高中数学推理与证明 23 数学归纳法习题课 苏教版选修22

1、习题课数学归纳法明目标、知重点1.进一步掌握数学归纳法的实质与步骤，掌握用数学归纳法证明等式、不等式、整除问题、几何问题等数学命题.2.掌握证明nk1成立的常见变形技巧：提公因式、添项、拆项、合并项、配方等1归纳法归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分完全归纳法和不完全归纳法两种，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明2数学归纳法(1)应用范围：作为一种证明方法，用于证明一些与正整数n有关的数学命题；(2)基本要求：它的证明过程必须是两步，最后还有结论，缺一不可；(3)注意点：在第二步递推归纳时，从nk到nk1必须用上归纳假设题型一用数学归纳法证明不等式用数学归纳法

2、证明不等式，首先要清楚由nk到nk1时不等式两边项的变化；其次推证中可以利用放缩、比较、配凑分析等方法，利用归纳假设证明nk1时的结论例1已知数列bn的通项公式为bn2n，求证：对任意的nN*，不等式···>都成立证明由bn2n，得，所以·······.下面用数学归纳法证明不等式·······>成立(1)当n1时，左边，右边，因为>，所以不等式成立(2)假设当nk(k1且kN*)时不等式成立，即·&

3、#183;·····>成立则当nk1时，左边·········>· > .所以当nk1时，不等式也成立由(1)、(2)可得不等式·······>对任意的nN*都成立反思与感悟用数学归纳法证明不等式时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑证明目标在凑证明目标时，比较法、综合法、分析法都可选用跟踪训练1用数学归纳法证明<1(n2，nN*)证明当n2时，左式，右

4、式1，因为<，所以不等式成立假设nk(k2，kN*)时，不等式成立，即<1，则当nk1时，<111<11，所以当nk1时，不等式也成立综上所述，对任意n2的正整数，不等式都成立题型二利用数学归纳法证明整除问题例 2求证：an1(a1)2n1能被a2a1整除，nN*.证明(1)当n1时，a11(a1)2×11a2a1，命题显然成立(2)假设当nk(kN*)时，ak1(a1)2k1能被a2a1整除，则当nk1时，ak2(a1)2k1a·ak1(a1)2·(a1)2k1aak1(a1)2k1(a1)2(a1)2k1a(a1)2k1aak1(a1)

5、2k1(a2a1)(a1)2k1.由归纳假设，上式中的两项均能被a2a1整除，故nk1时命题成立由(1)(2)知，对任意nN*，命题成立反思与感悟证明整除性问题的关键是“凑项”，先采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑成nk时的情形，再利用归纳假设使问题获证跟踪训练2证明x2n1y2n1(nN*)能被xy整除证明(1)当n1时，x2n1y2n1xy，能被xy整除(2)假设当nk(kN*)时，命题成立，即x2k1y2k1能被xy整除那么当nk1时，x2(k1)1y2(k1)1x2k1y2k1x2k12y2k12x2·x2k1y2·y2k1x2·y2k1x2

6、3;y2k1x2(x2k1y2k1)y2k1(y2x2)x2k1y2k1能被xy整除，y2x2(yx)(yx)也能被xy整除，当nk1时，x2(k1)1y2(k1)1能被xy整除由(1)，(2)可知原命题成立题型三利用数学归纳法证明几何问题用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k个变成k1个时，所证的几何量将增加多少，还需用到几何知识或借助于几何图形来分析，实在分析不出来的情况下，将nk1和nk分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何问题的一大技巧例 3平面内有n(nN*，n2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点

7、，证明：交点的个数f(n).证明(1)当n2时，两条直线的交点只有一个，又f(2)×2×(21)1，当n2时，命题成立(2)假设nk(k>2)时，命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线交点个数f(k)k(k1)，那么，当nk1时，任取一条直线l，除l以外其他k条直线交点个数为f(k)k(k1)，l与其他k条直线交点个数为k，从而k1条直线共有f(k)k个交点，即f(k1)f(k)kk(k1)kk(k12)k(k1)(k1)(k1)1，当nk1时，命题成立由(1)(2)可知，对任意nN*(n2)命题都成立反思与感悟用数学归纳法证明几何问题时，一要注意数形结合，二要注意

8、有必要的文字说明跟踪训练3有n个圆，其中每两个圆相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成f(n)n2n2部分证明(1)n1时，分为2块，f(1)2，命题成立；(2)假设nk(kN*)时，被分成f(k)k2k2部分；那么当nk1时，依题意，第k1个圆与前k个圆产生2k个交点，第k1个圆被截为2k段弧，每段弧把所经过的区域分为两部分，所以平面上净增加了2k个区域f(k1)f(k)2kk2k22k(k1)2(k1)2，即nk1时命题成立，由(1)(2)知命题成立1某个命题与正整数n有关，若nk (kN*)时命题成立，那么可推得当nk1时该命题也成立，现已知n5时，该命题不成

