高等代数试题四

1、线性变换一判断题(1) 在向量空间疋中,<T(,x2,x3) = (2x£,x2,x2-x3)9则o是疋的一个线性变换.().(2) 在向量空间R”x中，o-(/(x) = /2(x),则o是儿x的一个线性变换.(). 取定AwM”(F),对任意的"阶矩阵XeM(F),定义a(X) = AX-XA,则o是 M”(尸)的一个线性变换.().o是向量空间V的线性变换，向量组，如线性相关，那么)也线性相关.().(5)在向量空间中，则微商o-(/W) = / (%)是一个线性变换.().(6) 在向量空间中，已知线性变换(7(為,耳,兀3)= (xi + X2,X2+X59

2、Xi), r(x1,x2,x3) = (xK0,x3).()则(0-2r)(x1,x2,x3) = (x2-xl9x2 + x3,-x3).(7) 对向量空间V的任意线性变换o-,有线性变换r ,使or = i(i是单位变换).().(8) 向量空间R2的两个线性变换o"为兀,冬)=(兀,无一兀)；厂(兀人)=(兀一兀,兀) 则(6 CT)3,x2) =(一兀2,无 + 壬).(9) 在实数域F上的”维向量空间V中取定一组基后，V的全体线性变换和尸上全体阶矩阵之间就建立了一个一一对应.().(10) 在取定基后，V的每个可逆线性变换对应于可逆矩阵，但逆变换未必对应于逆矩阵.()(11

3、) 线性变换在不同基下对应的矩阵是相似的.().(12) 相似矩阵不一定是同一线性变换在不同基下的矩阵.().(13) 域F上的向量空间V及其零子空间，对V的每个线性变换来说，都是不变子空间.()(14) 除零变换外，还存在向量空间V的线性变换，能使V的任意子空间对该变换不变.()（15）向量空间V的线性变换6的不变子空间也是V的另一线性变换込的不变子空间，这里6"（）（16）向量空间V的线性变换o的彖与核都是tr的不变子空间.（）.（17）线性变换o的特征向量之和，仍为o的特征向量.（）.（18）属于线性变换o同一特征根心的特征向量的线性组合仍是o的特征向量.（）.（19）数域F中

4、任意数几都是尸上的向量空间V的零变换的特征根.（）.（20）o在一个基下可以对角化，则o在任何基卞可以对角化.（）.正确（2）错误（3）正确（4）正确（5）正确（6）正确（7）错误（8）正确（9）正确（10）错误（11）正确（12）错误（13）正确（14）正确（15）错误（16）正确（17）错误（18）正确（19）错误（20）错误二填空题(1) 设V和W是数域F上的向量空间，而o-.VW是一个线性映射，那么0是单射的充要条件是(2) 设V和W是数域尸上的向量空间，而biUW是一个线性映射，那么o是满射的充要条件是.(3) o是向量空间V的线性变换，若满足.则称b是可逆变换. 向量空间V的任意线

5、性变换0*,都有o-(O) =,(7(-a) =.(5) o是”维向量空间V的一个位似变换：陀)=kg,那么o关于V的基的矩阵是好.(6) 在匕的基b'o-的矩阵是a4 =a22<31°32°33)那么o关于基亿占+ 6,2殆的矩阵是.(7) 在尸中的线性变换0-(x1,x2,x3) = (2x1-xz,x2 + x3,x1),那么o关于基云=(1,0,0), e2 = (0 丄 0), 6 = (0,0,1)的矩阵是(8) 设5,込分别是向量空间R2中绕原点逆时针旋转G，4角的线性变换，那么66关于基匕=(1,0), q = (0,1)的矩阵是.(9) 对于

6、域F上向量空间V的数乘变换来说不变子空间.(10) 2维平面上的旋转变换er非平凡的不变子空间.(11) 若线性变换o与：是,则r的彖与核都是o的不变子空间.(12) 相似矩阵有的特征多项式.(13) (2o/-A)X=O的都是4的属于心的特征向量.(14) 4与对角阵相似，/(x) g Fx，则/(幻必与某一.(15) 设V是数域尸上的维向量空间，o-gL(V),ct的不同的特征根是人，人，乂，则0-可对角化的充要条件是(16) 设o是实数域F上的维向量空间V的线性变换，如果V的任意一维子空间都是b的不变子空间，那么o可以.(17) 设o是实数域尸上的维向量空间V的线性变换，o可对角化的充要

