高等数学(经管类)下、林伟初__郭安学主编、复旦大学出版社、课后习题答案

1、习题71. 指出卜列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限：AC，1,0, B(0, 2, 0), C(-3, 0,5), D(l, -1, -7)無：A在V卦限，B在y轴上，C在xOz平面上，D在VIZ卦限。2. 已知点M(-l, 2, 3),求点M关坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标 解：设所求对称点的坐标为(x, y, z),则(1) 由xl=O, y+2=0, 24-3=0,得到点M关于坐标原点的对称点的坐标为:(1,3).(2) 宙Q1,尸2=0, 24-3=0,得到点M关于x轴的对称点的坐标为：(-1, -2, -3).同理可得：点M关于y轴的对称点的坐标为:(1,2,-3)；关于

2、z轴的对称点的坐标为：(1,-2, 3).(3) 由x=4,尸2,甘3=0,得到点M关T'xOy而的对称点的坐标为：(1,2,3).同理，M关f yOz面的对称点的能标为：(1, 2, 3)： M关于zOx面的对称点的朋标为: (-1, -2, 3)3在z轴上求与两点A(4, 1, 7)和B(3, 5,2)等距离的点.解 设所求的点为M(0, 0, z),依题意冇imaiTmbF，即(-4- 0)2+(1 - 0)2+(7-z)2= (3 - 0)2+(5-0)2+(-2-z)214解Z得z=ll,故所求的点为M(0, 0,).4证明以Mi(4,3,l), M<7,1,2), M

3、3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形解：由两点距离公式可得|MMj=14, mM3|2 = 6,|M2M3|2 = 6所以以M(4,3,l), MK7,1,2), M3(5,2,3)三点为顶点的二角形是一个等腰二角形.5设平面在坐标轴上的截距分别为a=2,b=-3,c=5,求这个平而的方程.解：所求平而方程为辛+鸟+手=1。L 5、6求通过x轴和点(4-3-1)的平面方程解：因所求平面经过x轴,故可设其方程为Ay4-Bz=0.又点(4-3-1)在平而上，所以-3A-B =0即B=3A代入并化简可得y-3z=0.7.求平行于y轴且过M(l,0,0), Mz(0,0,l)两点的平面方

4、程.解：因所求平面平行J；y轴，故可设其方程为Ax+Cz+D=0.又点入仃和M?都在平而上，于是JA+D = OC + D = 0叮得关系式：A=C=D,代入方用得：一DxDzD=0显然DH0,消去D并整理町得所求的平而方程为对z-l=08方程2x+4y=0表示怎样的曲面？解：表示以点(1,2, 0)为球心，半径为的球面方程。9指出卜列方程在平面解析儿何与空间解析儿何中分别表示什么儿何图形？(l) x 2y=l:(2) +产1 ；(3) ：(4) y=r.解:(1)表示直线、平面。(2)表示圆、圆柱面.(3)表示椭圆、椭圆柱面。(4) 表示抛物线、抛物柱面。1.卜列各函数表达式：(1) U 知

5、咫丫靑+忆求 F (x -y,y):C)己知 F(xy,&7)=x?+y2,求咫必解：(1) f(x- y，7) = (x- y)2 +(V)2 = x2 -xy+ y(2) f(x-y，Vxy) = x2 + y2 = (x-y)2 + 2(7xy)' 所以F(兀ygx2-2乂2求下列函数的定义域,并指出苴在平面直角坐标系中的图形:(1)z=smx2+r-i: f (x,y) = >/l-x ln(x -y):(2)z=7i-x2+7/-i»住旳/曲兰-丁) x/xy2解：(1)由 x + yr-lOuJ*得 F + y2 工 1故所求泄义域为D=(x,y)|

6、丘+ £工1农示xOy平面上不包含関周的区域。(2) 由fl-x2 >0Ir-io -1<X<1 y>li?Xy<-l故所求的定义域为D=(xy)| -l<X<lJLy>U«Ky<-l.衣示两条帯形闭域。(3)由fl-x>0x-y>0町得X>1<yvx故所求的定义域为D=(xy)| x>ll Ly<x>农示xOy平而上TI线y=x以卜且横坐标xhl的部分。<4)由<1x-Vno可得 lr + y2 <4.y2"故所求的定义域为D=(xy)| 2SX3

7、+ Y2 <4>| <xo3说明卜列极限不存在:凹亲y-*0当点P(xy)沿貢线尸kx趋于点Q0)时，有lim 4 =皿 =舉(人y)岂ao)x+y x->o (k+l)x k + 1 y=)oc 显然.此时的极限值随k的变化而变化。因此 p対数fiXy)在QO)处的极限不存在。(2)当点P(x，y)沿曲线y = 2趋于点(0,0)时，有i Fy r kx6klim r_= lim o(人凜 ao)x6 + y" x->o(k- + ljx6 k- +1显然，此时的极限值随k的变化而变化。因此，函数fiXy)在(0,0)处的极限不存在。 4计算下列极限：

