba,b被被ABAB所截若所截若ab,ab,则则两直线平行两直线平行, ,同旁内角互补同旁内角互补180180把木条把木条a a绕点绕点A A顺时针转动顺时针转动, ,使它与木条使它与木条b b相交于点相交于点C.C.得到什么几何图形？得到什么几何图形？(3 34 4(a a(1)1_3,理由理由: _(2)1_4,理由理由:_=两直线平行两直线平行, ,同位角相等同位角相等(3)1+2= .理由理由: _ 两直线平行两直线平行, ,内错角相等内错角相等=C C第二页，共27页。 三角形蓝和三角

2、形红见面了，蓝炫耀的说：三角形蓝和三角形红见面了，蓝炫耀的说：“我的面积比你大，所以我的内角和也比你大我的面积比你大，所以我的内角和也比你大！”红不服气的说：红不服气的说：“那可不好说噢，你自己那可不好说噢，你自己量量看！量量看！” 蓝用量角器量了量自己的内角蓝用量角器量了量自己的内角, ,然后算出然后算出了三个内角的和，就不再说话了！了三个内角的和，就不再说话了！ 同学们，你们知道其中的道理吗？同学们，你们知道其中的道理吗？问题情境问题情境三角形三个内角的和等于三角形三个内角的和等于180第三页，共27页。通过剪拼三角形验证三角形三个内角的和等于通过剪拼三角形验证三角形三个内角的和等于180

3、180图1ABCAB怎样通过推理来证明这个结论呢？怎样通过推理来证明这个结论呢？第四页，共27页。命题命题：三角形三个内角的和等于三角形三个内角的和等于180分析这个命题的条件和结论分析这个命题的条件和结论条件条件 结论结论 已知：已知：ABC求证：求证：A +B +C =180画图写出已知求证画图写出已知求证第五页，共27页。联联想想思路：平角的度数是思路：平角的度数是180思路：两直线平行，思路：两直线平行， 同旁内角的和是同旁内角的和是180想一想在已学的几何定义、定理中想一想在已学的几何定义、定理中，会出现，会出现180180的有哪些结论？的有哪些结论？ 分析探究证明方法分析探究证明方

4、法第六页，共27页。已知，如图，已知，如图，ABC.求证：求证：A+B+C=180AB CED12证明证明：A+B+ACB=180（等量代换）（等量代换）提示提示:延长延长BC 到到D,过点过点C作作CEAB,这样就相当于把这样就相当于把A移到了移到了1的位置的位置,把把B移到了移到了2的位置的位置 .延长延长BC BC 到到D D ，过点，过点C C作作CEAB.CEAB.则则1=A1=A（两直线平行，内错角相等）（两直线平行，内错角相等）2=B2=B（两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等）ACB+1+2=180（1平角平角=180）这里的，称为这里的，称为辅助线辅助线，辅助线辅

5、助线通常画为通常画为虚线虚线在书写在书写证明过程时，要叙述辅助线的作法证明过程时，要叙述辅助线的作法证明：三角形三个内角的和等于证明：三角形三个内角的和等于180180ABCED思路：平角的度数是思路：平角的度数是180第七页，共27页。AB CED在这里，为了证明的需要，在原来的在这里，为了证明的需要，在原来的图形上图形上添画添画的线叫做的线叫做辅助线辅助线辅助线辅助线通常画成通常画成虚线虚线注意在写过程时，要注意在写过程时，要叙述辅助线的作法叙述辅助线的作法第八页，共27页。已知：如图，已知：如图，ABC.求证：求证：A+B+C=180AB CED12证明：证明：A+B+ACB=180（等

6、量代换）（等量代换）作作BC的延长线的延长线CD，过点，过点C作作CEAB.则则1=A（两直线平行，内错角相等）（两直线平行，内错角相等）2=B（两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等）ACB+1+2=180（1平角平角=180）证明：三角形三个内角证明：三角形三个内角 的和等于的和等于180180完整过程展示完整过程展示经过证明这个结论是真命题，以后我们经过证明这个结论是真命题，以后我们就可以把三角形三个内角的和等于就可以把三角形三个内角的和等于180称为三角形内角和定理了。称为三角形内角和定理了。第九页，共27页。还有其他证法吗？观察第二种剪拼方法，还有其他证法吗？观察第二种剪拼

7、方法，你有什么新发现？你有什么新发现？图2ABCCB已知：已知：ABC.求证：求证：A +B +C =180E F思路：平角的度数是思路：平角的度数是180第十页，共27页。证明：如图，在证明：如图，在BC上任取一点上任取一点D，AFEB CD 则有则有2B，3C， 4A （两直线平行，同位角相等），（两直线平行，同位角相等）， 14（两直线平行，内错角相等），（两直线平行，内错角相等），2 24 41 13 31A（等量代换）（等量代换）.又又1+2+3180（平角的定义），（平角的定义），A+B+C180. 4 41 12 23 3已知，如图，已知，如图，ABC.求证：求证：A+B+C=1

