2019年河南省中考数学试卷含解析

2019年河南省中考数学试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。

1.（3分）（2019•河南）-1■的绝对值是（）

2

A.-LB.XC.2D.-2

22

2.（3分）（2019•河南）成人每天维生素。的摄入量约为0.0000046克.数据“0.0000046”

用科学记数法表示为（）

A.46X107B.4.6X107C.4.6X106D.0.46X105

3.（3分）（2019•河南）如图，AB//CD,ZB=75°,ZE=27°,则/。的度数为（）

A.45°B.48°C.50°D.58°

4.（3分）下列计算正确的是（）

A.2a+3a=6aB.（-3a）2=6a2

C.（x-y）2=f-y2D.3&-圾=2圾

5.（3分）（2019•河南）如图①是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体

平移后得到图②.关于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是（）

图①图②

A.主视图相同B.左视图相同

C.俯视图相同D.三种视图都不相同

6.（3分）（2019•河南）一元二次方程（x+1）（x-1）=2x+3的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

7.（2019•河南）某超市销售A,B,C,D四种矿泉水，它们的单价依次是5元、3元、2

元、1元.某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是（）

A.1.95元B.2.15元C.2.25元D.2.75元

8.（3分）（2019•河南）已知抛物线y=-W+Z?x+4经过2,〃）和（4,〃）两点，则n

的值为（）

A.-2B.-4C.2D.4

9.（3分）（2019•河南）如图，在四边形ABC。中，ZZ）=90°,AD=4,8C=3.分

别以点A,C为圆心，大于Lc长为半径作弧，两弧交于点E,作射线BE交AD于点F

2

交AC于点。.若点。是AC的中点，则C。的长为（）

10.(3分)(2019•河南)如图，在△OAB中，顶点O(0,0),A(-3,4),B(3,4),

将△OA8与正方形ABC。组成的图形绕点。顺时针旋转，每次旋转90°,则第70次旋

转结束时，点。的坐标为（）

A.(10,3)B.(-3,10)C.(10,-3)D.(3,-10)

二、填空题（每小题3分，共15分。）

11.（3分）（2019•河南）计算：V4-2.

Z

三4-1

12.（3分）不等式组｛2、的解集是.

X.-x+7>4

13.（3分）现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球、

2个红球，这些球除颜色外完全相同.从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的两个球颜

色相同的概率是.

14.（3分）（2019•河南）如图，在扇形AO8中，ZAOB=120°,半径0c交弦AB于点D,

且。CUO4.若。4=2近，则阴影部分的面积为.

15.（3分）（2019•河南）如图，在矩形A8C。中，AB=1,8c=a，点E在边BC上，且

BE=L.连接AE,将△ABE沿AE折叠，若点B的对应点2,落在矩形A8C。的边上,

5

则a的值为.

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）

2

16.（8分）先化简，再求值：（史L-l）jx-21,其中苫=丁.

x-2x2-4x+4

17.（9分）（2019•河南）如图，在△ABC中，BA=BC,ZABC=90°,以AB为直径的半

圆。交AC于点。，点E是俞上不与点8,。重合的任意一点，连接AE交8。于点凡

连接BE并延长交AC于点G.

（1）求证：AADF出ABDG；

（2）填空：

①若42=4,且点E是笳的中点，则。尸的长为；

②取靠的中点H,当/EA8的度数为时，四边形O8EH为菱形.

18.（9分）（2019•河南）某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况,

从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分

析.部分信息如下:

a.七年级成绩频数分布直方图:

b.七年级成绩在70Wx<80这一组的是：

7072747576767777777879

c.七、八年级成绩的平均数、中位数如下：

年级平均数中位数

七76.9m

八79.279.5

根据以上信息，回答下列问题：

（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有人；

（2）表中力的值为；

（3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生

在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由；

（4）该校七年级学生有400人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数

76.9分的人数.

19.（9分）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度.如图所

示，炎帝塑像。E在高55机的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°,再沿

AC方向前进21%到达2处，测得塑像顶部。的仰角为60。，求炎帝塑像。E的高度.

（精确到1m.参考数据：sin34°心0.56,cos34°=0.83,tan34°心0.67,炳》.73）

20.（9分）学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品.已知购买3个A奖品和2个

B奖品共需120元；购买5个A奖品和4个8奖品共需210元.

（1）求A,8两种奖品的单价；

（2）学校准备购买A,8两种奖品共30个，且4奖品的数量不少于8奖品数量的请

3

设计出最省钱的购买方案，并说明理由.