8、(1) lim ; x" x + y y->i(4) liin 屁虽.(xyJ-KO.O) Xy(l)因初等函数f(x,y) = -在(0,1)处连续，故仃x+ y血44 = 2 lim sinQ + y3)(x,yH(0>0) X +y解:y x+ y 0 + 1 yTlliin 逊=lim 逊 y=3gy)-H03) X (x,y)-K0,3)lim 血* + 乂)= limgIO0) X+y (xjr)-KOD) 疋 +1 亦lb】(何孔 2)(何7Z+2)_ Um 1_1(”iao) xy gyM(ao) xy(7xy+4+2)yf+4 + 245.究下列函数的连

9、续性：(1) f(x,y)彳 x+y 90,(2)(4)xy血(宀内(1号+门=0xy(Jxy+4+2)(x,y)H(0,0)(x,y) = (0,0)-#-#-(x,y)H©0)(2) f(x,y) =(x,y) = (O5O)liin (x-y) = 0= f(0,0)解：(1) liin(xjf)-KOP) x+ y (xjrWOp)'所以f(x,y)在(0,0)处连续(2) liin 44 =血£ 一忆=哗 (容叱 + y "x+kH 1 + k-该极限随着k的取值不同而不同，因而迄y)在(0.0)处不连续 6下列函数在何处间断？(1) Z = x

10、?y2 ；(2) z = hil-x2-y.解:(l)z 在(xy)| |x| = |y|处间断.C)Z在(xy)|丈+丫41处间断-#-习题7-3I求卜列函数偏导数: z+Sxy+y3；(2) z =沁 z=lii(x -3y): u = x?：解：(1)x(4) z=xy+lnxy(x >(k y >0,x 1)(2)G)(6) u = cosOc2-y2 + c-z)3x+3y = 3r +dz sin y2 1丟丙壮遇Vr2ydz_ 1 dz _ -3<3kx_3y，(5y x_3 y = yx1 + = yx1+l, = xyliix + l otxyx ayy密二

11、lnx与李=一 siix2 一 y2 + 严)卫x,= -sin(x2 _ y2 + c"2)j(-2y) = lysiix3 _ y2 + c'z).= -siii(x2 -y2 + c"z)J-c"z)=e-3 siiXx2 _ y2 + c")2求卜列函数在指定点处的偏导数：(1) fey-xyy2,求&(1二)，*1,2),(2) f(x ,y) = arctan 匸仝，求 fx (1,0)x -y f (x ,y) = In Jx 2 + y2 + sin(x' -1)严八丙),求(1,2)；(4) f(x,y)=ln(

12、x-yz), 4< fx(2,0,1), (2,0,1), (2,0,1) 解：(1) (x,y) = 2x-y, (x,y) = -x+2y.仇,2) = 2-2 = 0,与(l,2) = _l+4 = 3.(2) f (x, 0) = arctan x, i'iif (x, 0)=】1 + x-因此 0) = 111=1.(3) f(x,2) = |hXx2 +4) + sinCx2 j)严“&因此3)詁島(igyZE+ sin(F _i)cE*El+Cr+VrT?)25,r2-2r总成本(单位:所以(Q,2) = g + 2c蚌 y,z) = -, fy(x,y,z

13、) = -, (x,y,z) = .x yzx yzx yz故 f(2,0,1) = 1, (2,0,1) = -!, (2,0,l) = 0.设r = 7x2+y2+z",证明：(1)C)W闔J 并丄并丄并_ 2./Qnr) /Qnr) (lnr) _ 1 姑+ 茁 * 一P"证明：更=x,山, 去 Jx'+y+z? r利用两数关丁F变吊的对称性，可推断得到：鳥专，务半.闔+(訥鲂宁寻】drr2-re a2r_r-xs_r-w 左一PF利用函数关丁F变彊的对称性，町推断得到：空=£1輕,空二亡吝df r d£ r.ar-r-y2 _2r2 _2

14、 壬+帝+左=? = = ?-元)为CCx.yCHSOT+lOxyi-ZO/, 求当 口,尸3时，两种标号水泥的边际成本，并解释其经济含义. 解：Cx(x, y) = 60x+10y,Cy (x,y) = 10x + 40y,Cx(4,3) = 270, Cy (x, y) = 160.经济含义：当AB两种标号的水泥11产鼠分别4吨和3吨时，如果B水泥产录不变，而 A水泥的产最毎增加1吨，成本将增加270 7L:如果A水泥产最不变，ifliB水泥的产 量每增加1吨，成本将增加160元。6. i殳某商品需求就Q与价格为p和收入y的关系为Q=400-2p+0.03y求当p=25,y=5OOO时，需