7、条件是1) o-的特征多项式的根都在F内；2) ；(18) 设AeM(F),如果A的特征多项式在F内有.那么4可对角化.(19) 设o是实数域F上的维向量空间V的线性变换，兄是o的一个特征根，则dim岭2的重数.3 2 7、(20) 矩阵0 2 4的特征根是.° 答案(1) ker(cr) = 0 (2) Im(cr) = W (3)存在 V 的线性变换 r ,使 or = t(t = i (4) 0,-a九 5 +血 2勺Q -1 0(5)任意(6)冬3 幻+ Cl222仙0 1 1°31 + °32231 丿,1 0 0,(cos(Q + &) sin

8、(G + &小(8) v 127127(9)每个子空间都是(10)没有(11)可交换的、sm(q+q)cos(q+Q)丿(12)相同(13)非零解向量(14)对角阵相似(15)fdim%="(16)对角化(17)1=1对于O的特征多项式的每一个根几，特征子空间匕的维数等于1的重数(18)川个不同的单根(19) <(20)3,2,5三.单选题：1. 向量空间匕（F）的零变换&的象及核的维数分别是（A. 0,7?B n.O C. 0,0 D. n, n2. 向量空间（尸）的单位变换/的象及核的维数分别是（）A 1,77-1B. n -1,1 C. n.O D. 0,

9、 n3“有相同的特征多项式”这是两个矩阵相似的（）条件。A充分B.必要C.充分必要D.以上都不对4.对于域F上向量空间V的数乘变换来说，（）不变子空间。A.只有一个B.每个子空间都是C.不存在 D.存在且有限个5. 2维平面上的旋转变换7,（A有一个B.有无穷多6. 若线性变换o与:是（A互逆的B.可交换的）非平凡的不变子空间。C.没有 D.有有限个）,则r的象与核都是b 的不变子空间。C.不等的 D.不可换的7. 以向量空间V的任何非零向量作为特征向量的线性变换只能是（）A零变换B.位似（数乘）变换C.单位变换D.以上都不对8. 设b是一线性变换，若Ker（a） = 0 o则下面说法正确的是

10、（）A无特征根零B.有特征根零C.不确定 D.以上都不对9.设S是对合矩阵（S2 = Z）, P是幕等矩阵（P，= P）, H是幕零矩阵（Hm=0）且HhO,那么（）可以对角化。A S、P、H在F上均可以对角化B仅S,P在尸上可以对角化C. 它们在F上均不能对角化。D. 在F上可以对角化答案：L42C3B4B5C637B849B四多选题1设o是"维线性空间的线性变换，则0在不同基下的矩阵().A. 定合同；B . 一定相似；C.秩一定相等；D.秩不一定相等.2设o是线性空间V的线性变换，则A. b(0) = 0;B . b(qA + 冬0： + + anpn) = a】cr(0J +

11、 冬b(0J + %60”);C. 当Q,02，0”线性无关,b(A)，b(02),b(0” )线性无关;D. 当0|,02，0”线性相关,b(0)b(0J,b(0“)线性相关.3设0是数域P上的维线性空间V的线性变换，且C7是单的.则A. 若4, ©2,%是v的一组基，则b(q),6/7)也是V的一组基;B. o是满射；C. o不是满射；D. o是双射.4 设V是复数域上的维线性空间，6：是V的线性变换，且crr = ro-.那么4. 若血是o的一个特征值，那么是厂的不变子空间；B. 6：的特征值一定相同；C. 6：的特征子空间一定相同；D. cr,z至少有一个特征值一定相同；5

12、阶矩阵A相似于对角阵的充要条件；4. 4的特征子空间的维数和等于；B. A的初等因子都是一次的；C. A有"个不同的特征根；D. 4的最小多项式无重根.答案：IB, C; 2A, B, D; 3A, B, D; 4 A, D; 5A, B, D.五简单题1. 线性变换是否一定把线性无关的向量组变成线性无关的向量组？2. 的线性变换0为er(為,尤2，心)=(兀 + 兀2 + 2£，3耳 + 3*3, 兀 + 2x2 +x5)求o的象与核的维数.3. 在数域F上全体阶对称矩阵所组成的向量空间V中定义变换a:a(X) = rXT,其中T为一个固定的阶方阵，X为V中任一对称矩阵。

