计算方法--插值法均差与牛顿插值公式

1、第二章 插值法 2.3 均差与牛顿插值公式均差与牛顿插值公式3/1/20221计算方法-插值法均差与牛顿插值公式 2.3.1 均差及其性质均差及其性质)(xljnjiiijixxxx0)()(nj,2 , 1 ,0我们知道,拉格朗日插值多项式的插值基函数为形式上太复杂,计算量很大,并且重复计算也很多3/1/20222计算方法-插值法均差与牛顿插值公式 拉格朗日插值公式可看作直线方程两点式的推广，若从直线方程点斜式1010010( )()( )iiiffP xfxxff xyxx出发，将它推广到具有n+1个插值点的情况，可把插值多项式表示为)()()()()(110102010nnnxxxxxx

2、axxxxaxxaaxP3/1/20223计算方法-插值法均差与牛顿插值公式当当00010110120120220212( )( )()( )()()()nnnP xafP xaa xxfP xaa xxa xxxxf001011020102010221afffaxxffffxxxxaxx 依次可得到 34,na aa。为写出系数的一般表达式，现引入差商（均差）定义。3/1/20224计算方法-插值法均差与牛顿插值公式一、差商(均差)定义2.nifxxfii, 1 ,0,)(处的函数值为在互异的节点设称)0()()(,000kxxxfxfxxfkkk)(,)(0差商一阶均差关于节点为kxxxf

3、3/1/20225计算方法-插值法均差与牛顿插值公式3/1/20226计算方法-插值法均差与牛顿插值公式,110kkxxxxfkjkjjjjjjjxxxxxxxxxf0110)()()()(二、均差具有如下性质：二、均差具有如下性质：3/1/20227计算方法-插值法均差与牛顿插值公式( )( ) , 010101f xf xf x xxx 010110ffxxxx ,010201212f xxf xxf xxxxx ()()0012120110120220ffff11x x x xx xx x x xxx ()() ()() ()()012010210122021fffxx xxxx xxx

4、x xx 例例3/1/20228计算方法-插值法均差与牛顿插值公式这个性质也表明差商与节点的排列顺序无关(差商的对称性)。即01102120 , , , ,kkkf x xxf x x xxf x xx x3/1/20229计算方法-插值法均差与牛顿插值公式0, ,nx x ab性质3：若f(x)在a,b上存在n阶导数，且节点则n阶均差与导数关系如下：3/1/202210计算方法-插值法均差与牛顿插值公式)()()()()()(4433221100 xfxxfxxfxxfxxfxxfxkk四阶差商三阶差商二阶差商一阶差商三、均差的计算方法三、均差的计算方法(表格法表格法):,10 xxf,21

5、xxf,32xxf,43xxf,210 xxxf,321xxxf,432xxxf,3210 xxxxf,4321xxxxf,410 xxxf规定函数值为零阶均差均差表3/1/202211计算方法-插值法均差与牛顿插值公式例例1:已知下表，计算三阶差商已知下表，计算三阶差商 ix( )if x1 13 34 47 70 02 215151212解：列表计算解：列表计算ix( )if x一阶差一阶差商商二阶差商二阶差商三阶差三阶差商商1 10 03 32 21 14 4151513134 47 71212-1-1-3.5-3.5-1.25-1.253/1/202212计算方法-插值法均差与牛顿插值

6、公式2.3.2 牛顿插值公式3/1/202213计算方法-插值法均差与牛顿插值公式3/1/202214计算方法-插值法均差与牛顿插值公式)(xRn)()!1()()()(1)1(xnfxNxfnnn)(,110 xxxxxfnn我们称为牛顿(Newton)均差插值多项式。)(xNn称)(xRn为牛顿均差插值多项式的截断误差。3/1/202215计算方法-插值法均差与牛顿插值公式)(xNn3/1/202216计算方法-插值法均差与牛顿插值公式3/1/202217计算方法-插值法均差与牛顿插值公式3/1/202218计算方法-插值法均差与牛顿插值公式显然：3/1/202219计算方法-插值法均差与

7、牛顿插值公式 x0 01 12 24 4 f(x)1 19 923233 3例2：依据如下函数值表建立不超过三次的Lagrange插值多项式及Newton插值多项式，并验证插值多项式的唯一性。3/1/202220计算方法-插值法均差与牛顿插值公式30123()()() ()9()2 3()3()i iLx fxlx lx lx lx lx 320321322323(1)(2)(4)177( )1(01)(02)(04)884(0)(2)(4)18( )2(10)(12)(14)33(0)(1)(4)15( )(20)(21)(04)44(0)(1)(2)111( )(40)(41)(42)24

8、8xxxlxxxxxxxlxxxxxxxlxxxxxxxlxxx 12x32114511442xxx 解：(1)建立Lagrange插值多项式：基函数为Lagrange插值多项式为3/1/202221计算方法-插值法均差与牛顿插值公式114一阶差商一阶差商二阶差商二阶差商三阶差商三阶差商0 01 11 19 98 82 2232314143 34 43 3-10-10-8-8（2）Newton插值多项式：建立差商表为3/1/202222计算方法-插值法均差与牛顿插值公式31 1()1 8 (0 )3 (0 ) (1 )(0 ) (1 ) (2 )4N x x xx xxx 323311451(

9、 )1( )442NxxxxL x Newton插值多项式为（3）唯一性验证：将Newton插值多项式按x幂次排列，便得到3/1/202223计算方法-插值法均差与牛顿插值公式 练习： 已知由数据(0，0)，(0.5，y)，(1，3)，(2，2)构造出的三次插值多项式P3(x)的x3的系数是6，试确定数据y。3/1/202224计算方法-插值法均差与牛顿插值公式四、拉格朗日插值与牛顿插值的比较3/1/202225计算方法-插值法均差与牛顿插值公式3/1/202226计算方法-插值法均差与牛顿插值公式一、差分定义3.称处的函数值为在等距节点设, 1 , 0,)(0nkfkhxxxfkkkkkff

10、f1处的一阶向前差分在为kxxf)(1, 1 ,0nk 2.3.4 差分及其性质差分及其性质3/1/202227计算方法-插值法均差与牛顿插值公式kmkmkmfff111阶向前差分处的在为mxxfk)(依此类推kkkfff12处的二阶向前差分在为kxxf)(3/1/202228计算方法-插值法均差与牛顿插值公式4433221100fxfxfxfxfxfxkk四阶差分三阶差分二阶差分一阶差分0f1f2f3f02f12f22f03f13f04f差分表3/1/202229计算方法-插值法均差与牛顿插值公式二、在等距节点的前提下,差商与差分有如下关系,1iixxfhfi,21iiixxxf212hffii222hfi,321iiiixxxxf321223hffii33! 3 hfiiiiixxff11iiiiiixxxxfxxf2121,iiiiiiiixxxxxfxxxf321321,3/1/202230计算方法-插值法均差与牛顿插值公式,1miiixxxf依此类推mimhmf!,10kxxxfkkhkf!03/1/202231计算方法-插值法均差与牛顿插值公式一、牛顿前插公式等距节点插值公式等距节点插值公式3/1/202232计算方法-插值法均差与牛顿插值公式3/1/202233计算方法-插值法均差与牛顿插值公式 牛顿插值