15、求Q対价格p和收入y的偏弹性，并解释比经济含义 解：Q (p，y)=-2,Qy(p,y) = o.O3,Q, (25,5000) = -2,Qy (25,5000) = 0.03.习题7-4经济含义：价格为25和收入为5000时，如5R价格不变，而收入增加1个单位，商品 的需求最将増加0.03；如果收入不变,而价格增加1个单位,商品的需求量将减少2.1求卜列函数的全微分:(1) 2=47+57?:(3) u=ln(xyz):(4) u = x + sin 舟 + c"Zr 解:(1) g = 4y3+10xy6, = 12xy2+30x2y5, 所以dz = 2y (2+5xy3)d

16、x+6k/2 (2+5xy3)dy.C)dz _ -x dz. _ -y氐 yjl-x2 - y 6 也-x2 -b所以 dz= , dx + ) 丫 弋dy(3) 勿_ i 、內一z-y ,dx. x-yz dy x-yz5 dz. x-yz所以du = - dx+dy+ dzx-yz x-yz x-yz裟丸欲討吩匕I十,所以 du = dx + (i cos y + zey2)dy+ yedz.ZrZr2计算国数曲在点(3, 1)处的全微分 解!铁汩，壽"h】x, 所以 dz = yxdx + xy lii xdy dz|)=dx 卜 31n3dy.3求两数my在点(2, 3)处

17、，关fAx=01, Ay=02的全增龟与全微分.7-解:dz_=乙所以dz比 L2 3)Ay=03 + 04 = 07(23)Az«| &+各 两(2 3)6g(?j)=3dx+2dy.4计算(1 04) 2"的近似值设两数 fCx.y)7 x=l ,y=2, A x=0 04, A y=0 02KI ,3)=13=1 .yyxx.ylnx.&(1,2>21,2)=0由二元函数全微分近似计算公式C718),得(1 05) 3 021+2 X 0 04+0 X 0 02=1 085设仃一个无盖関柱形玻璃容器，容器的内高为20cm,内半径为4cm,容器的壁

18、与底的J?度均为0.1 cm,求容器外壳体积的近似值解：解设圆柱的直径和高分别用血y表示，则其体积为V = f (x ,y)=兀()2y = ¥曲?yJ：是，将所需的混凝土最看作当x+Aa8+2X0 1A y=2(H-0 1与w=8,尸20时的两 个圆柱体的体积Z差4V(不考世底部的混凝土)，因此叮用近似计算公式 V= dV=&(xy) A x+gxy) A y.又 fx(x,y) = |7rxy,fy(x,y) = |7rx2,代入 x=8,尸20, A=0.2,Ay-0b得到v U dv =討 x8 X 20 X 0.2 + 切 X82 X 0.1 = 17.6 

19、1; 55.264. (m3) 因此，人约需耍55 264m3的混凝土.习题7-51求卜列函数的全导数:(1)G)解:(2)(3)设衣2,而u=t2,v=cost,求导数等：设 z=ai'ctan(uv),而 u=3x>v=4x3,< "数半;(IX 设 Rxy+sint,而 xeycost,求导数务c、dz _ dz du dz. dv dt=3u dF + dt=3/的2 + 2/符(-口询 = 6t"F«»t _2金12“5 dz 业 du ,氐 dv ck di dx dv dx+(U-02 +1+(U-V)2 12x=r-Y

20、 Q_ 4x).l + (3x-4x3)- 主=乞生+虫.也+虫dt dt dy dt dt=y 6 + x( s-i nt) + c=c ofc-e1 -e! sin t设 z?=u2vuv2, ifli u=xsuiy,v=xcosy * 求 务 川签;2. 求卜列函数的偏导数祺中f具有一阶连续偏导数):设求务和等：设u=gz)=e2巳z/cosy,求第 和曇；设Y，承、阮),求等，夢警舟=备 務 + 黑 舟=Qg-")血y+ (if -2uv)cosy=(x2 siii2y- x2 cos2 y) sin y+ (x2 siii2 y-x2 siii2y) cos y= +-=

21、 (2uv_v2)xcosy_(u? -2u)xsiiiyC)G)解:(1)dzdy (5ii dy dv dy=(丘 sinyi- x ciy x) cs (2 synTco(2) u=3X2 + y2 ,v= 4x+2y,贝ijz=u：dL dz. dx、dz. dv z s A m =+ m m = w ox+u liiu-4(zK dll OT (TV (zX=6x(3* + y2 )*x+2y 1 +4(3x2 H-y2 )*x+2y InQs2 + y2)dz dz t dz dv v-i , Vf .冻二页丙+乔面f 2y+uhM2=2y(3x + y2 厂妙"+ 2(