13、证明：o是V的一个线性变换。4. 在向量空间F"中，对任意向量tz,规定cr(a) = a ,这里4为取定的一个"阶方阵。证明：o是尸”的一个线性变换。5. 证明：若某向量组在线性变换卞象线性无关，则该向量组也线性无关。6. 6：是向量空间v的线性变换。若or = e,则(y=o或r = e不成立，试举一反例.7. F町的两个线性变换为：对任意/(x) g Fx, %/(x) =广(x),C/V) = h(x) 证明：ar-T(y = i.8. 设是U(F)的线性变换，定义6订=6-Q证明：对任意 6匚p 以卜-等式成立：6 r,p + r,p,cr + p, cr, r

14、= /99. 证明：若 /(er) = &, g(b) = 0 ,则 d(b) = 8,其中 d(x)是 Fx中多项式 f(x)与 g(x) 的最人公因式。10. 令歹= Cgw3)是用中任意向量，o是线性变(7() =+ x2,x2,x3-x2)试证0可逆。11. 设4,疗是数域F上的阶矩阵，若人之一可逆，则A3与相似。12. 设V的两个线性变换o与r是可变换的。试证r的彖Im(C与核Ker(r)都是o的不变子空间。13. 设o是向量空间V的线性变换，那么IV = L()是o的一维不变子空间当且仅当§是o-的属于某特征根血的特征向量。14. 设o是复数域C上线性空间的线性变

15、换，若o关于空间的一个基勺,6的矩阵为(0 aA=a。丿求o的特征根与特征向量。15. 设矩阵(COS& S1H&)A =工 0(-sine cos&丿求A的特征根与特征向量。16设Q是属于阶对称矩阵4的特征根九的特征向量。证明：九是(PAP)的特征根，并求矩阵(PAP)的属于2。的一个特征向量。17. 试证幕等矩阵4的特征根等于0或1。18. 设4,3均为阶矩阵。证明：Tr(AB) = TrBA)19. 设阶矩阵A = (®)的特征根是人,人,.,人。证明：/=1 1=1 ;=120. 令4是数域F上一个"阶矩阵，4可以对角化的充分必要条件是办(X

16、)在尸内有个单根。这种说法对吗？答案1. 答 不一定.例如，在二维空间匕中，到X轴的投影变换o-：o-(x1,x2) = (x1,0),把线性 无关的向量组(1,0), (0、1),变为线性相关的向屋组(1,0), (0,0).2. 解 设为人的标准基，则得线性方程组"兀 + x? + 2兀=0< 3x2 + 3x3 = 0一 X 4- 2x2 + x3 = 0其解空间即为kei(r).因为此方程组的系数矩阵的秩为2,故dimkei(<T) = l.3. 证明：任取X,YwV,kwF ,贝ij(r(kX + IY) = TkX + IY)T =厂伙X )T + TlY)T

17、=k(TXT) + l(TYT) = kb(x) + 厶 67)故o是V的线性变换。4. 证明：任取a、0w F",ci,bw F,有(yaa + b0) = Acia + b0) = A(aa) + A(b/3)=a(Aa) + b(A/3) = aa(a) + ba(fl)故o-是尸”的线性变换。5. 证明：设向量组0,4,，乙在线性变换o下的象ba),b(aj,.,b(a,.)线性无关。令 kg + k2a2 +.+krar = 0于是 «cr(aj + k2cr(a2) + .+kr(yar) = 0由 6/zJ,cr(aJ,.,cr(%.)线性无关，知人=心= =

18、 =0 ,故aa2,.,ar 线性无关。6. 解:反例为：对向量空间/忙的任意向量(兀刃，定义线性变换6>, y) = (x, 0); r(x, y) = (0, y)则有 ot(x9 y) = cr(O, y) = (0,0).即gt = 0 ,但是b丰e、t丰e。7.证明:任取/(X) G FX,则OTg) = o-(xf(x) = /(x) + xfx)Tb(fa) = r(/r(x) = xfx) 因而(or q)(/(x) = or(/(x) Yb(/(x) = /(x)故 err _ T(y = i8证明：原式=cr, Tp 一 pa. r + r,pa -or,p + p,