21.（10分）（2019•河南）模具厂计划生产面积为4,周长为根的矩形模具.对于根的取值

范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，

过程如下：

（1）建立函数模型

设矩形相邻两边的长分别为x,»由矩形的面积为4,得xy=4,即由周长为加

X

得2（x+y）=m,即y=-x+^.满足要求的（x,y）应是两个函数图象在第象

限内交点的坐标.

（2）画出函数图象

函数y=2（尤＞0）的图象如图所示,而函数y=7+皿的图象可由直线y=-无平移得到.请

x2

在同一直角坐标系中直接画出直线y=-x.

（3）平移直线＞=-心观察函数图象

①当直线平移到与函数y=&（x>0）的图象有唯一交点（2,2）时,周长根的值为；

X

②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长根的取值

范围.

（4）得出结论

若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m的取值范围为

22.（10分）（2019•河南）在△ABC中，CA=CB,ZACB=a.点尸是平面内不与点A,C

重合的任意一点.连接AP,将线段AP绕点P逆时针旋转a得到线段。尸，连接ADBD,

CP.

（1）观察猜想

如图1,当a=60°时，毁的值是，直线8。与直线CP相交所成的较小角的度

CP

数是.

（2）类比探究

如图2,当a=90°时，请写出坨的值及直线2。与直线CP相交所成的小角的度数，并

CP

就图2的情形说明理由.

（3）解决问题

当a=90°时，若点尸分别是C4,C5的中点，点尸在直线所上，请直接写出点C,

P,〃在同一直线上时地的值.

CP

线y=-Xx-2经过点A,C.

2

(1)求抛物线的解析式；

(2)点尸是抛物线上一动点，过点尸作x轴的垂线，交直线AC于点设点尸的横坐

标为m.

①当△PCM是直角三角形时，求点尸的坐标；

②作点B关于点C的对称点8,则平面内存在直线/，使点M,B,B'到该直线的距离

都相等.当点P在y轴右侧的抛物线上，且与点B不重合时，请直接写出直线/：y^kx+b

的解析式.b可用含机的式子表示)

备用图

2019年河南省中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。

1.（3分）（2019•河南）的绝对值是（）

2

A.-LB.J-C.2D.-2

22

【解答】解：I-9=工，

22

故选：B.

2.（3分）（2019•河南）成人每天维生素。的摄入量约为0.0000046克.数据“0.0000046”

用科学记数法表示为（）

A.46X10-7B.4.6X10-7C.4.6X106D.0.46X105

【解答】解：0.0000046=4.6X10-6.

故选：C.

3.（3分）（2019•河南）如图,AB//CD,/B=75°,NE=27°,则/。的度数为（）

*

BA

A.45°B.418°C.50°D.58°

,E

【解答】解：BA

・・・N3=N1,

VZ1=ZZ）+ZE,

：.ZD=ZB-ZE=75°-27。=48°,

故选：B,

4.（3分）下列计算正确的是（）

A.2〃+3。=6。B.(-3。)2=6〃2

C.(x-y)2=/_/2D.372-72=272

【解答】解：2a+3a=5a,A错误;

(-3a)2=9/,B错误;

(x-y)2=/-2xy+y2,C错误；

O正确；

故选：D.

5.（3分）（2019•河南）如图①是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体

平移后得到图②.关于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是（

A.主视图相同B.左视图相同

C.俯视图相同

【解答】解：图①的三视图为：主视图左视图俯视图

图②的三视图为：左视图

故选：C.

6.（3分）（2019•河南）一元二次方程（x+1）（x-1）=2x+3的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

【解答】解：原方程可化为：?-2x-4=0,

b~~-2,c~~-4,

/.△=(-2)2-4XlX(-4)=20>0,

...方程由两个不相等的实数根.

故选：A.

7.（3分）某超市销售A,B,C,。四种矿泉水，它们的单价依次是5元、3元、2元、1

元.某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是（）

A.1.95元B.2.15元C.2.25元D.2.75元

【解答】解：这天销售的矿泉水的平均单价是5X10%+3X15%+2X55%+1X20%=2.25

（元），

故选：C.

8.（3分）（2019•河南）已知抛物线y=-?+Z>.r+4经过（-2,”）和（4,力）两点，则n

的值为（）

A.-2B.-4C.2D.4

【解答】解：抛物线y=-，+fcr+4经过（-2,/?）和（4,“）两点，

可知函数的对称轴x=l,

2

.".b=2；

•'•y—~f+2x+4,

将点（-2,〃）代入函数解析式，可得九=-4；

故选：B.