22、3丘 + y2 广"InQx应用全微分形式的不变性，求函数“arctan岂的全微分.解：令 u = x + y,v=1 xy. !4'Jz = arctan 牛dz = d(aictai 当=-dii- 马 dv J i+(9"1+(9心ifl du = dx+dy、dv=-Wx-xdy故 dz = 111+ + y2)(k + _(x+y)(-ydx-Xdy) -1-xy1-xyx+yl_xy_血+®T 1 + x* 1 + y4. l2知 sinxyZz+eJ),求寮和等_ . 解：两同时对x求偏S可得 ycoSxy-2j + e2| = 0.=

23、63; + £ 2xy+ fj yz9故乞=ycosxy氐 2-c1 两边同时对y求偏导,可得 xcosxy - 2春+c?鲁=0. 故虫jcosxydy 2-cz5若f的导数存在，验证卜列各式:(1)设11=(”一72),则 y2寻+,则x姿+du xy 矿 xu;C)Kz = xy+xf() » 则x 筈* + y = z+xy证:(1) = yf,(x2-y2)*2x.箫=fCr-rJ-lyf'Cr-y2).所以V務+巧鼾丁叫-于皿+顶心- y2)(2)务 y+fg)+xf0)G$需*旳奘所以 X 密+ y 毒= xy+ 堆)+(一 2)+Hx+xT(mg =

24、 z+xy 6求卜冽函数的二阶偏导数(其中f具有二阶连续偏导数)：(1) z = arctail；1-xyC)才；G) fCxy.r-y2)解：由第3题町知务占，善=寻. -Mr z_ 一2x &z_-2y dz _ dz _n沢丟吋尹驴=乔亍尹画=丽r°(2) 务严lny 故宕 窮= lnx(lnx-l)严?，= lyLi +hix yLilnylulyLiQ + hixlny).dxdy dydx. xx x务=0+暑=£x- £2y.故窖二免力)+ 2& +2x(垃 y+ £n2x) = y2 + 4xy2 + 4X2 + 2 &#

25、163;,.券= x(£】x-仓2y)-2©-2y(心x-纭2y)“ 心 一4矶+4丁 Q-2&. 藹=寵=A HA - 2 血)+ 2双3-2应)=f； + xyf；, + (2X2 - 2y) f；2 - 4xyfr2. 7求由卜列方程所确定的隐函数g,y)的偏导数备，舅：yxln2 y吉ylny寺,Or+y+z24z=o：(2) z33xyz=l解：(1)两边同时对x求偏导得2x+2z备-4齐0,故务=吉.两边同时对y求偏导得2y+2z-4 = 0,故春 两边同时对x求偏亍得32rg-3y(z+g) = 0,故畫 J；笃y 两边同时对y求偏导得故看=史珥习题7

26、-61求卜列函数的极值：(1) f(x>y)=r+y36xy+18x39y+-16：(2) f(xy)=3xyx3£+1"解：(1)先解方程组ff(x,y) = 2x-6y+18 = 0r(x,y) = 3y2 -6x-39 = 0得驻点为(-6,1)>(6,5)Q = 2 占(x,y) = “,打(x,y) = 6y,在点(-6, 1)处，A=AC-B2=2X6-36<0,所以 f(-6, 1)不是极值；在点(6, 5)处，A = AC-B2=2X30-36>0,又A>0,所以函数在(6, 5)处仃极小值f(6, 5=90. _(L(x5y)

27、 = 3y-3x2 =0(2)先解方程组巳(x,y) = 3X-3y2=0得驻点为(0,0),(1,1).Q = -6x, .(x,y) = 3, ©(耳y) = _6y,在点(0, 0)处，A =AC-B2=-9<0,所以KO, 0)不是极值：在点(1,1)处，A=AC-B2=27>0,又AV0,所以函数在(1, 1)处有极大值f(l, 1)=22.求函数2x>H-2y在矩形区域D=(x,y)|0x3,0y2上的址人值和最小值.解：(1)先求两数在D内的驻点，解方程组f /(&y) = 2x-2y=0fy(x,y) = -2x+2 = 0得唯一驻点(1,1

28、),且 f(l,l)=l.(2) 再求f<x，y)在D的边界上的最值.在边界x=0,0<y<2±, f(x,y)=2y,因此最人值为f(0,2>4,最小值为f(0,0)=0； 在边界x=3.0<y<2±, f(x,y)=-4y4-9, W此垠人值为 口0)=9,最小值为 K3,2)=l： 在边界y =0,0<x<3±, fi：xty)=x W此最人值为恥,0)=9,最小值为R0,0)=0； 在边界y =2,0SxS3上，咫沪/一牧+4,因此彊人值为f(3,2>l, Ai小值为f<2,2)=0：(3) 比较