19、 ar 一 rp, a=OTp-TOp po" pTO+TpO pTO-OTp+OpT+par 一 OpT 一 Tpo + TGp=09. 证明：因为d(x)是/(x)与g(x)的最人公因式，所以存在w(x),v(x)gF(x),使f(x)u(x) + g(x)v(x) = d (x)故有 d(cr) = /(cr)w(cr) + g(b)v(b) = <9z/(cr) + v(cr) = 0。10. 任取用的一个基,勺=(1,0,0),為=(0丄0),勺=(0,0,1)1 1 0、那么 CG),b(6)Q(£3)= G，6，£3)0100 -1 1/由于O

20、-关于此基的矩阵是可逆阵，故O可逆。11. 证明：不妨设4可逆，于是存在AT而有84 = (A-iA)BA = AAB)A12. 证明：任取g Iin(r),则存在?7gV使§ = %)于是b© = *() = (OT)() =(Q)() =() e Iin(r)所以Iin(r)是的o不变子空间。任取g Ker(r),则帖) = 0,于是2(f) =(Q)(歹)=5)(歹)=%“歹)=(7(0) = 0故由cr(g) g Ker(r)而知Ker(r)是a的不变子空间。13. 证明：§是一维不变子空间V的生成向量，自然有§工0,且b(f)wW = UM),

21、因 此存在20gF,而使a) = o反之，若f是o的属于特征根心的特征向量，那么对任何 “ G FQg) = b(g)=兄o(“§) 故b(厶()匸厶)。14. 解：易证；I的特征根为入=cii,入=_ai ,它们相应的特征向量分别为 k+kis2,k 丰 0,k g C,及 ks-kisk 工 0、k g C15. 解：办(Q) = F-2cos% + 1,从而A的特征根为入=cos + /sin,22 = cos0 isin0因此它们的特征向量分别是：心(一几1)=(湛+ 丰0和力2(2丄一1) = &(2勺 + £2- S)，k、工 0。16. 证明：因为 A

22、a = Aoa,A' = A故(P+P)'(P'a) = P'Aa =人(股)又QHO,P可逆，易知P&HO,因此2。是(LAP)'的一个特征根，并且PU是所求的一个特征向量。17. 设人是4的任一特征根，因/仇)=器是/(4)=用的特征根，所以/I； = /(/,) = /,故幕等阵的特征根是0或1。18. 证明：设4 = (®.),3 = (%),那么Tr(AB) = Xbkiaik) = Tr(BA)Z=1 k=lk=l i=l19. 证明：由题设易知斤的特征根为石忌,.盂，因此£方=7；(42) = ±f 4

23、灼.(=1 1=1 ;=120. 答；不对。例如，矩阵fl 0)A =1° 1丿有二重根1,而4本身就是对角形矩阵。六计算题:1.向量空间的线性变换0为b（心七/3）= （2兀,3忑,一2兀）求Iin（o-）与Ket（y）,并计算它们的维数。1.解取用的标准基g心于是bG) = <7(1,0,0) = (2,0,0), b(6) = cr(o,l,0) = (0,3,0),= b(0,0,1) = (0,0,-2),任取孑=4勺 + 冬6 +。303 ,则 cr() = al(r(sL) + a2(j(e2) + 6t3cr()因此 Im(b) e 厶(b(q), <r(

24、6), 6_5)显然 Im(b) ： L(bG), cr(6), 6X)故 Im(b) =厶(cr(勺),b(6)，b(g3)而 crG), b(6), bG)线性无关，所以 Im(cr) = R, dim Iin(o-) = 3因为 Kefa) = g w 用 0(f) = 0则由(2兀,3x2 ,-2x3) = (0,0,0)得 X = x、= Xj = 0所以 Ker(a) = 0, dim Ker(a) = 02.令表示数域尸上四元列空间。取(1 -15 -B厶11-23A =3-181J 3-97,对于任gw尸，令=求线性变换o的核和彖的维数。2.解 取 F4 的标准基勺，6占占由

25、Im(cr) = UcrG),crG),cr(£3)C(£4)13<-1>1-1'5、-28丄丿其中7(勺)='5 )-23毗)=8心1、9丿7 /由此得 dim Iin(<T)= A 秩=2 由线性方程组A = 0的解空间的维数，得dnnKer(a) = 4-2 = 23设石,£“5,6是耳的标准基，线性变换b关于此基的矩阵是< 1-102211、3A =1255(2-21一2丿求 <7 的彖 Im(<T)与 Kei(y) °3解：解齐次线性方程组AX=O得基础解系山胡J其中"1 = (2,

