高考动点轨迹方程的常用求法(含练习题及答案)

1、轨迹方程的经典求法0).轨迹方程的经典求法一、定义法：运用有关曲线的定义求轨迹方程.例2:在厶ABC中，BC 24, AC, AB上的两条中线长度之和为 39,求 ABC的重心的轨迹方程. 解：以线段BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立直角坐标系，如图1， M为重心，则有2BM | |CM |39 26 .3 M点的轨迹是以B, C为焦点的椭圆，其中 c 12, a 13 . b a2 C 5.2 2所求 ABC的重心的轨迹方程为 -L 1(y16925二、直接法：直接根据等量关系式建立方程第1页共7页轨迹方程的经典求法例 1 :已知点 A( 2,0, B(3,0)，动点 P(x,u

2、ur muy)满足PA PBx2，则点P的轨迹是(A 圆B 椭圆C 双曲线D 抛物线解析：由题知PA ( 2 x,uuu y) , PBurn ULJJI(3 x, y)，由 PA PBx2，得(2 x)(3 x) y2x2，即 y2 x 6 ,第#页共7页轨迹方程的经典求法三、代入法：此方法适用于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题例3:已知 ABC的顶点B( 3,0) C(10),顶点A在抛物线y3 1 xox3yo3x3x2,yo3y.y3x244x 3(y o)UJUAD2,LUUAE1 UID-(AB2HHTAD) P点轨迹为抛物线故选D .9x上运动，求 ABC的重心G的轨迹方

3、程.解：设G(x, y) , A(xo , yo)，由重心公式，得又 T A(xo, yo)在抛物线 y x2上, y x0 .将，代入，得 3y (3x 2)2(y o)，即所求曲线方程是四、待定系数法：当曲线的形状已知时，一般可用待定系数法解决例5:已知A, B, D三点不在一条直线上，且A( 2,) , B(2,o),(1)求E点轨迹方程；(2)过A作直线交以A, B为焦点的椭圆于 M , N两点，线段MN的中点到y轴的距离为-，且直线MN5与E点的轨迹相切，求椭圆方程.UUL 1 LUU LULT解：(1)设 E(x y)，由 AE 丄(AB AD)知 E 为 BD 中点，易知 D(2

4、x 2,2y).2又 | ADI 2，则(2x 2 2)2 (2 y)2 4.即 E 点轨迹方程为 x2 y2 1(y o)；(2)设 Mg yj, N(X2, y2)，中点(x°, y°).2 2由题意设椭圆方程为 与# 1 ,直线MN方程为y k(x 2).a a 4第2页共7页轨迹方程的经典求法.直线MN与E点的轨迹相切，1，解得k 昱.Jkl3(x2)代入椭圆方程并整理，得4(a22 23)x 4a x16a2 3a40，二 xoXi X222a2 ，2(a3)又由题意知Xo五、参数法:2-4，即一a-,解得a252(a2 3)5如果不易直接找出动点坐标之间的关系，

5、可考虑借助中间变量(参数)8 故所求的椭圆方程为，把x ,y联系起来例4:已知线段AA 2a，直线I垂直平分AA于O，在I上取两点P, P ,使其满足uur uuluOP-OP 4，求直线AP与AP的交点M的轨迹方程.解：如图2，以线段AA所在直线为x轴，以线段AA的中垂线为y轴建立直角坐标系.设点 P(0, t)(t 0),4则由题意，得P 0,4 .t由点斜式得直线AP, A P的方程分别为y (x a), y (x a). ata两式相乘，消去t，得4x2 a2y2 4a2(y 0) 这就是所求点 M的轨迹方程.评析：参数法求轨迹方程，关键有两点：一是选参，容易表示出动点；二是消参，消参

6、的途径灵活多变配套训练、选择题1.已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么动点 Q第3页共7页轨迹方程的经典求法的轨迹是()A.圆2.设A1、A2是椭圆B.椭圆2=1的长轴两个端点,4C.双曲线的一支P1、P2是垂直于D.抛物线A1A2的弦的端点，则直线 A1P1与A2P2交点的轨迹方程为2 2xyA.-942 2y x .B.1942xc.92 2y x .D.194第#页共7页轨迹方程的经典求法第#页共7页轨迹方程的经典求法二、填空题aa13. ABC中，A为动点,B、C为定点，B(- 2,0),C(2,0)，且满足条件 si n

7、C sin B=-s inA,则动点A的轨迹方程为4.高为5 m和3 m的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m ,如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A( 5,0)、B(5, 0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是 .三、解答题B、C作O O'异于I的5.已知A、B、C是直线I上的三点，且|AB|=|BC|=6,O O'切直线I于点A，又过两切线，设这两切线交于点P,求点P的轨迹方程x26.双曲线a2 y b1=1的实轴为A1A2，点P是双曲线上的一个动点，引AiQ 丄 AiP,A2Q 丄 A2P, AiQ 与 A2Q第4页共7页轨迹方程的经典求法第#页共7页轨迹方程