29、上述得到的函数值，从而得到f(3,0)=9为最人值，f(0,0)=0为最小优3. 求两数fCySr+Sy2X3在区域D上的最小値解：(1)先求函数在D内的驻点，解方程组fx(xy) = 6X+6Y-3T1 = 0f；(x,y) = 6y=0得驻点(0,0), GO),且 K0,0)=0,心0)=4.-11(2)再求fiXy)在D的边界上的最值.这里啊在边界丘+亍=16上，KxyA-x3,因此最人值为©4)=48,绘小值为f(4,0)=-16；(3) 比较上述得到的函数值，从1何得到f(0,4)=48为最人值，fi：4,0>-16为彊小值 4求下列函数的条件极值：(1) z=xy

30、> x+y=l：(2) u=x 2y4-2z> F+b+zl 解： 作拉格朗口函数L(兀人(x+yl).写出方程组1 = y+ A= 0“= x+ 2= 0L, =x+y-l=O得到P(i,|)，因此,F 在P(|,|)处取得最人值書(2)作拉格朗L1函数L(x,y,z,人)=x2y+?z+人&+于+2?1).写出方程组'1=1 + 2 = 0.=-2 + 2Ay= 0=2 + 2Az=0L, =x2+y2 + z2-l=O得到 -因此,円一孑匕在R(摇占)处取得最小值35要用铁板做成一个体积为8nf的有孟长方体水箱，如何设计才能使用料垠省？解 设长方体的三棱长分别

31、为x, y, z,则问题就是在约束条件xyz=8F求函数S=2(xy4-yzxz)的最人值.构成辅助函数F(Xi y, z)= 2(xy4-yzH-xz> A (xyz8),解方程组E (x, y, z) = 2y+ 2z+ Ayz = 0, g(x,y,z) = 2x+2z+ 几xz= 0, 耳(My,z) = 2x + 2y+ Axy= 0, xyz = 8得x=y=z=2,这是唯一可能的极值点因为由问题本身可知最小值一定存在，所以垠小值就在这个对能的极值点处取得即： 体枳为8n?的何盖长方体水箱中，以棱长为2的正方体的表面积为最小，址小表面枳 S = 24.6某工厂生产甲、乙两种产

32、品的口产駅分别为x件和y件，总成本函数为 CCXypl 000+8X2xyH 刃(尤)，要求每大生产这两种产品的总最为42件，问甲、乙两种产品的II产最为筋少时，成本 最低?解：问题是在约束条件xH-y=42(x>0, y>0)卜一，函数#(0,0)= knf(0 + &,0)- f(0.0)= lim 学C(x,y>=l 00CH-8X 设 F(x ,y) =« x 2 + y2' &)丰 °°),则(0,0) =1 fy (0,0) = 0xy+l 2T(7C) 的条件极值问题令L(x, y, A) = 1000+8X

33、2xy+12yr + (x + y-42) 由 R =16x-y+ A= 0,Ly =-x + 24y+ 2= 0,x+ y=42 得 x=25,y=17.根据问题本功的恿义及驻点的唯性知，当投入两种产品的产届分别为25件和17件时, 可使成本最低7某公司通过电视和报纸两种媒体做广告，已知销侶收入R(单位力尤)与电视广告费 双单位力元)和报纸广告费y(单位力元)Z间的关系为R(x,y)=l 5+14好3 2y 8xy Zx2lOy2,(1) 若广告费用不设限，求最佳广告策略(2) 若广告费用总预算是2力尤，分别用求条件极值和无条件极值的方法求最佳广告策 略.解：令凡=14-8丫-4* = 0,

34、&=32-8*-20尸0.得唯一驻点(1.5,1).由此可知，当 电视广告费为1. 5万元，报纸广告费为1力-元时，广告策略最佳。(2)问题是在约束条件x+尸2(x>0, y>O)b曲数R(x,y)=l 5+14x+3 2y 8xy Zx2lOy2 的条件极值问题令L(x, y,l) =15 + 14x+32y-8xy2x2 H-Oy2 + A(x+ y-2)li R =14-8y 4x+兄=O,Ly =-8x+32-20y+%=0,x+y=2解得x=0. 75, y=l. 25.由此可知,当电视广告费为0.75力元,报纸广告费为1. 25万元 时，广告策略最佳。由x+y=

35、2,可得y =2-兀代入R得R(xy)=4 x2+6x+39令 R = 0,得x= 0.75.因此 y=l. 25.复习题7(/I)L 设z = G+F(&-1), HL，知 y=l 时，kc 则 f (x)= (x+l)o,(x,y) = (0,0) -1, z=>/y+x-l解：由尸1时，kc，得f(妖一令.得x = (t+l)，因此f(t) = (t+l) 一1.即f(x) = (x+l)3 -1, z=7y+x-l-#-乂(0,0) = liin f(0'0 +缪- F(0'0)= lim-2- = 0.x&T00&t0 03设ctan寺”

