2005高考理科数学试题及答案(天津)

1、 精诚凝聚=A，=成就梦想 2005年普通高等学校招生全国统试一考试数学试题天津卷(理工类)本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分，共150分，考13t用时120分钟。第I卷1至2页，第n卷3至10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第I卷(选择题共50分) 注意事项：1 .答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形 码。2 .每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选 涂其他答案标号。答在试卷上的无效。参考公式：如果事件A、B互斥，那么P(A B) =P(A) P

2、(B)如果事件A、B相互独立，那么P(A B) = P(A) P(B)如果事件A在一次试验中发生的概率 是P,那么n次独立重复试验中恰好发 生k次的概率Pn (0=(1-P) n-k球的体积公式V球=3r33其中R表示球的半径柱体(棱柱、圆柱)的体积公式V柱体=$卜其中S表示柱体的底面积, h表示柱体的高。一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。(1)设集合 A=x|4x1 之9,xw R, b =x 2 0,xw R,则 AB=()x + 35.(A) (-3,-2(B) (-3,-2 - 0,-25 - 5(C)(-二，-3

3、 .一，)(D)(-二，-3) .一，)22a 3i(2)若复数a ( a亡R , i为虚数单位位)是纯虚数，则实数 a的值为()1 2i(A) -2(B)4(C) -6(D)6(3)给出下列三个命题若 a 之b 1,则-a- -b-1 a 1 b若正整数 m和n满足m E n ,则Jm(n -m) 设P(x1, y1)为圆O1 : x2 + y2 = 9上任一点，圆O2以Q(a,b)为圆心且半径为1.当(a%)2 +(byi)2 =1 时，圆 Q 与圆。2 相切其中假命题的个数为()(A) 0(B) 1(C) 2(D)3(4)设Of、P、为平面，m、n、l为直线，则m _L P的一个充分条件

4、是()(A):工.F, ：- -1 ,m l(B) :- m/，I ., -1 ,i (C) I .-,，m .1(D) n l，n l , m_：(5)设双曲线以椭圆252+)_ =1长轴的两个端点为焦点, 9其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的翻点亮心灯/(人9)照亮人生斜率为()(A) -24(B)3(C)(6)从集合1,2,3，11中任选两个元素作为椭圆方程22三十丫万=1中的m和n ,则能组成落在矩形区 m n域B =(x, y) |x|11,且| y |1)的反函数，则使 f (x)1成立的x的取值范围为 2a2 -1(A) (a ，二)2a(B)(一二J2a(C)(宁,a)2a

5、(D) a,二) 精诚凝聚=A，=成就梦想 31(10)右函数f(x)=loga(x ax) (a 0,a =1)在区间(，0)内单倜递增，则a的取值范围是()2一 1 八399(A) ,1)(B) -,1)(C)(，二)(D) (1,一)4444第R卷(非选择题共100分)注意事项：1答卷前将密封线内的项目填写清楚2用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上。(11)设 n w N”,则 Cn +C；6+C；62 + +C；6n=.(12)如图，PAL平面 ABC / ABC=90 且 PA=AC=BC=OW异面直线 PB与 AC所成角

6、的正切值等于 .(13)在数列a n中，a 1=1,a 2=2,且 an42 -an =1 +(-1)n (n w N *)则S100 =-(14)在直角坐标系 xOy中，已知点 A(0,1)和点B(-3,4),若点C在/ AOB的平分线上且| OC |=2,则OC =.(15)某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12% 一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%下表是过去200例类似项目开发的实施结果：投资成功投资失败192次8次则该公司一年后估计可获收益的期望是 (元)1(16)设f(x)是7E 乂在 R上的奇函数，且y=f(x)的图象关于直线x= 对称，则2f(1) f

7、(2)f(3)f(4) f(5)=三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。(17)(本小题满分12分)在 MBC中，/A、/B、/C所对的边长分别为a、b、c ,设a、b、c满足条件b2 + c2 -bc = a2 和 = 1 + 引3 ,求 / A 和 tan B 的值b 2(18)(本小题满分12分)已知 Un = an +anb + an“b2 +abn +bn (n w N： a a0,b a0)。(I)当a = b时，求数列Q 的前n项和Sn(n)求 lim -un- n(19)(本小题满分12分)如图，在斜三棱柱 ABCABiCi 中，/AiA

8、B=/AiAC,AB = AC,AiA= AB = a，侧面 Bi BCCi与底面ABC所成的二面角为i20： E、F分别是棱B1c1、AA的中点(I)求AA与底面ABC所成的角(n)证明AE /平面BiFC(m)求经过A、A、B、C四点的球的体积(20)(本小题满分i2)某人在一山坡P处观看对面山项上的一座铁塔，如图所示，塔高BC=8 0米)，塔所在的山高OB=220米)，OA=200 (米)，图中所示的山坡可视为直 线l且点P在直线l上，l与水平地面的 夹角为a ,tana=i/2 试问此人距水平地面 多高时，观看塔的视角/BPC最大(不计此人的身高)翻点亮心灯/(AvA)照亮人生精诚凝聚

9、 =A，=成就梦想 _HIII(21)(本小题满分14分)2抛物线C的万程为y=ax (a：=(；)n-1b）过A作A1H _L平面ABC ,垂足为H .连结AH ,并延长交BC于G ,于是/ A1 AH为AA与底面ABC所成的角. NA1AB =NA1AC ,AG 为/BAC 的平分线.CiiFGB-j H -又 AB = AC ,，AG _L BC ,且 G 为 BC 的中点.因此，由三垂线定理 A1A .L BC . A1ABiB,且 EGBiB,EG _L BC ,于是/AGE 为二面角A - BC - E的平面角,即/AGE =120 1 由于四边形 AAGE为平行四边形，得 ,AA

