几何证明与计算k字型的妙用

1、第二轮复习 第74讲 几何证明与计算 “ K ”字型的妙用) 三角形和四边形作为初中几何的核心知识， 是近几年重庆中考重点考查的内容， 试 卷呈现的有关几何题问题的计算、证明与探究，能较好地考察学生的逻辑思维能力 和分析问题、解决问题的能力，常考的知识包括：全等三角形、特殊三角形和特殊 四边形性质与判定，线段中垂线、角平分线的性质与判定等相关知识，灵活地掌握 辅助线的做法是解决这类问题的关键。 学习目标： 1. 学会识别、构造“ K”字型，积累作辅助线的数学经验 2. 经历识别、构造基本图形的过程，提高综合分析问题的能力 学习重点：会用“ K”字型的性质解决问题 学习难点： “K”字型的构造

2、学习过程： 一、温故知新 观察下列基本图形，你能得出什么结论？ (1)如图，已知：点 B、C、D 在同一直线上， AC丄 EC, AB丄 BD，EDL DB. 追问 1:这个图形有什么特征? 追问 2:若 AC=CE 若 AOCE 你有什么新的发现? (2)如图，已知：/ ABC 玄 ACEW D,问：/ A、/ ECD 有何关系? 1. 如图，等边 ABC的边长为 9, BD=3 / ADE=60 度，贝 U AE 长为 2. 如图， F是正方形 ABCD 勺边 CD 上的一个动点，BF 的垂直平分线交对角线 AC 于 点 E,连接 BE, FE,贝 EBF 的度数是( ). A. 45 B

3、 . 50 C . 60 D .不确定 三、经典例题： 例： 如图，在 ABC中， ABC 90，过点C作AC的垂线CE且CE=CA连接AE BE 1 小明课间把老师的三角板的直角顶点放在黑板的两条平行线 知/ 2=35 ，则/I的度数为（ ）. A. 55 B 35 C. 45 D 125 2 .如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD顶点A的坐标为（0, 2）, B点在x 轴上，对角线 AC BD交于点M OM3，则点C的坐标为 _ . 3. 正方形ABCD中, E是对角线BD上一点， 过点E作EF丄CE交AB于点F.若BF=2, BC=6求 FE 的长. 五、 感悟数学： 六、 课后作

4、业： 1. 如图，已知第一象限内的点 A 在反比例函数 y二2的图象上，第二象限内的点 a、b 上（如图），已 X 3. 如图， 矩形 ABCD 勺顶点 A、D 在反比例函数y 6(x 0)的图象上，顶点 C B分 x 别在 x 轴、y 轴的正半轴上，且 竺 2，再在其右侧作正方形 DEFG FPQR(如图所 BC 示)，顶点 F、R 在反比例函数y -(x 0)的图象上，顶点 E、Q 在 X轴的正半轴上， x 则点 R的坐标为 _ . 4. 已知：在YABCD 中，AE!CD 垂足为 E,点 M 为 AE 上一点，且 ME二AB AM二CE 连接 CM 并延长交 AD于点 F. (1) 若点

5、 E是 CD的中点，求证： ABC 是等腰三角形. B 在反比例函数 y二 k -的图象上，且 X OAL OB，tanB二 2. 上, 则 k 的值 4m m 0 x 的值为（ A . 12 B . 9 m经过 C 点，则m x 如图， ABC 90，点 B 在x轴 经过 A 点，双曲线 且 B 1,0 AB=3BC ，双曲线 (2) 求证：/ AFM=ZBCF 德中命制人：邓宏书 审稿人：刘加勇 “K”字型的妙用参考答案 二、自主练习： 1 . 7 2. 【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质. 【专题】几何图形问题. 【分析】 过 E 作 HI / BC分别交 AB CD 于点 H

6、 I，证明 Rt BHERt EIF，可得 / IEF+Z HEB=90，再根据 BE=EFSP 可解题. 【解答】解：如图所示，过 E作 HI / BC 分别交 ABCD 于点 H、l，则/ BHEM EIF=90 E是 BF 的垂直平分线 EM 上的点, EF=EB E 是/ BCD 角平分线上一点， E到 BC 和 CD 的距离相等，即 BH 二 EI, Rt BHE 和 Rt EIF 中，一 , BH 二 Rt BHERt EIF ( HL), / HBEM IEF, / HBE HEB=90 , / IEF+Z HEB=90 , / BEF=90 , BE=EF / EBF 玄 EF