9.（3分）（2019•河南）如图，在四边形ABCD中，AD//BC,ZD=90°,AD=4,BC=3.分

别以点A,C为圆心，大于Lc长为半径作弧，两弧交于点E,作射线BE交于点F

2

交AC于点O.若点。是AC的中点，则的长为（

E,

A.272B.4C.3D.V10

【解答】解：如图，连接尸C,贝

'：AD//BC,

：.ZFAO=ZBCO.

在△FOA与△80C中，

，ZFA0=ZBC0

'OA=OC，

2AOF=/COB

/.△FOA^ABOC(ASA),

.•"=BC=3,

：.FC=AF=3,FD^AD-AF=4-3=1.

在△FDC中，'：ZD=90°,

CD2+DF2=FC2,

.•.CD2+12=32,

：.CD=2-/2-

故选：A.

10.(3分)(2019•河南)如图，在△。42中，顶点0(0,0),A(-3,4),B(3,4),

将△OAB与正方形ABC。组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°,则第70次旋

转结束时，点。的坐标为()

A.(10,3)B.(-3,10)C.(10,-3)D.(3,-10)

【解答】解：(-3,4),B(3,4),

.•.A8=3+3=6,

:四边形ABC。为正方形,

：.AD=AB=6,

：.D(-3,10),

V70=4X17+2,

•••每4次一个循环，第70次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕

点。顺时针旋转2次，每次旋转90°,

.•.点。的坐标为（3,-10）.

故选：D.

二、填空题（每小题3分，共15分。）

11.（3分）（2019•河南）计算：«-2-1=11-.

一2—

【解答】解：41-21

=2-1

2

故答案为：1L.

2

^<-1

12.（3分）不等式组,2、的解集是无不-2

X.-x+7>4

【解答】解：解不等式三W-1,得：尤（-2,

2

解不等式-x+7>4,得：x<3,

则不等式组的解集为尤W-2,

故答案为：xW-2.

13.（3分）现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球、

2个红球，这些球除颜色外完全相同.从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的两个球颜

色相同的概率是A.

一9一

【解答】解：列表如下:

黄红红

红（黄，红）（红，红）（红，红）

红（黄，红）（红，红）（红，红）

白（黄，白）（红，白）（红，白）

由表知，共有9种等可能结果，其中摸出的两个球颜色相同的有4种结果,

所以摸出的两个球颜色相同的概率为必，

9

故答案为：A.

9

14.（3分）（2019•河南）如图，在扇形AOB中，120°,半径0c交弦AB于点D

MOC±OA.若OA=2圾,则阴影部分的面积为亚+TT.

【解答】解：作于点F,

;在扇形中，120",半径OC交弦A8于点且OC_LOA.OA=20

：.ZAOD^90°,30°,OA^OB,

：.ZOAB^ZOBA^30°,

.*.OZ)=OA«tan30°=2M乂'^-=2,AD=4,AB=2AF=2乂2M乂叵=6,OF=yJs，

32

：.BD=2,

2V^X2+30X兀(2会产2X73

阴影部分的面积是:S^AOD+S扇形OBC-S/\BDO—

23602

=

故答案为：J5+TT.

15.（3分）（2019•河南）如图，在矩形ABC。中，AB=1,BC=a,点E在边BC上，且

BE^la.连接AE,将aABE沿AE折叠，若点2的对应点）落在矩形A2CD的边上,

5_

则。的值为2或返

【解答】解：分两种情况：

①当点正落在边上时，如图1.

•..四边形ABC。是矩形，

/.ZBAD=ZB=90°,

•.•将△ABE沿AE折叠，点8的对应点3'落在边上，

：.ZBAE=ZB'AE=LZBAD=45°,

2

：.AB=BE,

5

.'.a——；

3

②当点8,落在CD边上时，如图2.

:四边形ABC。是矩形，

NBAO=N8=NC=ND=90°,AD^BC^a.

•.,将△ABE沿AE折叠，点2的对应点）落在C。边上，

：.ZB^ZAB'E=90°,AB=AB'=1,EB=EB'=区,

5

22=_2,

：.DB'V?""A-ADVlaEC=BC-BE=a-^a=^a.

DD

在△A。皮与CE中，

fZByAD=NEB，C=90°-ZAB71,

lZD=ZC=90°

:.AADB's丛B'CE,

.DD、=AB、即Jl-aJ1,

CEB7E'2A'

5a5a

解得“2=0（舍去）.

