初三数学相似三角形典例及练习(含答案)

1、ACA DFEC FHFFACA DFEC FHFF初三数学相似三角形（一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是：1. 理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或 两线段的比，了解黄金分割。2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。相似三角形是平面几何

2、的主要内容之一， 在中考试题中时常与四边形、 圆的知识相结合 构成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在10%左右，有时也单独成题，形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。（二）重要知识点介绍：1.比例线段的有关概念：a c在比例式（a： b=c： d）中，a、d叫外项，b、c叫内项，a、c叫前项，b db、d叫后项，d叫第四比例项，如果 b=c，那么b叫做a、d的比例中项。把线段AB分成两条线段 AC和 BC,使AC=ABBC叫做把线段 AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。2.比例性质:基本性质：a cad 二 bcb d合比性质：a c a土 b c

3、d b 一 d b 一 d等比性质：a c 二二 m(b d 0)= a c m =3.b dnb dnb3. 平行线分线段成比例定理： 定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：11 / 12 / I 3。ABBCDEEFABACDF AC DF 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。 定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那 么这条直线平行于三角形的第三边。4. 相似三角形的判定： 两角对应相等，两个三角形相似 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 三边对应成比例，两三角形相似 如果一个直角三角形的斜

4、边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边 对应成比例，那么这两个直角形相似 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线） 相交，所构成的三角形与原三角形相似 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似5. 相似三角形的性质 相似三角形的对应角相等 相似三角形的对应边成比例 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 相似三角形周长的比等于相似比 相似三角形面积的比等于相似比的平方【典型例题】例1. （ 1）在比例尺是1： 8000000的中国行政区地图上，量得A、B两城市的距离是7.5厘米，那么 A B两城市的实际距离是 千米。（2）小芳的身

5、高是 1.6m，在某一时刻，她的影子长2m此刻测得某建筑物的影长是18米，则此建筑物的高是 米。解：这是两道与比例有关的题目，都比较简单。（1）应填 600（ 2）应填 14.4 。例2.如图，已知DE/ BC, EF/ AB,则下列比例式错误的是： A.AD AEAB ACC.DEBCADBD分析:B.CECFEAFBD.EFABCFCB由DE/ BC, EF/ AB可知，A、B、D都正确。而不能得到DEBCADBDACA DFEC FHFF故应选c。利用平行线分线段成比例定理及推论求解时，一定要分清谁是截线、谁是被截ACA DFEC FHFF线，C中DC很显然是两平行线段的比，因此应是利用

6、三角相似后对应边成比例这一性质来写结论，即DE AD AEBC 一 AB 一 ACACA DFEC FHFFACA DFEC FHFF例3.如图，在等边厶 ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且/ APD=60 ,2BP =1, CD，求 ABC的边长3解：/ ABC是等边三角形/ C=Z B=60又/ PDC=/ 1+Z APD玄 1+60/ APB=/ 1 + Z C=Z 1+60/ PDCZ APB PDCA APB PC _ CDAB设 PC=xPB贝U AB=BC=1+x2x=-,x = 2,1 x1 AB=1+x=3d ABC的边长为3。例4.如图：四边形 ABEG GEFH

7、 HFCD都是边长为a的正方形,*E F(1) 求证： AEFA CEA(2) 求证：Z AFB+/ ACB=45分析：因为 AEF CEA有公共角Z AEF故要证明厶AEF CEA只需证明两个三角形中，夹ZAEF Z CEA的两边对应成比例即可。证明：(1)v四边形 ABEG GEFH HFCD是正方形 AB=BE=EF=FC=a Z ABE=90AE 二、2a, EC =2aACA DFEC FHFFAEEF主=2,aAE2a.2a.AE _ EC EF _ aE又/ CEA玄 AEF CEA AEF(2)v AEFA CEA/ AFE=Z EAC四边形ABEG是正方形 AD/ BC, A