7、B=45 . 故选：A. 【点评】本题考查了正方形角平分线和对角线重合的性质，考查了直角三角形全等 的判定，全等三角形对应角相等的性质. 三、经典例题: 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；矩形的判定与性质；解直 角三角形. 【分析】（1） 易求得 AC的长， 即可求得 BC,AC 的长， 根据四边形 ABCE 的面积二SMBC+SSCE 即可解题； （2）作 EDL AB EF 丄 BC 延长线于 F点，易证/ BACK ECF 即可证明厶 ABCA CFE 可得 EF=BC 再根据等腰三角形底边三线合一即可求得 AD=BD 即可解题. 【解答】 解：（1）v ACL CE C

8、E=CA AC二CE=fAE二:, tan / BAC=:;, 3 / BAC=30 , BC5C二 2 2 AB 二:BC 二江, 四边形 ABCE 的面积二SAABC+SAACE=- 存斗X二二X . : ；+1; 2 2 2 2 (2)作 EDL AB EFL BC 延长线于 F 点, 则四边形 BDEF 为矩形， EF=BD / ACBK ECF=90，/ ACBK BAC=90 , / BACK ECF ZABC=ZF=90Q 在 ABC 和厶 CFE 中，ZBAOZBCF , LAC=CE ABCA CFE (AAS EF=BC ABE中, AE=BE EDLAB AD=BD AB

9、二 AD+BD=2BD=2EF=2BC 即 AB=2BC 【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的性质，本题中求证 ABCA CFE 是解题的关键. 四、赢在中考： 1. 【考点】平行线的性质；余角和补角. 【分析】根据/ ACB=90 , Z2=35 求出/3的度数，根据平行线的性质得出/仁/ 3, 代入即可得出答案. / ACB=90，/ 2=35 , / 3=180 90 35 =55 , all b, / 仁/ 3=55 故选 A. 【点评】本题考查了平行线的性质和邻补角的定义，解此题的关键是求出/3 的度 数和得出/仁/ 3,题目比较典型，难度适中. 2. 【考点】正方

10、形的性质；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质. 【专题】压轴题. 【分析】过点 C 作 CElx轴于点 E,过点 M 作 MHx轴于点 F, MP!y 轴，根据正方 形的性质可以得出 MB二M,可证明 A MP BMF 就可以得出 PM二MF 就可以证明四 边形OFMP是正方形，由勾股定理就可以求出 OF的值，再由 AOBA BECF从而 得出 C 点的纵坐标. 【解答】 解：过点 C作 CELx轴于点 E,过点 M 作 MFLx轴于点 F,连结 EM【解/ MFOZCEO=AOB=Z APM90 四边形 POFM 是矩形， / PMF=0, 四边形 ABCD 是正方形， / ABCM A

11、MB=0 , AM=BM / OABM EBC / AMPM BMF A MPB MF(AAS, PM=FM PA=BF 四边形 POFM 是正方形， OP=OFM =3 , V2 -A ( 0, 2), OA=2 二 AP二BF=3-2=1, OB=3+1=4 在 AOBffi BEC 中,ZCEO=ZAOB ZOAf=ZEBC , AB=BC A0B2ABEC( AAS, OB二CE4 , AO=BE=2 OE=4+2=6 - C ( 6, 4). 故答案为：(6, 4). 【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，平行 线等分线段定理的运用， 坐标与图形的性质的

12、运用， 解答时求证四边形 POFM 是正方 形是关键. 3. 【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质. 【分析】连接 CF 由正方形的性质得出/ B=90 ，再由 EF丄 CE证得 MEFA NCE 得出 CEF 为等腰直角三角形，求得 EF=；二CF，再由勾股定理求得 CF 即可. 也 I 2 【解答】解：连接 CF,过点 E 作 MIN/ AD,交边 AB 于点 M,边 CD 于点 N.如图所示： 四边形 ABCD 为正方形， 可得四边形 AMND矩形， MN=AD=CD/ DNE=90 ,/ BDC=45 , DN=EN ME=CN EF丄 CE / CEF=90 , / MEFW

13、 ECN 且/ FMEW ENC90 MEFA NCE(ASA, EF=CE CEF 为等腰直角三角形, EF=卜亠C E 由勾股定理得：CF= | J | |, EF= : ：X2 =2， 2 【点评】本题考查了正方形性质、三角形全等的性质与判定、勾股定理、等腰直角 三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关 键. 六、课后作业: 1. 【考点】相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征. 【分析】根据相似三角形的判定与性质，可得 ，根据 tanB 二=；,可得 OB OC BC 0B 3 理型丈，根据待定系数法，可得答案. OC BC 3 【解答】解