3_

综上，所求。的值为5或匹.

33

故答案为反或返.

33

图2

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）

2

16.（8分）先化简，再求值：（史L-1）+-*二2工其中工=

x-2x2-4x+4

【解答】解：原式=（x+L-ZZ2）+x（x-2）

2

x-2x-2（x-2）

3.x-2

x-2x

_3

当x=时，原式=—

V3

17.（9分）（2019•河南）如图，在△ABC中，BA=BC,ZABC=90°,以A3为直径的半

圆。交AC于点。，点E是BD上不与点8,。重合的任意一点，连接AE交8。于点F

连接BE并延长交AC于点G.

(1)求证：AADF咨4BDG；

(2)填空：

①若A8=4,且点E是面的中点，则的长为4-2晅；

②取众的中点当/切8的度数为30°时,四边形08E//为菱形.

【解答】解：(1)证明：如图1,'：BA=BC,ZABC=90°,

•./BAC=45°

；AB是O。的直径，

\ZADB=ZAEB=90°,

\NDAF+/BGD=/DBG+/BGD=90°

\ZDAF^ZDBG

：ZABD+ZBAC^90°

ZABD=ZBAC=45°

'.AD=BD

,.△ADF咨ABDG(ASA)；

(2)①如图2,过F作FHLAB于H,:点E是命的中点，

NBAE=/DAE

：FD±AD,FH1AB

\FH=FD

/sinZABD=sin45°=返，

BF2

•.西q/l,gpBF=-.12,FD

BF-2

VAB=4,

.,.BD=4cos45°=2&,即8F+FD=2&,（V^l）FD=2版

:.FD=公历=4-272

V2+1

故答案为4-2V2.

②连接OE,EH,丁点五是金的中点，

：.OH±AE,

ZAEB=90°

：.BE±AE

J.BE//OH

•..四边形OBEH为菱形,

：.BE=OH=OB=LAB

2

.".sinZ£AB=^l=l.

AB2

；./EAB=30°.

故答案为：30°

图1

18.（9分）（2019•河南）某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，

从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分

析.部分信息如下：

fl.七年级成绩频数分布直方图：

7072747576767777777879

c.七、八年级成绩的平均数、中位数如下：

年级平均数中位数

七76.9m

八79.279.5

根据以上信息，回答下列问题：

（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有23人;

（2）表中加的值为77.5；

（3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生

在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由；

（4）该校七年级学生有400人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数

76.9分的人数.

【解答】解：（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有15+8=23人，

故答案为：23；

（2）七年级50人成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别

为78、79,

."2=行+7也=77.5,

2

故答案为：77.5；

（3）甲学生在该年级的排名更靠前，

•••七年级学生甲的成绩大于中位数78分，其名次在该年级抽查的学生数的25名之前，

八年级学生乙的成绩小于中位数79.5分，其名次在该年级抽查的学生数的25名之后，

•••甲学生在该年级的排名更靠前.

（4）估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数为400X殳空担=224（人）.

50

19.（9分）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度.如图所

示，炎帝塑像。E在高55%的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°,再沿

AC方向前进21机到达8处，测得塑像顶部。的仰角为60°,求炎帝塑像。E的高度.

（精确到1m.参考数据：sin34°—0.56,cos34°=0.83,tan34°-0.67,历“33）

【解答】解：VZAC£=90°,ZCA£=34°,CE=55m,

tanZCAE=

AC

：.AC=——=_55_^82.1/77,

tan34°0.67

'：AB=21m,

：.BC=AC-

在RtZ\BCD中，tan60°=型=«,

BC

CD=173X6L12105.7%,

：.DE=CD-EC=105.7-55心51机，

答：炎帝塑像。E的高度约为5L〃.

20.（9分）学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品.已知购买3个A奖品和2个

B奖品共需120元；购买5个A奖品和4个2奖品共需210元.

（1）求A,8两种奖品的单价；

（2）学校准备购买A,B两种奖品共30个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的请

3

设计出最省钱的购买方案，并说明理由.

【解答】解：（1）设A的单价为x元，2的单价为y元，

根据题意，得

f3x+2y=120

l5x+4y=210，

.[x=30,

,ly=15，

的单价30元，B的单价15元；

（2）设购买A奖品z个，则购买8奖品为（30-z）个，购买奖品的花费为W元，

由题意可知，z^—（30-z）,

3

2

W=30z+15（30-z）=450+15z,

当z=8时，W有最小值为570元，

即购买A奖品8个，购买8奖品22个，花费最少；

21.（10分）（2019•河南）模具厂计划生产面积为4,周长为根的矩形模具.对于根的取值

范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，

过程如下：

（1）建立函数模型

设矩形相邻两边的长分别为x,y,由矩形的面积为4,得冲=4,即＞=&；由周长为利,

X

得2（x+y）=m,即尸-x+5.满足要求的（x,y）应是两个函数图象在第一象限

内交点的坐标.

