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文档简介

1、浅谈一道数学例题的“一题多解” 通山一中 万小勇在人民教育出版社出版的全日制普通高级中学教科书高一数学上册130页中例4的学习时，笔者认为可以引导学生深入分析挖掘，用好等差数列前n项和公式及其性质，得到其他的解法，从而起到“一题多解”的目的。例4：已知一个等差数列的前10项和是310，前20项和是1220，由此可以确定其前n项和的公式吗？分析一：将已知条件代入等差数列前n项和的公式后，可得到关于1与d的关系，然后确定1与d，从而得到所求前n项和公式.解法一：由题意知 S10=30， S20=1220将它们代入公式 Sn=n1+得到101+45d=310 解这个关于1与d的方程组，得到1=4,

2、d=6201+190d=1220所以Sn=4n+分析二：n为等差数列，Sn=将条件代入可求得d与1.解法二： ×2 得2010=600由得d=6又由Sn=n1+得S10=101+45×6=3101=4Sn=4n+分析三：因为n为等差数列，所以可设Sn=An2+Bn，求出A，B即可.解法三：设Sn=An2+Bn，将它们代入可得100A+10B=310 得到 A=3，B=1 400A+20B=1220Sn=3n2+n分析四：运用等差数列前n项和公式，Sn=n1+的变形式解题.解法四：由Sn=n1+,即由此可知数列也成等差数列. =30n+1S10n=300n2+10nSn=3n

3、2+n分析五：根据性质“已知n成等差数列，则Sn, S2nSn, S3nS2n,SknS(k1)n,(k2)成等差数列”解题.解法五：根据上述性质，知S10，S20S10，S30S20成等差数列，设公差为d，故d=(S20S10)S10=(1220310)310=600S10nS10(n1)=600S10n=S10+(S20S10)+(S30S20)+(S10nS10(n1) =310+(310+600)+310+600×2+310+600() =310n+600·1+2+3+()=310n+600· =300n2+10nSn=3n2+n教材给出了第一种解法，目的

4、是让学生熟悉公式的用法，这是一种常规解法。解法二是等差数列前n项和的应用，在本公式中只要知道了n, ,就可求，除此之外，若知道两个有关的和，我们还可以去求解公差d与首项1，进而去求其他的量。解法三是等差数列前n项和Sn的变式，即凡是能够写成Sn=An2+Bn，则an必为等差数列通过求解变量A、B得到Sn，方便快捷。解法四利用了等差数列前n项和Sn的性质，必是等差数列，于是先去求解，再反求，利用该种解法时，一定要注意结构的构造，否则易出错。解法五，在应用时要注意间隔要相等，否则不成。笔者认为在学习了课本的常规方法后，不妨针对等差数列前n项和的公式及性质进行仔细分析、挖掘，引导学生提出余下的几种解法，开拓学生思维，发挥学生的积极主动性，学好等差数列前n项和的公式及性质。一题多解启发学生解决问题时可以多多思考，用

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