8、G=GE AG丄 GE/ ACB=/ CAD / EAG=45/ AFB+Z ACB玄 EAC+Z CAD=Z EAG/ AFB+Z ACB=45例5.已知：如图，梯形ABCD中, AD/ BC AC BD交于点O, EF经过点O且和两底平行, 交AB于E,交CD于 F求证：OE=OF证明：/ AD/ EF/ BC OEAEOEEBBC-AB,AD-ABOEOEAEEBAB+=1BCADABABAB111+BCAD-OE同理：11 1BCADOF11 OE=OFOEOF从本例的证明过程中，我们还可以得到以下重要的结论:AD丁BC_ OEOE=OFEF211 11 21 即iAD1 2ADBCO

9、EOFBCEF AD / EF / BC 二 AD / EF / BC - AD / EF / BC 二1112ACA DFEC FHFFACA DFEC FHFF这是梯形中的一个性质，由此可知，在AD BC EF中，已知任何两条线段的长度，都可以求出第三条线段的长度。例6.已知：如图， ABC中,AD丄 BC于 D, DEI AB于 E, DF丄 AC于 FACA DFEC FHFFACA DFEC FHFF求证：AE ACAF AB换，通过 ABDADE，可得:AB，同理分析：观察AE、AF、AC AB在图中的位置不宜直接通过两个三角形相似加以解决。因 此可根据图中直角三角形多，因而相似三

10、角形多的特点，可设法寻求中间量进行代 =空，于是得至U AD? = AE AD AE可得至U AD AF AC,故可得:aeAE AF AC,即-ACABACA DFEC FHFF证明：在厶ABD和 ADE中,/ ADB=/ AED=90/ BAD=/ DAE ABDA ADE.AB _ ADAD 一 AE AD=AE AB同理： ACDA ADF 可得：AD=AF AC AE - AB=AF- AC AE ACAF 一 AB例 7.如图，DABC中 BC边上的一点，/ CAD=/ B,若 AD=6 AB=8, BD=7 求 DC的长。分析：本题的图形是证明比例中项时经常使用的“公边共角”的基

11、本图形，我们可以由基本图形中得到的相似三角形，从而得到对应边成比例，从而构造出关于所求线段的方程， 使问题得以解决。解：在厶ADCn BAC中/ CAD=/ B,Z C=Z C ADCo BACAD DC AC茨一屁BC又 AD=6 AD=8 BD=7 DC _ AC _ 3AC 7 DC - 4DC 3=即AC 已知线段a=4cm, b=9cm,则线段a、b的比例中项c为cm。解得：DC=9AC _ 3、7 + DC 一 4例8.如图，在矩形 ABCD中, E是CD的中点，BEAC于F,过F作FG/ AB交AE于G,ACA DFEC FHFFACA DFEC FHFF求证：aG=AF FC证

12、明：在矩形ABCD中, AD=BC / ADC2 BCE=90又 E是CD的中点， DE=CE Rt ADE Rt BCE AE=BE/ FG/ AB AE _ AGBE 一 BF AG=BF在Rt ABC中，BF丄AC于F Rt BFC Rt AFB AF FBBF FC BF2=AF - FC aG=AF FC例9.如图，在梯形ABCD中, AD/ BC 若/ BCD的平分线CH丄AB于点H, BH=3AH且四ACA DFEC FHFF边形AHCD勺面积为21，求 HBC的面积。BCACA DFEC FHFF分析：因为问题涉及四边形 AHCD所以可构造相似三角形。把问题转化为相似三角形 的

13、面积比而加以解决。解：延长BA、CD交于点P/ CHL AB, CD平分/ BCD CB=CP 且 BH=PH/ BH=3AH PA AB=1: 2 PA PB=1 : 3AD/ BC PADA PBC PAD : S PBC=1: 9SA PCH-Is PBC6.已知三个数 1 , 2 ,3,请你添上一个数，使它能构成一个比例式，则这个数是ACA DFEC FHFFSa pad = 4 在厶ABC中，点 D E分别在边 AB AC 上, DE/ BC,如果 AD=8 DB=6 EC=9那么 AE=四边形 ahcd - 2 :7S四边形ahcd - 21-6 Sapbc=546.已知三个数 1