8、的经典求法的交点为Q,求Q点的轨迹方程第#页共7页轨迹方程的经典求法2 27.已知双曲线 笃 爲=i(m>0,n>0)的顶点为Ai、A2,与y轴平行的直线I交双曲线于点P、Q.m n(1)求直线AiP与A2Q交点M的轨迹方程；当n时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率8已知椭圆x22y牙=1(a> b> 0),点P为其上一点，Fi、F2为椭圆的焦点,bF1PF2的外角平分线为I，点第5页共7页轨迹方程的经典求法第#页共7页轨迹方程的经典求法F2关于I的对称点为Q , F2Q交I于点R.(1)当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；设点R形成的曲线为C,直线I:

9、 y=k(x+ . 2 a)与曲线C相交于A、B两点，当 AOB的面积取得最大值时，求k的值.参考答案yy。xXo A2、P2、P 共线,y y。XXo配套训练一、1解析：T |PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|, |PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,即|F1Q|-2a,.动点Q到定点F1的距离等于定长2a,故动点Q的轨迹是圆./ r答案：A2解析：设交点 P(x,y) ,A1( 3,o),A2(3,o),P1(xo,yo),P2(xo, yo)第6页共7页轨迹方程的经典求法第#页共7页轨迹方程的经典求法2 2 2 2解得xo= 9, yo聖,代入得乞 生1,即二

10、1x x9494答案：C11、3解析：由 sinC sinB= sinA,得 c b= a,22答案：2 216X1(X 4)a3a4应为双曲线一支，且实轴长为设P(x,y),依题意有4解析a16 x216y2a2,故方程为丁時1(x 4).53(x 5)2 y2，化简得P点轨迹方程为4x2+4y2 85x+100=0.第#页共7页轨迹方程的经典求法第#页共7页轨迹方程的经典求法yyo1x aXoa由条件yyo1x axoa而点P(xo,yo)在双曲线上,Xo得yo答案：4x2+4y2 85x+100=0、5解：设过B、C异于I的两切线分别切O O'于D、E两点，两切线交于点 P.由切

11、线的性质知：|BA|=|BD|,|PD|=|PE|, |CA|=|CE|,故 |PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18 >6=|BC|,故由椭圆定义知，点 P的轨迹是以 B、C为两焦点的椭圆，以I2 2所在的直线为x轴，以BC的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P的轨迹方程为-=1(y 0)81726解：设 P(X0,y°) (xm 土 a),Q(x,y). / A1( a,0),A2(a,0).x(Xoa)2 2x ay2 2b2xo2 a2yo2=a2b2,即 b2( x2) a2

12、(- )2=a2b2y第#页共7页轨迹方程的经典求法第#页共7页轨迹方程的经典求法化简得Q点的轨迹方程为: a2x2 b2y2=a4(xM± a).第#页共7页轨迹方程的经典求法7解：设P点的坐标为(xi,yi),则Q 点坐标为(xi，-yi),又有 Ai( - m,0),A2(m,0),第7页共7页轨迹方程的经典求法第#页共7页轨迹方程的经典求法则AiP的方程为：y=亠xxi mm)A2Q的方程为：y=一里 (xx mm)x得：/=2 yi 2 XiI-7(x2mm2)第#页共7页轨迹方程的经典求法第#页共7页轨迹方程的经典求法又因点P在双曲线上,2Xi2m2At i,即 yi2n

13、2n / 22、2 (xi m ) m第#页共7页轨迹方程的经典求法第#页共7页轨迹方程的经典求法2 =i.此即为M的轨迹方程 n2代入并整理得nm2当n时，M的轨迹方程是椭圆第#页共7页轨迹方程的经典求法第#页共7页轨迹方程的经典求法(i )当m> n时，焦点坐标为(土 . m2 n2 ,0),准线方程为x=±"H、 m2 m2n，离心率2 2m ne=mI oo(ii)当mv n时，焦点坐标为(0,± . m n )，准线方程为y= ±2n2.n_2-,离心率m22 2n me=n第#页共7页轨迹方程的经典求法R(xo,yo) ,Q(xi,yi),Fi( c,0),F2(c,0).2a si nAOB28解：(i) 点F2关于I的对称点为Q,连接PQ,/ F2PR=Z QPR, |F2R|=|QR|, |PQ|=|PF2|又因为I为/ FiPF2外角的平分线，故点Fi、P、Q在同一直线上，设存在 |FiQ|=|F2P|+|PQ|=|FiP|+|PF2|=2a,则(xi+c)2+yi2=(2 a)2.Xi cX