最全“将军饮马”类问题(类型大全+分类汇编)

1、最全“将军饮马”类问题 （类型大全+分类汇编）1.如图，直线l和l的异侧两点A、B,在直线l上求作一点P,使PA+PB最小2.如图，直线l和l的同侧两点A、B,在直线l上求作一点P,使PA+PB最小3.如图，点P是/MON内的一点,分别在 OM, ON上作点A, R使ZXPAB的周长最小4 .如图，点P, Q为/MONfi的两点，分别在 OM ON上作点A, B。使四边 形PAQB的周长最小。O'5 .如图，点A是/MON#的一点，在射线OM上作点P,使PA与点P到射线ON的距离 之和最小6一如图，点A是/ MON内的一点，在射线OM上作点P,使PA与点P到射线ON的距 离之和最小、常

2、见题型三角形问题1.如图，在等边 ABC中，AB = 6, ADL BC E是AC上的一点,M是AD上的一点，若 AE = 2 ,求EM+EC的最小值解：,点C关于直线AD的对称点是点B, ;连接BE,交AD于点过点BBH = BC2-CH2作BHXAC于点在直角 BHE中，BE =贝 U EH = AH AE = 3M N分别是 AD和AB上的动点,2 .如图，在锐角 ABC中，AB = 4 2，/ BAC= 45° , /BAC的平分线交 BC于点D,则BM+MN的最小值是 解：作点B关于AD的对称点B',过点B'作B'E ±AB于点E,交AD于

3、点F , 则线段B'E的长就是BM+MN的最小值 在等腰RtAEB'中，根据勾股定理得到，B'E = 43 .如图， ABC中，AB=2, /BAC=30 ,若在AC、AB上各取一点 M、N,使BM+MN的值最小，则这个最小值解：作AB关于AC的对称线段 AB',过点B'作B'N LAB,垂足为N ,交AC于点M)则 B'N = MB'+MN = MB+MNB'N的长就是 MB+MN的最小值则 / B'AN = 2 / BAC= 60° , AB' = AB = 2/ ANB'= 90 &

4、#176; , /B' = 30 :.AN = 1在直角 AB'N中，根据勾股定理B'N正方形问题1.如图，正方形 ABCD的边长为8, M在DC上，丐DM= 2, N是AC上的一动点，D/ MN的最小值为即在直线AC上求一点N ,使DN+MN最小解：故作点D关于AC的对称点B ,连接BM交 AC 于点 No 则 DN + MN= BN+MN= BM 线段BM的长就是 DN+MN的最小值 在直角CM中，CM=6, BC=8, 则BM=10故DN+MN的最小值是1 02.如图所示，正方形 ABCD的面积为12, ABE是等边三角形，点 E在正方形ABCD内，在对角线AC上

5、有一点P,使PA PE的和最小，则这个最小值为（A. 2 3解：即在点D连接B. 2C. 3 D.6AC上求一点P,使PE+PD的值最小关于直线AC的对称点是点B,BE 交 AC 于点 P ,贝U BE = PB+PE = PD+PE ,BE的长就是 PD+PE的最小值 BE = AB = 2 133.在边长为2 cm的正方形 ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线 AC上一动点,连接 PB、PQ则4PBQ周长的最小值为cm （结果不取近似值）解：在AC上求一点P,使PB+PQ的值最小点B关于AC的对称点是D点，;连接DQ,与AC的交点P就是满足条件的点 DQ = PD+PQ = PB+

6、PQ故DQ的长就是PB+PQ的最小值在直角 CDQ 中，CQ = 1 , CD = 2ADQ根据勾股定理，得，DQ =4.如图，四边形 ABCD是正方形，AB = 10cm, E为边BC的中点，P为BD上的一个动点，求 PC+PE的最小值;解：连接AE,交BD于点P,贝U AE就是PE+PC的最小值在直角 ABE中，求得AE的长为5y51.如图，若四边形ABCD是矩形,矩形问题AB = 10cm BC = 20cm E为边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点，求 PC+ PD的最小值;C'解：作点C关于BD的对称点C'作C'B，BC,交BD于点P,过点C',则

7、C'E 就是PE+PC的最小值20直角 BCD中，CH = 一直角 BCH 中，BH = 8 . 5 - BCC'的面积为：BH >CH = 160C'E >BC = 2X160则 CE'=16菱形问题1.如图，若四边形 ABCD是菱形，AB=10cm /ABC=45的最小值；解：点C关于BD的对称点是点A,过点 A 作 AE± BC,交BD于点P ,则AE就是PE+PC的最小值在等月EAB中，求得AE的长为5 2VE为边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点，求 PC+PEA梯形问题1.已知直角梯形 ABCD中，AD/ BG ABL BC