36、则“ 解：令1】=x+ y,v= x- yj!ijz= aictaii dz= d(aictaii) =l(hi-一耳 dv1+()2V l+(pw而 dii = dx+dy,dv= dx-dyA仃极限C可微B连续D以上三项都不成立故 dz=11+丄dx+Jy3炉二2 x_yx-yx+yl-xyxdy- ydx=> 疋+y4设u=yfg)+起(p，其中tg具有二阶连续偏导数，则X弟+ 丫蠡 =解：務=开0(乎)+&©+探©* 呐)呼$)咛 马国-f 牛嵋寺-呻9熄討 所以x器+y鶴=。5若旳数z=f(xy)在点(旳也)处的偏导数存在，则在该点处甫数z=F(x,

37、y) ( D )da 冻 象yf 討fG)_ d2!+ y解：内为偏导数心在，不能推出极限心在，所以ABC三项不一泄止确 6偏导数&(Xo,yo)，以刘畝)存在是函数2=fiXy)在点(XD,yo)连续的(D )A充分条件B必要条件C允要条件D即非充分也非必要条件解：同5.7.设函数fix. y)=l Z+y2,则卜列结论正确的是(D )A点(0,0)是f(xy)的极小值点C点(0,0)不是f(x,y)的驻点8求下列极限：B点(0,0)是f(xy)的极人值点D K0Q)不是f(xy)的极值(1)(腿)(x2 + y2)sin-15-#-解：(1)因为品0 + y>O,而曲吉有界所

38、以(勰山+ 丁)血吉=0.(2).癒瞬阔;乜臥內E9.设u=«荻巴 而丘+尸12尸1+：求解：由 r+yx-y+Z/nf 得2xJ+=2t,$"=L 所以dx_2t+l dy_2t-2x因此坐=空密+孝坐= 3cl寻斗 cl字卑. dt dx dt (ty dt2x + l2x + l令t = 0,饥=一2肿=Yi& = l,y=_l故字=討或尊.«t t=0310设Afcy）由方程xy+yz+xz=l所确定，求 妥、解：两边同时対x求偏导，得y + y疼+ z+= 0,因此吏=-止，山对称性可得各=-半v+ z(x+y)-(y+z)_ 一內(x+y) y

39、"_2y+2zOTujl x+ ydy x+ ydz 空“(X+疗(X+02(X+0字罗z _ Q +診(x+y)-(y+z)_ (l-)(x+y)-y-z_ » 刼y(x+yF(x+y)2(x+y)2*11.设Ku,v)Jl冇二阶连续偏导数，且满足空+空"，又g(x,y)=fxyl(x2-y2),Ar dr2试证- + 3- = x +yr. 疔斎 y证：设u = xy,v= |(X2 _ y2),贝 Ijg (x,y)= f (u,0.则氷di ck dvck diy dvdydy dvdy didv 旳Mgfdu SPf dv (3ff.f， af眉=而苍+

40、丽冻“不=乔了+乔：r +乔芳ar ay 应甘&a>2dv2 y 比，所以典+典=x'+yl& 5y12.求换数 f(x,y)=K2(2+y2)+ylny 的极值解:先解方程纽乎(x.y) = 2x2y+liiy+l = 0得骁点为(0,1).K = 2(2+y2),(x,y) = 4xy,(x,y) = 2x2+l,在点(0, 1)处,=ACB=6Xl00,乂 A>0,所以函数在(0, 1)处有极小值£0. 1)=0(5)I2z=ex+f(x2y),且已知 y=0 时.m2,则dz解：令y=0得£(*)=三一二因此，z=ex + (x-

41、2y)2-c2所以务 F + 2(x2y)_严.2 IS KxyzMeYz2 Jt1!1 z=z(xy)是 ill x+02xyz=O 确加的隐函数，则 £ (0丄-1) =解：lllx+ y+ z十 xyz-0口丁彳V1十務十 y(z+ x務)-0.护氐一 l+w因此 （0,1-1） = 1.3.设z = ln（五+77）,则x务+ 丫备=4设z = lf(xy) + yg(x+y)，淇中f g具有二阶连续偏导数，则義 =xuxcy解：務=弓 F(xy) + gfay)+y?/(x+y),參;=F (劝 + g F*(xy) + 三 F”(xy)x+(x+ y)+ yg ”(x+

42、y)= yfr(xy> g*(*0 ygt5西数在点(0,0)处的偏导数存在的情况是(C ).A 4(0.0),认0,0)都存在B取0,0)存在，7。，0)不存在C取0,0)不存在，以0,0)存在D &(0.0),认0,0)都不存在-17-6.设f(x,刃，g (x, y)均为町微函数，且& (x,刃H 0, (2知(及,jo)足fix, y)在约束条件 (xr)=0 F的一个极值点，卜列结论正确的是(D )A 若 b,yo)=O,则以Xb,yo>oB 若 Wo,yo)=o,则 血,yo)HOC 若 gb,yo)HO,则 炉,yo)=oD 若 &(xo,yo