10、G =60：.（n ）证明：设 EG与B1c的交点为P ,则点P为EG的中点.连结PF .在平行四边形 AGEA中，因F为A1A的中点，故 A1E/FP .而FP u平面B1FC , AE0平面B1FC ,所以AE平面B1FC .（出）连结 A1C .在 &AAC 和 &AAB 中，由于 AC = AB, /AAB=/A1AC, AA=AA,则AAC 0 Aa1AB，故 AC =A1B .由已知得 AA = A1B = AC=a.)，当 a =b 时，un = (n + 1)an,则 lim -un- = lim (n-n)a- = lim-a( = a . n :unn naf:n翻点亮心灯

11、Z/(AvA)照亮人生 精诚凝聚=A，=成就梦想 又A1H，平面ABC ,，H为 MBC的外心.翻点亮心灯/(AvA)照亮人生设所求球的球心为O,Oe A1H ,且球心O与A1A中点的连线OF 1 A1A.在 RtAA1FO 中，A1OAF球的半径R =cosAA1H cos303. a ,球的体积V = nR27(20)解：如图所示，建立平面直角坐标系，则A(200,0),B(0,220) , C(0,300) .x -200(x A 200 )直线l的方程为y =(x -200) tana ,即y设点P的坐标为(x, y),则P(x, x-200)2由经过两点的直线的斜率公式kPCPCx-

12、200 , -300x -800x-2002202xkPB160x-6402x由直线PC到直线PB的角的公式得tan BPC = kPB kPC2x64x1 kPBkPC. x-800 x-6401 2x -288x 160 6402x2x64160 640 x - 288八 ，一， 一一 160 640要使tan BPC达到最大，只须x +160640 288达到最小.，.,160 640 _由均值不等式 x + 160 640 -288 27160x640 -288.当且仅当160 640”,时上式取等号.故当x =320时tan BPC最大.这时，点 P的纵坐标y为y =320 - 20

13、0一n由此实际问题知， 0/BPC 一,所以tan BPC最大时，/BPC最大.故当此人距水平地面 260米高时，观看铁塔的视角 /BPC最大.11(21)解：(I)由抛物线 C的万程y = ax2(a0)得，焦点坐标为(0,)，准线万程为 y = 4a4a(n)证明：设直线 PA的方程为y - y0 =k1(x Xo),直线PB的方程为y y0 = k2(x %).精诚凝聚=A，=成就梦想 _HIII翻点亮心灯/(AvA)照亮人生点P(Xo, yO)和点A(Xi, yi)的坐标是方程组y yo =k1(X%)c 2y = ax的解.将式代入式得 ax2 k1x+k1x0 - y0 = 0,k

14、1于是 X1 + Xo = ,故 X1a又点P(xo，yo)和点B(X2,y2)的坐标是方程组y - yo = k1 (x - xo ) (J-2_y = ax2_的斛.将式代入式得 ax 一 k2 x + k2 x0 - y0 = 0 .k2一于是X2 + Xo =,故ak2X2 = 一 Xo .a由已知得，k2 = Ak1 ,则 X2 = -一 k1 一 Xo . a设点M的坐标为(xM ,yM),由BM -XMA,则xM =X2X1将式和式代入上式得xM-x -X = xo,即 xM + xo = o.所以线段 1PM的中点在y轴上.(出)因为点P(1,-1)在抛物线y = ax2上，所

15、以a = 1,抛物线方程为y由式知 x1 = -k1 -1，代入 y = x2 得 y1 = -(k1 +1)2.将九=1代入式得x2 = k1 一1,代入y = x2得y2 = -(k2 +1)2 .因此，直线PA、PB分别与抛物线 C的交点A、B的坐标为2 _2 _Z_ 2 一Z一A(-k1 -1-k1-2k1-1), B(K 1,K+2k11) .于是 AP= (K+2,K +2kJ, AB =(2匕,4匕)，二 _2_-一AP AB =2k1(k1 +2)十4kl(k1 +2k1) =2k1(k1 +2)(2kl +1) .因ZPAB为钝角且P、A、B三点互不相同，故必有 AP AB

16、o.12求得匕的取值范围是k1 2或父先 。.又点A的纵坐标 必满足y1 = (k1 +1),故 2， 一111当 k1父一2 时，y1 1 ;当一Hk1o 时，一1丫1一.即 y匚(毛,1)U(1,)244(22)解：(I)证明：由函数 f(x)的定义，对任意整数 k,有f (x +2kn) - f (x) =(x +2kn)sin(x +2k) xsinx = (x + 2k兀 ) sin x xsin x = 2k兀 sin x .(n)证明：函数 f (x)在定义域 R上可导，f(x) =sin x + xcosx 精诚凝聚=A，=成就梦想 _HIII令f (x) = 0 ,得sin

17、x +xcosx =0 ,显然，对于满足上述方程的x有cosx丰0 ,上述方程化简为x = -tan x.此方程一定有解.f (x)的极值点x0 一定满足tan/ = -x0. 22.2.2sin xtan x /口 . 2 tan %sin x =22 =2,得 sin x0 =2-sin x cos x 1 tan x1 tan x04因此，f （x0）2 =x02sin2x0 ; X0 21 x0(出)证明：设x0 A 0是f (x) =0的任意正实数根，即 x0 = tanx。，则存在一个非负整数 k ,使f （x） = cosx（tan x + x）在第二或第四象nx w(+kn,n +kn),即x0在第二或第四象限内.由式, 2限中的符号可列表如下：x兀（二 +kn,x）2x0（x0,n +依）f (x)的符号k为奇数一0十k为偶数十0一所