8、80过点过点D分别作分别作DFAC交交AB于于F ， DEAB交交AC于于E.思路：平角的度数是思路：平角的度数是180在三角形的边上得到平角，这个方法可行吗？在三角形的边上得到平角，这个方法可行吗？方法一，方法二在顶点处得到平角，除了顶点还可以在其他方法一，方法二在顶点处得到平角，除了顶点还可以在其他地方得到平角吗？你想到其他地方了吗？地方得到平角吗？你想到其他地方了吗？第十一页，共27页。在三角形的内部得到平角，这个方法在三角形的内部得到平角，这个方法可行吗？可行吗？同学们有兴趣可以课下研究一下。同学们有兴趣可以课下研究一下。在三角形的外部得到平角，这个在三角形的外部得到平角，这个方法可行

9、吗？方法可行吗？联联想想还可以在其他地方吗？你有什么联想呢？还可以在其他地方吗？你有什么联想呢？第十二页，共27页。图3ABCB能否将三角形的三个内角转能否将三角形的三个内角转化成平行线的一组同旁内角化成平行线的一组同旁内角呢呢? 观察下面的拼图，你找到观察下面的拼图，你找到答案了吗？答案了吗？思路：两直线平行，思路：两直线平行， 同旁内角的和是同旁内角的和是180第十三页，共27页。B+BAC +C =180 （等量代换）（等量代换）已知：已知：ABC.求证：求证：A +B +C =180ABC证明：证明：过过A作作AEBC，则则B=1 ( (两直线平行两直线平行, ,内错角相等内错角相等)

10、 )1+BAC+C=180 ( (两直线平行两直线平行, ,同旁内角互补同旁内角互补) )思路：两直线平行，思路：两直线平行， 同旁内角的和是同旁内角的和是180第十四页，共27页。能找到他们的共同点吗？能找到他们的共同点吗？ 根据平行线性质，利用内错角和同位角根据平行线性质，利用内错角和同位角将三角形三内角转化为一个平角或同旁将三角形三内角转化为一个平角或同旁内角内角 添加辅助线：平行线多解归一多解归一 第十五页，共27页。 已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，ABC=C， A36，则，则 则则ABD=_, ADB=_ 7236你真棒！你真棒！（1）ABC=C=_ 108ABDC（2）

11、作）作ABC的平分线的平分线BD交交AC于于D，第十六页，共27页。 求出下列图中求出下列图中x的值的值: :比比谁最快比比谁最快44 x x =4602 x xx =300猜想：直角三角形的两个锐角有什猜想：直角三角形的两个锐角有什么关系？么关系？直角三角形两锐角互余直角三角形两锐角互余 第十七页，共27页。证明证明：在在ABC中中 A+B+C=180(三角形内角和定理）三角形内角和定理） C= 90（已知）（已知） A+B+90=180（等量代换）（等量代换） A+B=18090= 90 （等式性质）（等式性质） 即即A+B=90ABC已知：在已知：在ABC中，中，C 90 求证：求证：A

12、B90 证明：直角三角形两锐角互余证明：直角三角形两锐角互余 这个结论以后可直接运用这个结论以后可直接运用 第十八页，共27页。ABC猜想猜想A与与BCD的大小关系，并说明理由的大小关系，并说明理由变式变式1： 过过C 作作CDAB于于D， D已知：在已知：在ABC中，中，ACB 90，A BCD解：解：A BCD理由理由：在在ABC中中ACB 90 A+B=90 CDAB BDC=90 BCD+B=90 A=BCD第十九页，共27页。ABC在在ABC中，中， CDAB于于D ，A=BCD 则则ACB=90变式变式2： D将上面的已知将上面的已知ACB 90与结论与结论A BCD交换交换位置，

13、其他条件不变。即：位置，其他条件不变。即：这是一个真命题吗？若是加以证明，若不这是一个真命题吗？若是加以证明，若不是请举出一个反例。是请举出一个反例。是是第二十页，共27页。ABC变式变式3： DE1 1？ 在变式2的基础上，平移CD 使其与AC的延长线交于点E,这时BCD平移到平移到1的位置，即的位置，即1=A，则，则ACB=90的结论还成立吗？的结论还成立吗？ 这就是课本习题第2题，具体的解答过程作为今天的当堂测试题。第二十一页，共27页。学学 而而 不不 思思 则则 罔罔回头一看，我想说回头一看，我想说第二十二页，共27页。1知识层面：知识层面：三角形内角和定理；三角形内角和定理；2思想

14、方法：思想方法：化归思想；化归思想；3解题经验：解题经验：三角形内角和定理的三角形内角和定理的 证明中，证明中， 添加辅助线的实质是通添加辅助线的实质是通过平行线来移动角过平行线来移动角总结概括，自我评价总结概括，自我评价第二十三页，共27页。证明三角形内角和口诀 形形色色三角形，内角和形形色色三角形，内角和180永不变；永不变；证明这个不算难，已知求证写齐全；证明这个不算难，已知求证写齐全；画出图形更直观，条件不够辅助线；画出图形更直观，条件不够辅助线；等角转换平行添，平衡翘板最简单。等角转换平行添，平衡翘板最简单。 第二十四页，共27页。（1 1）在）在ABCABC中中,A=35,A=35, , B=43B=43，则则 C=C= . . （2 2）在）在ABCABC中中,C=90,C=90,B=50,B=50, ,则则A =A = 。（3 3）在）在ABCABC中中, A=40, A=40, ,A=2BA=