43、)0,则盹,w)H0解：作拉格朗口函数L(x,y,A)= f(x,y) + g(x,y),则仃LJt(x,y,2)= £(无,) +起丄)，%)= 0,'(兀 y，2)= ©(卞，)+几冇("，) = 0由Fgy(斗y)Ho,所以为认oyQHo, 2工o,因此起(无,)式0，从而適,yo)Ho7设旳数u=f(xy,z)冇连续偏导数，且z=z(x,y)是± xexyey=zez所确定的隐隊I数，求du解：宙xe Jy/S町得cx + “J =务云* £爰故备 因此血=(dx+ ©dy+ .dz=fxdx+ fydy+-丁辽 如）

44、-#-8设旳数u=f(x,y,z)冇连续偏导数，且y=(x),K(x)分别由卜列两式确定：产-xyef2 響t,求霑解：h cxy-xy= 2,可徐罗(丫+ x)一(y+ x) = 0,因此當=；第;= _”.由宀厂響t可俯=E<；Z)务,因此半=1_器鸟故気7+用+请=咚+4館】9设K(xy)由方程f+y2z=g(x+y+z)所确定，其屮g其何二阶连续偏导数lg H 1.(1) 求 dz»(2) u(x,y) = (爰一埶求务解：(l)rhx2+于一z= g(x+y+z),两边分别同时对x、y求偏导得 2x-=g'(x+y+z)Q+)，2y-=g，(x+y+z)Q+|

45、). 内此 dz_2x-g，(x+y+z)氐_2y_g，(x+y+z)dx. gr(x+y+z) + l "dy gr(x+y+z)+l(x+y+z)+l gf(x+y+z)+l咻y)=古(爰_診=古g,(爲爲R = g.(x+y7z) + l 比 _ -2g"(x+ y+ z)Q +豹 _ -2g"(x+ y+ z)l+ :莒:囂 冻 gr(x+y+z)+lfg*(x+y+z)+lf10求函数u+yr+r在约束条件和x+y+z=4卜-的最人世I.和最小仇解：llz=x2 + y2,x+y+z=4nj'ftjx2 + y2 =4-x-y Wilt,问题转化

46、为求u = 4 -x -y <4 -x 孑哟朿条件X -Fy 4 -x卜的极值问题令 L(x,y,>Q = 4-x-y+(4-x-y)24-/?(x2 + yJ-4+x+y),Rgy,兄)=一1 一 2(4 - x-力 + 2Ax+兄=0,.(x, y, A) = -l-2(4 - x - y) + 22y+ A= 0.x2 + 亍 一 4+x+y=0,解得：x = -2,y=-2«jJcx=l,y=l. -Slllt, zf8«J!Kz=2又 F(-2,-2,8) = 72, f (U2) = 6.所以最大值为72,最小值为6.习题8-11. 设何一平而薄片，

47、在xOy平面上形成闭区域D,它在点（x，y）处的面密度为（x，y）, IL （兀y）在D连续，试用一重积分表示该薄片的质量.解：mujpeyMo"D-# -2试比较卜列二重积分的人小：J(x +y):da与JJ(x+y)i6其屮D由x轴、y轴及直线x+尸1朗成：DD(2) Jln(x+y)da与 jjln(x+y)了de 直中 D 是以 A(1,O),C(2, 0)为顶点DD的三角形闭区域解：(1)在 D 内，OSx+ySl,故(x+y n(x+y)，jj(x+y)2dcr>jj(x+y)3dcr.DDC)在D 内，l<x+yS2, Atosln(x+0从lfljln(x

48、+M nln'(x+y), jjlii(x+ y)db > jj lii(x + y)f cl erDD(1)习题421.画出积分区域，并计算下列二斎积分：(1)C)(3)(6)解:jj(x+y)ds 其中D为炉形闭区域：|x|<L|y|<l：Djj(3x +2y)d6冥中D是由两朋标轴及代线x+尸2所H，I成的闭区域：Djj(x2 + y2-x)dajt1|1 D是由H线尸2,尸x«y=2x所惘成的闭区域：D|*|*x2yda.lt中D是半圆形闭区域P+bW&xMO；Dfxlnyda.R-中 D 为 0WxW4,lWyWe：D其屮D圧山曲线xy“,

49、x = M，y=x所閘成的闭区域 jj(x + y)db =丄 dxj： (x + y)dy =£ 】2xck = 0.Djj(3x+2y)db =匸dx X(3x+2y)dy =卩x(2-x) + (2-x)2dxD=1-2X2 +2x+4dx = -jX3 + x2 +4x|： =竽. JJ (疋 + Y2 - x) d b = f dyJ； (x2 + y2 x) dx = J：(譬一# y2) dy D丁与一与|2 =空96y 8y |06"内为被积函数1y的奇函数，且D J - x轴刈称，所以JJryd<7=0.D 7冷_1). 险-d芋耳)k墙'2