14、 , 2 ,3,请你添上一个数，使它能构成一个比例式，则这个数是ACA DFEC FHFF1= 2S pbc =27一、填空题a 2b 91. 已知=一，贝y a: b=2a -b 52. 若三角形三边之比为 3: 5: 7,与它相似的三角形的最长边是21cm,则其余两边之和是cm3. 如图， ABC中，D E分别是 AB AC的中点，BC=6 贝U DE=; ADE-与ABC的面积之比为： 。6.已知三个数 1 , 2 ,3,请你添上一个数，使它能构成一个比例式，则这个数是ACA DFEC FHFF7.如图，在梯形EF=ABCD中，AD/ BC, EF / BC,若 AD=12cm BC=1

15、8cm AE EB=2: 3,则ACA DFEC FHFFACA DFEC FHFF8. 如图，在梯形 ABCD中, AD/ BC / A=90, BDL CD AD=6 BC=1Q 则梯形的面积为:ACA DFEC FHFFACA DFEC FHFF二、选择题那么它们的对应高的比是1. 如果两个相似三角形对应边的比是3: 4,A. 9: 16C. 3D. 3 : 72.在比例尺为的实际面积是1: m的某市地图上,米2规划出长a厘米,宽b厘米的矩形工业园区，该园区ab3. 已知，如图,些二BE EC FC-EF -42B.DE/ BC,DEAB BC其中正确的比例式的个数是A. 4 个 B.

16、3abEF/ AB,C.智104D abm2104则下列结论:AD ABBF BCCE EACF BFC. 2个D. 1ACA DFEC FHFFA. 16B. 14C. 16 或 14D. 16 或 95. 如图，在 Rt ABC中，/ BAC=90 , D是BC的中点，AELAD,交CB的延长线于点 E, 则下列结论正确的是CA. AEDA ACBC. BAEA ACEB. AEBA ACDD. AECA DAC三、解答题:ACA DFEC FHFFACA DFEC FHFF2. 如图， ABC中，D是 AB上一点，且 AB=3AD / B=75,Z CDB=60 ,ACA DFEC FH

17、FFACA DFEC FHFF求证： ABCA CBD3. 如图，BE%A ABC的外接圆 O的直径，ABC的高,AACA DFEC FHFFACA DFEC FHFF求证：AC- BC=BE- CD如图，Rt ABC中，/ ACB=90 , AD平分/ CAB交 BC于点 D,过点 C作 CEL ADACA DFEC FHFF于E, CE的延长线交 AB于点F,过点E作EG/ BC交AB于点G AE-AD=16 AB= 4一 5 ,ACA DFEC FHFFACA DFEC FHFF(1) 求证：CE=EF(2) 求EG的长一、填空题：1. 19: 132. 24参考答案3. 3 ； 1 :

18、 44. 65. 126.只要是使得其中两个数的比值等于另外两个数的比值即可，如:2.2、等。7. 14.48. 16 J6、选择题：1. C 2. D 3. B4. D 5. CACA DFEC FHFFACA DFEC FHFF三、解答题：1. 解: / AD/ EG/ BCEG = AE在厶 ABC中，有 BC ABEF BE在厶ABD中,有AD AB/ AE: AB=2: 3 BE: AB=1: 321EG BC, EF AD33/ BC=9, AD=6 EG=6 EF=2 GF=EG- EF=42. 解：过点B作BEX CD于点E,/ CDB=60，/ CBD=75 / DBE=30 ,/ CBE=/ CBD-Z DBE=75 30 =45 CBE是等腰直角三角形。/ AB=3AD 设 AD=k 贝U AB=3k, BD=2kDE=k, BE 二 3kACA DFEC FHFF BD2k2BC-、6k=3，BC6k、2AB -3k -3 BDBCBCAB AB3A CBD3. 连结EC,r c BC = BC/ E=Z A又 BE是O O的直径/ BCE