26、%丄0) “2 = (1,一2,0,1),从而Keg =胡又由于4的秩为2 ,知bG),crG),b(£3),6X)的秩为2,且oVJqG)线性无关,它们构成1111(0的一个基，从而=厶b(6)4.设0是向量空间C2的线性变换，7在基q,冬下的矩阵是A =（5 -2 丿试找出7的所有不变子空间。4解：C'和J°H是0的两个不变子空间，那么其余的不变子空间都是一维的。由于/(2) = |2Z-A| = 2z+16 = (2-4/)(2 + 4/)因此当21=4/时，我们得4的属于人的特征向量勺= 当2, = -4/时，得特征向量：=U+2'丿令A =2a1

27、+ (l-2z)6z2,p2 = 2ai + (l+2i)a2 那么W；=厶（0J和必=厶（0J是7的另两个不变子空间.5设数域F上向量空间V的线性变换（7关于基的矩阵是(4(1) 4= 5 -76 -91 -3 4)(2) A= 4 -7 86-7 7z(3) 4= 11试找出7的一个不变子空间。卩15解：（1）因为1是a的属于特征根1的特征向量，所以厶（a+8+y）是o的不变子空 I丿间。（2）2 是4属于特征根3的特征向量，所以厶（匕+ 2冬+ 2他）是0的不变子空间。Z（3）因为4的特征根是三重根-1所以V =特征子空间匕】就是0的不变子空间。6. 在尸'中定义线性变换如下，试

28、求7的特征根和特征向量。cr(xnx2,x3)=(鬲 + 占 + 2兀，2丕 + “3，兀 + W + 3兀)6解：设7关于尸的标准基 g，6,的矩阵是4,则113、4= 02 1-1 1 3 丿4的特征多项式为2-1 -1 -2|A/-A|= 02-2-11-1A-3所以A的特征根为三重根人=人=人=2。解方程组(2I-A)X=0 ,得特征向量 kQ丄0) = k® + k6，k H 07. 设0是尸的一个线性变换。已知:b(l, 0,0) = (5,6,-3), <7(0,1,0) = (-1,0,1), <7(0,0,1) = (1,2,1)试求：o的全部特征根及特

29、征向量。7解：0-关于标准基2,6的矩阵为(5-1B4= 602-3 1 b那么A的特征多项式为|2Z-A| = (2-2)3,且特征根为A=A = 2解齐次线性方程组(2/ A)x=0,得出特征向量为匕(1,3,0) +人(0丄1),即k百+ (3人+ k2)e2 +鸟並 这里你人不全为零。8. 设是尸'的一个基，令+ 253 a2 = 一2® - 2® + 45 a、= 2岂 +- 23cr g L（F3）,且 <7（/占 +12£2 + 1召）=収 + ka2 + 3 求：CT的特征根与特征向量。1-22'-2 -24242,Z8解:由

30、条件陀）=曲=1,2,3故0关于基勺，6，$3的矩阵为4 =于是求出4的特征根为A=22=2,23=-7（2I-A）X=0 ,得出特征向量为当 入=入=2时，解齐次方程组代（一2 丄 0） + £ （2,0,1） = （-2心 +）岂 + 鸟尼 +kl9k2不全为零。当人=-7时，解齐次方程组（-7/-A）X=0 ,得特征向量为&（一1,一2,2）=一层一2跟 + 2层 R 工0"310、9.设A= -4 -10,试由A的特征多项式和特征根写出4一的伴随阵(A-1)*的特<4 -8 -2征多项式和特征根。9 解：因 |2Z-A| = (A+2XA-1)2A的特

31、征根为一2,1,1。今(Al)(Ay=A-ll又 |4| = 一2,所以(4-丁的特征多项式是由此g(x)的特征根为-*，-扌。10试求方阵aaa.a、 aA = a a/的特征根。10解：显然秩A = l所以4的任何高于一阶的子式皆为0。于Al-A = r-Tr(A)2n_1 =-naA'1-1故A的特征根为人=兄2 = = AfT =% =na。七.证明题：1.取定AeMJF),对任意XwM“(F),规定a-(X) = AX-XA证明：b是叫(尸)的一个线性变换。1证明：任取X,YwM”(F),a,b*, bX +bY) = A(aX+bY)-(aX +bY)A =a(AX-XA)