8、AD=2, BGDG5,点P在BC上桐动，则当 PA+PD取最小值时，APD中边AP上的高为（）.444A17 B,17 C -8一口 3171717 1解：作点A关于BC的对称点PA',连接A'D ,交BC于点贝 U A'D = PA'+PD = PA+PDA'D的长就是PA+ PD的最小值$ APD = 4在直角 ABP中，AB = 4 , BP = 1 根据勾股定理，得AP = 17 _4：AP上的高为：2X1717圆的有关问题1 .已知。O的直径CD为4, /AOD的度数为60° ,点B是AD的中点，在直径 CD上找一点P,使BP+AP

9、的值最小，并 求BP+AP的最小值.解：在直线 CD上作一点P,使PA+ PB的值最小作点A关于CD的对称点A',连接A'B ,交CD于点P,则A'B的长就是PA+ PB的最小值连接 OA' , OB,则/A'OB=90° ,OA' = OB = 4根据勾股定理，A'B = 4 2 -2.如图，MN是半径为PN PB的最小值为(1的。O的直径，点 A在OQ±, / AM仲30° , B为AN弧的中点，P是直径 MN上一动点，则 )A 2 2 -B 2 C 1 D 2解：MN上求一点P,使PA+PB的值最小作点

10、A关于MN的对称点 A',连接A'B，交MN于点P,则点P就是所要作的点A'B的长就是PA+PB的最小值连接OA'、OB则 OA'B是等腰直角三角形A'B = 2A'一次函数问题20. 一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点 A (2, 0) , B (0, 4).(1)求该函数的解析式；PC+ PD的最小值，并求取得最小值时 P点(2) O为坐标原点，设 OA、AB的中点分别为C、D, P为OB上一动点，求 坐标.解：(1)由题意得：0 = 2x+b ,4 = b 解得 k = -2, b= 4 ,y = -2x+4(2)作点C

11、关于y轴的对称点C',连接C'D ,交y轴于点P 贝U C'D = C'P+PD = PC+PDC'D就是PC+PD的最小值连接 CD,贝U CD = 2 , CC' = 2在直角 C'CD中，根据勾股定理 C'D = 2 求直线C'D的解析式，由C'(-1 , 0), D(1, 2),有 0 = -k+b , 2 = k+b 解得 k = 1 , b = 1 ,y = x+1当 x = 0 时，y =1 ,贝U P(0 , 1)二次函数问题1.如图，在直角坐标系中，点 A的坐标为(-2,0),连结0A,将线段OA

12、绕原点O顺时针旋转120。，得到线段OB.(1)求点B的坐标；(2)求经过A、Q B三点的抛物线的解析式；(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使 BOC周长最小？若存在求出点 C坐标；若不存在，请说明理由.解:点O关于对称轴的对称点是点 A,则连接AB,交对称轴于点C ,则 BOC的周长最小2.如图，在直角坐标系中， A, B, C的坐标分别为(-1, 0) , (3, 0) l, D为直线l上的一个动点，(0, 3),过A, B, C三点的抛物线的对称轴为直线(1)求抛物线的解析式；求当AD+CD最小时点D的坐标；(3)以点A为圆心，以AD为半径作圆A;解：(1)证明：当AD+CD

13、最小时，直线BD与圆A相切；写出直线BD与圆A相切时，点D的另一个坐标。(2)连接 BC,交直线 l 于点 D,贝U DA+DC = DB+DC = BC, BC的长就是AD+DC的最小值BC: y = -x + 3则直线BC与直线x = 1 的交点D(1 , 2),3.抛物线y = ax 2+bx+c(a20)对称轴为x = -1 ，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,其中A(-3 , 0)、C(0, -2) (1)求这条抛物线的函数表达式.(2)已知在对称轴上存在一点P,使得 PBC的周长最小.请求出点 P的坐标.(3)若点D是线段OC上的一个动点(不与点 。、点C重合).过点D作DE/

14、 PC交x轴于点E,连接PD、PE.设CD的长为m, 4PDE的面积为S.求S与m之间的函数关系式.试说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由.题意得b一=1 (1)由22a解得a =-39a-3b+c = 0c = -2:抛物线的解析式为2一x23(2)点B 关于对称轴的对称点是点 直线AC的解析式为y = kx +b-A,连接 AC交对称轴于点-P,贝:/A PBC的周长最小，丁 A(-3 , 0) , C(0, -2),则0 = -3k + b解得k =b = -2U2 = b:直线AC的解析式为把 x = -1代入得，:P(-1(3)S存在最大值OE . DE/ PC OAODOCOE,即=3