14、：作 ADLx 轴于点 D,作 BCLx 轴于点 C,设 A 点坐标是（x，y） / C=Z D=90 / AOB=90， / BOCAOD=90，/ AOD OAD=90， / BOC= OAD 故答案为: D 又/ D=Z C,tanB二丄二:;, OB 3 -AD_OD_V3 CBC 3 y二ADOC X=ODBC 3 3 第一象限内的点 A 在反比例函数 y=的图象上, X xy二-Jocx 止BC=2 3 3 k=OC?BC=X3二6, 故答案为：-6. 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用了相似三角形的判定与性质, 锐角三角函数，待定系数法求函数解析式. 2. 【考点】反

15、比例函数系数 k 的几何意义. 【分析】过点 A作 AElx轴于 E,过点 C作 CF 丄x轴于 F,由 A 点的横坐标是 2,且 在双曲线 y= 4m上，求出点的坐标，得到线段的长度，利用三角形相似得到点的坐 X 标，列方程求解. 【解答】解：过点 A作 AElx轴于 E,过点 C作 CF丄x轴于 F, A 点的横坐标是 2,且在双曲线 y=4m 上, X A ( 2, 2m), ABC=90 , / ABC# CBF=/ ABC# BAC=90 , / ABC# FCB ABEA BCF _!二匚二 _L=3 耸 CF=1 BF=2m , 3 - C(- 1- 2m, 1), 3 双曲线

16、y m经过 C 点, x m=3 故选 D. 【点评】本题考查了根据函数的解析式求点的坐标，相似三角形的判定和性质，过 双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，构造直角三角形. 3. 【考点】反比例函数综合题. 【专题】综合题. 【分析】 过 D作 DMLx轴，FNx轴，RI丄 FN, RHLx轴，由 ABCD 为矩形，利用对 称性得三角形 OBC为等腰直角三角形，继而得到三角形 CDM 为等腰直角三角形，即 2m 3 =-m 两三角形相似，且相似比为 1: 2,设 OB=OC 二,则有 CM=DM=2a 表示出 D坐标，代 入反比例解析式求出 a 的值，确定出 D 坐标，得出 DMI与 0

17、M 长，利用 AAS 得到三角 形 DME与三角形 EFN 全等，利用全等三角形对应边相等得到 ME二FN DM=EN 设 F纵 坐标为 b,代入反比例解析式得到横坐标为 卫，由 OM+ME+E 表示出 ON 即为横坐标, b| 列出关于 b 的方程，求出方程的解得到 b 的值，确定出 F 坐标，得到 ON FN 的长, 同理得到三角形 RFI与三角形 RQH 全等，设 R纵坐标为 c,由 ON+N 康示出横坐标, 将 R坐标代入反比例解析式求出 c 的值，即可确定出 R坐标. 【解答】解：过 D作 DMLx轴，FNlx轴，RI 丄 FN, RHLx轴， ABCD 为矩形，A与 D 在反比例图

18、象上，且 AB=2BC / BCD=90，/ OBC= OCB=45 , / MCDZ MDC=4 , BOSACMD 且相似比为 1: 2, 设 OC=OB=,贝9 CM=DM=2aOM=OC+CM=a+2a=3a 二 D ( 3a, 2a), 将 D 坐标代入反比例 y=中得：6a =6,即 a=1, 解得：a=1 (负值舍去)， DM=2 OM=3 DEFG 为正方形, DE=EF / DEF=90 , / MDEMED=90，/ MED NEF=90 , / MDEZNEF 在厶 DMEH ENF 中， fZMDE=ZNEF ZDHE=ZEMF=90& , IDE=EF DM ENF( AAS, DM=EN=2 FN=ME 设 F (二 b),贝 9 FN二ME二b ON=OM+ME+EN=3+b+2 b 可得 5+b= ，即 b2+5b- 6=0,即(b+6) (b- 1) =0, 解得：b=1或 b=- 6 (舍去)， F ( 6, 1),即 0N=6 FN=1, 同理 RFIA RQH 设 RH=RI=NH=c 即 R (6+c, c), 将 R 坐标代入 y 二上中得：c (6+c) =6, 即 c2+6c+9二(c+3) 2=15