（2）画出函数图象

函数尸&x>0）的图象如图所示，而函数尸-x+2的图象可由直线y=-x平移得到.请

x2

在同一直角坐标系中直接画出直线y=-x.

（3）平移直线>=-x,观察函数图象

①当直线平移到与函数>=&（%>0）的图象有唯一交点（2,2）时，周长山的值为8；

X

②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长机的取值

范围.

（4）得出结论

若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m的取值范围为

【解答】解：（1）龙，y都是边长，因此，都是正数,

故点（x,y）在第一象限，

答案为：一；

（2）图象如下所示：

y=-x

（3）①把点（2,2）代入y=-x+3■得：

2

2=-2+—,解得：m=8,

2

即：0个交点时，m<8；1个交点时，m=8；2个交点时，m>8；

②在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况，

联立v=里和y=-x+即■并整理得：x2-Lnx+4=0,

X22

△=L?-4X4N0时，两个函数有交点，

4

解得：机28；

（4）由（3）得：机28.

22.（10分）（2019•河南）在△ABC中，CA=CB,ZACB^a.点P是平面内不与点A,C

重合的任意一点.连接AP,将线段AP绕点P逆时针旋转a得到线段DP,连接AD,BD,

CP.

（1）观察猜想

如图1,当a=60°时，毁的值是1,直线3。与直线CP相交所成的较小角的度数

CP

是60。

（2）类比探究

如图2,当a=90°时，请写出毁的值及直线8。与直线CP相交所成的小角的度数，并

CP

就图2的情形说明理由.

（3）解决问题

当a=90°时，若点£,F分别是CA,C8的中点，点P在直线E尸上，请直接写出点C,

p,。在同一直线上时皎的值.

CP

D

图1

【解答】解：（1）如图1中，延长CP交BO的延长线于E,设A2交EC于点O.

图1

,：ZPAD=ZCAB=60°,

：.ZCAP=ZBAD,

:CA=BA,PA^DA,

：./\CAP^/\BAD(SAS),

：.PC=BD,ZACP=ZABD,

,：ZAOC=ZBOE,

：.ZBEO^ZCAO^60°,

毁=1,线8。与直线CP相交所成的较小角的度数是60。，

PC

故答案为1,60°.

(2)如图2中，设8。交AC于点。，BD交PC于点E.

图2

,：ZPAD=ZCAB=45°,

：.ZPAC=ZDAB,

..包=坦=加，

ACAP

：.ZPCA=ZDBA,曲=胆=我,

PCAC

•・•ZEOC=ZAOB,

：.ZCEO=ZOABB=45°,

・・・直线与直线C尸相交所成的小角的度数为45°.

(3)如图3-1中，当点。在线段尸C上时，延长AD交的延长线于

图3-1

•；CE=EA,CF=FB,

J.EF//AB,

：.ZEFC=ZABC=45°,

VZB4O=45°,

・•・/PAO=/OFH,

■:/POA=/FOH,

:./H=ZAPO,

VZAPC=90°,EA=EC,

:.PE=EA=EC,

：.ZEPA=ZEAP=/BAH,

：.ZH=ZBAHf

：・BH=BA,

VZADP=ZBDC=45°,

AZAZ)B=90°,

：.BD±AHf

：.ZDBA=ZDBC=22.5°,

VZADB=ZACB=90°,

・・.A,D,a3四点共圆，

ZDAC=ZDBC=22.5°,ZDCA=ZABD=22.5°,

AZDAC=ZDCA=22.5°,

：.DA=DC,设AO=a,则。C=AZ)=a,PD=^a

如图3-2中，当点尸在线段。上时，同法可证：DA=DC,设则CD=AD=

23.（11分）（2019•河南）如图，抛物线y=/+L+c交x轴于A,8两点，交y轴于点C.直

2

线y=-L-2经过点A,C.

2

（1）求抛物线的解析式；

（2）点尸是抛物线上一动点，过点尸作x轴的垂线，交直线AC于点设点尸的横坐

标为m.

①当△PCM是直角三角形时，求点尸的坐标；

②作点8关于点C的对称点则平面内存在直线/,使点M,