32、 + b(AY-YA) = g(X) + baY)故O是丸(尸)的线性变换。2.设M是向量空间V(尸)的一个子空间，并且存在V的子空间N,使V = M + N ,对任 意a eV ,有唯一分解式a = q + wM,冬w N。定义V的变换(7:(y(a) = a2 。 证明：o是V的一个线性变换。2 证明：设任意<z，Z?g V ,并且a = aY + a2.p = A + A Gg N.k e F于是 cr(a+0) = b(q + 8) + (0】+ 0J)=冬 + 0= = cr(a) + b(0)<j(ka) = <r(R(a + a2) = ka2 = kcr(a)

33、,故o是V的线性变换。3.对向量空间尸的任意向量(心丕,£),定义(T (XpX2,.,Xj = (0,兀/»,£-)证明：0是尸"的线性变换。3证明:任取&=(心兀,0 =(儿儿,，牙(yaa + b0) =(y(ax + byt ,ax2 +by2,.,axn + byj=(0, O¥ + by,., dX"T + by)=a(0, X,., x»_J + b(0, y_j)= a<y(a) + b(y(J3) 故o是的线性变换。(ci b 4.在MF)中定义线性变换o如下：b(X)= fW d丿a b证明

34、：o可逆的充分必要条件是.工0c d4证明：取M2(F)的标准基EEl2,EE229则关于此基的矩阵为a 0b 00 a0 bA =c 0d 00 c0 d因为a b c d故o可逆当且仅当4矩阵可逆当且仅当""工05试证明：若矩阵4与3相似,C与£)相似。(Ao、仃(B、OC丿<00则矩阵相似。5证明：因为由题设，存在可逆7 B = rATo又因为存在可逆矩阵0,使D = QCQ ,那么我们有分块矩阵(T G =OQ)及(T12o、Q从而得到rG =厂丁-1o、(Ao(T0、'TlATo 、95、0Q6oQ)< OQSBOO故得求证的相似关系

35、。6.令0是"维向量空间V的线性变换。 若o是可逆变换。则b关于V的某一基的矩阵4秩为"。6证明设（as耳）是向量空间V的一个基，且64，冬，） = （q，s，,乞）人而（T可逆当且仅当A可逆，因此矩阵4秩为“。7.试证线性变换o的不变子空间的交与和都是o的不变子空间。7证明：设W与S是的两个不变子空间。那么wns与W + S都是向量空间V的子空 间。现在证它们是不变的。任取歹w wns则由w及ws ,推出这证明了 wns是o的不变子空间。如果ww+s,那么可表成于是 b（） = cr（J + b（"J又由于 cr（J w W, cr（J w S所以cr（）w W

36、 + S故W + S是o的不变子空间。8设V是复数域C上的向量空间，(T与r是V的线性变换，并且OT = ZYT。 证明：如果人是0的一个特征跟，那么特征子空间匕9也是：的不变子空间。8证明：显然己知匕c =a wU|b(a) = 4)a是b的不变子空间。现在证它是r的不变子空间。即任取a V.o ,往证r(a) e .由于62) = 2(a) = r(AQa)=入(2) 故 r(a) g V.9.设V是复数域上维向量空间，其线性变换5,2,.,6两两可换。证明：叭的每一个特征子空间都是-的不变子空间QJ = l,2,.,s)。9证明：设匕。是q属于特征根心 的特征子空间，任取V.o 则有：=

37、 匕。那么 q(s(a) = J (q(a) = /lo(s(a),可见s(a)w %所以是6的不变子空间0 J = 1,2,.,5)o10设er是向量空间V的可逆线性变换。 证明：7的特征根都不为零。10证明：设人，人，人为o的特征根，且设o在V的某个基卞对应的矩阵是那么|4| =人入.就”，并且由b可逆知A可逆。故7的特征根都不为零。11.设非奇异矩阵A的全部特征跟为九兀凡，则4-1的全部特征根为：説；111证明：由4为可逆阵，有4=人入&工0所以A的全部特征根人，人,，血皆不为零，其次对每个人，由存在非零向量乞使Aai = Ai ai o我们可再从犷的=犷也,推得A-a=g。所以都是”1的特征根。再由即知人一1全部特征根是心匕忑1，尤1°12若Q为"阶方阵4的属于特征根心的特征向量。证明：九为rlAT的特征根。12证明：因为4与T'AT有