9、立，那么下列说法正确的是_n6时该命题不成立 n6时该命题成立n4时该命题不成立 n4时该命题成立答案解析nk(kN*)时命题成立，那么可推得当nk1时该命题成立若n5时，该命题不成立，则n4时该命题不成立2用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”时，第一步验证n1时，命题成立，第二步归纳假设应写成_答案假设n2k1(kN*)时命题正确，再推证n2k1时命题正确3用数学归纳法证明3nn3(n3，nN*)第一步应验证_答案n3时是否成立解析n的最小值为3，所以第一步验证n3时是否成立4用数学归纳法证明123(2n1)(n1)(2n1)时，从“nk”到“nk1”，左边需增添的代数式

10、是_答案(2k2)(2k3)解析当nk时，左边共有2k1个连续自然数相加，即123(2k1)，所以当nk1时，左边共有2k3个连续自然数相加，即123(2k1)(2k2)(2k3)所以左边需增添的代数式是(2k2)(2k3)呈重点、现规律1数学归纳法证明与正整数有关的命题，包括等式、不等式、数列问题、整除问题、几何问题等2证明问题的初始值n0不一定，可根据题目要求和问题实际确定n0.3从nk到nk1要搞清“项”的变化，不论是几何元素，还是式子；一定要用到归纳假设.一、基础过关1用数学归纳法证明等式123(n3) (nN*)，验证n1时，左边应取的项是_答案1234解析等式左边的数是从1加到n3

11、.当n1时，n34，故此时左边的数为从1加到4.2用数学归纳法证明“2n>n21对于nn0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取_答案5解析当n取1、2、3、4时2n>n21不成立，当n5时，2532>52126，第一个能使2n>n21的n值为5.3已知f(n)1(nN*)，证明不等式f(2n)>时，f(2k1)比f(2k)多的项数是_答案2k解析观察f(n)的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f(2k)1，而f(2k1)1.因此f(2k1)比f(2k)多了2k项4若f(n)1(nN*)，则f(1)_.答案解析相当于一个通项，把n1代入得.所以f(1

12、)1.5用数学归纳法证明“5n2n能被3整除”的第二步中，当nk1时，为了使用归纳假设，应将5k12k1变形为_答案5(5k2k)3×2k6已知数列an的前n项和为Sn，且a11，Snn2an (nN*)依次计算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn_.答案解析S11，S2，S3，S4，猜想Sn.7已知正数数列an(nN*)中，前n项和为Sn，且2Snan，用数学归纳法证明：an.证明(1)当n1时，a1S1(a1)，a1(an>0)，a11，又1，n1时，结论成立(2)假设nk(kN*)时，结论成立，即ak.当nk1时，ak1Sk1Sk(ak1)(ak)(ak1)()(ak1

13、).a2ak110，解得ak1(an>0)，nk1时，结论成立由(1)(2)可知，对nN*都有an.二、能力提升8k(k3，kN*)棱柱有f(k)个对角面，则(k1)棱柱的对角面个数f(k1)f(k)_.答案k1解析三棱柱有0个对角面，四棱柱有2个对角面020(31)；五棱柱有5个对角面232(41)；六棱柱有9个对角面545(51)；.猜想：若k棱柱有f(k)个对角面，则(k1)棱柱有f(k)k1个对角面9对于不等式n1 (nN*)，某学生的证明过程如下：当n1时，11，不等式成立假设nk (nN*)时，不等式成立，即k1，则nk1时，<(k1)1，所以当nk1时，不等式成立，上

14、述证明说法正确的是_过程全部正确；n1验证不正确；归纳假设不正确；从nk到nk1的推理不正确答案解析从nk到nk1的推理中没有使用归纳假设，不符合数学归纳法的证题要求10用数学归纳法证明>.假设nk时，不等式成立则当nk1时，应推证的目标不等式是_答案>解析观察不等式中的分母变化知，>.11求证：>(n2，nN*)证明(1)当n2时，左边>，不等式成立(2)假设当nk(k2，kN*)时命题成立，即>.则当nk1时，()>()>(3×)，所以当nk1时不等式也成立由(1)和(2)可知，原不等式对一切n2，nN*均成立12.已知数列an中，

15、a1，其前n项和Sn满足anSn2(n2)，计算S1，S2，S3，S4，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法加以证明解当n2时，anSnSn1Sn2.Sn(n2)则有：S1a1，S2，S3，S4，由此猜想：Sn(nN*)用数学归纳法证明：(1)当n1时，S1a1，猜想成立(2)假设nk(kN*)时猜想成立，即Sk成立，那么nk1时，Sk1.即nk1时猜想成立由(1)(2)可知，对任意正整数n，猜想均成立三、探究与拓展13.已知递增等差数列an满足：a11，且a1，a2，a4成等比数列(1)求数列an的通项公式an；(2)若不等式(1)·(1)··(1)对任意nN*恒成立，试猜想出实数m的最小值，并证明解(1)设数列an公差为d(d>0)，由题意可知a1·a4a，即1(13d)(1d)2，解得d1或d0(舍去)所以an1(n1)·1n.(2)不等式等价于····，当n1时，m；当n2时，m；而>，所以猜想