50、D(1)jj xln ydb =& J； xhiydy=£ x(yln y| ； 一 In y|；)& = 2 歸T网牛T；器2.将二重枳分JJf(x,y)d<r化为一次枳分(两种次序)工屮枳分区域D分别如卜：D(1) 以点(0,0),(2,0),(1,1)为顶点的三角形；(2) 由直线尸x及抛物线yUx所|曲成的闭区域：xdx =(3) 宙fl线y=x,x=2及双曲线y二丄所皿成的闭区域:由曲线尸/及尸1所甬成的闭区域解：(1) JoldxJoxx £(¥)=££ yf(x5y)dx.仆严F(My)dy=呱£砧

51、 fgyjdx+fdyj； F(汕y)dx=dxj； f(x,y)dy.(4) £ &.|； f (兀 y)<ly =£ 妁订 f(x,y)dx.3.交换F列二次积分的枳分次序： £(iyF(x,y)dx ：(2) dyf： F(x,y)dx ；(3) f dxF(x ,y)dy :£ dyf (x ,y)dx +dyf (x ,y)dx .解:0) f(y)dx=£dx£ f(x,y)dy- l&P尸(丄刃血=血f(x,y)dy.城'气(£0如=(电|訂(“)血£如匸尸(兀y)dx+

52、f dyf (耳y)& = £_ dxf (兀y)dy 4求由、IWi 40,尸O,Q1,尸1所|科成的柱体被'K-imi日 及2x+3y4-=6截得的立体体枳 解：V =dx(6-2x-3y)dy=f(6-2x-g)dx = £5求由平而Q0,尸0,x+尸1所用成的柱体被平面日)及曲而F+bh-z戴得的立体体积 解：¥ = f dxfX(6 _ 丘 一 y2 )dy =(6Q - x) - Q - x)F - )dx =普.习题8-31. 画出积分区域.把匝枳分JJf(x,y)de7化为极出标系卜的次枳分贞屮枳分区域DD是：Or+ya2 (a&g

53、t;0)；(2)r+y22x： 1 x2+y24：(4) OWyWl xOWxWl解：(1)jj F(x,0d(r = j"d& Fa cos&Tsinrdr.D(2) jj f(x,y)d(7 =f*(r cos0ysin0)rdr.d"T(3) J| f(x,y)dcr =f(r cosjsin)rdr.D jj f(x, y)d(r =匸 do"""f & cos Of siii 0)rdr.D2. 把卜列枳分化为极坐标形式，并计算枳分值：仙丄戸匕+门氐(2) £町；JV + y2血解:(1)恥严

54、6; +刃吐血您血證卜兽3o cos6 0尸伏务_2(血+1)厂 o 一- °o JM右心仙倚皿冷览 l" C 釘3 Jo cos0 01 / cos"5 0 t cos3r 3在极坐标系卜计算卜列二朿积分：(1) $拧(1才其中D是関形闭区域F+Wl；D(2) jJlnQ+x' + yckz贞屮D是由関周x'+yj及半标轴所国成的右" 象限内的闭D区域；ifarctanYd。.比屮D是由閲周x2+y2=1 ,x*+y2=4及直线尸Oy=x所闱成的在第- dx彖限内的闭区域：(4) jjyjR2-x2-yda其中 D 由陨1 周 P+yR

55、xtRX)所|韦I成D解：(1) jje*y，d<r = £'，rder，rdr =2,-ier，=(e-l).D(2) jyhia + x2 + y2)da = £yd£lii(l + r2)rdi =ylii(l + r2) 詣险2-2(葺君工如=*21n2-l).G)-r2)7I Rcos0J| arctaildb = d& ( arctan(tan0) rdr = J, 0AO片 rdr =务 + =話" DjjR2 -x2 -y2d<7 = d&dr = 一g D乙=-ij(ie site-R 砒=攀4求由曲|(ii 淘+y2与z = 何孑所由成的工体体枳 解：两条曲线的交线为 对因此，所围成的立体体积为:¥ = !(丁丘 + V _ (丘 + V)db="d&£(r /"dr =彳.习题8-41. 计算反常二雨积分jjc«切dxdy,比中D： xN0,y左x2. 计算反常二垂枳分JJ(：?)?，其屮D：解：1町严伽订(严-严曲-笃T + c亠 所以 jj cydy= Um+ c-2*-ea) = l.-23-#-复习题81.将二重积分JJf(x,y)dxdy化为：次枳分(两种次序都要)，其中枳分区域D圧:(1) |x| W