两个等边三角形

1、菁优网两个等边三角形 一解答题（共17小题）1已知：如图，DAC、EBC均是等边三角形，点A、C、B在同一条直线上，且AE、BD分别与CD、CE交于点M、N求证：（1）AE=DB；（2）CMN为等边三角形2如图，已知DAC和ECB是两个大小不同的等边三角形，点A、C、B在同一直线上，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N（1）试说明：ACEDCB；（2）连接MN，则MNAB，请说明理由3如图所示，AB上有一点C，分别以AC、BC为边在AB同一侧作等边三角形ACD和CBE，连接AE、BD，分别交CD、CE于P、Q两点求证：CPQ是等边三角形4如图ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使C

2、E=CD求证：DB=DE5如图，ABC和ECD都是等边三角形，EBC可以看作是DAC经过什么图形变换得到的？说明理由6在ABC中，BAC与ABC的角平分线AE、BE相交于点E，延长AE交ABC的外接圆于D点，连接BD、CD、CE，且BDA=60°求证：BDE是等边三角形；若BDC=120°，猜想BDCE是怎样的四边形，并证明你的猜想；在的条件下当CE=4时，求四边形ABDC的面积7已知，如图，点C在线段AB上，在AB的同旁作等边ADC和等边BCE，连接AE、BD交CD、CE于M、N，（1）求证：AE=BD；（2）求证：CMN为等边三角形；（3）如果把BEC绕着C点旋转任意角

3、度，上述结论中哪些成立？试说明理由8如图，DAC和EBC都是等边三角形，AE，BD分别与CD，CE交于点M，N（1）证明：ACEDCB（2）在两组线段：CM与CN；AC与DN中，有相等的线段吗？（只须写出结论，不须证明）9已知如图ABC和DCE都为等边三角形，AE交CD于点N，BD交AC于点M求证：AE=BD连接MN，图中还有等边三角形吗？如有，请证明10如图，点B、C、E不在同一条直线上，BCE=150°，以BC、CE为边作等边三角形，连接BD、AE（1）试说明BD=AE；（2）ACE能否由BCD绕C点按顺时针方向旋转而得到？若能，指出旋转度数；若不能，请说明理由11如图：ABC和

4、ADE是等边三角形证明：BD=CE12如图，已知等边三角形ABC在BC的延长线上取一点E，以CE为边作等边三角形DCE（ABC与DCE在同一侧）连接AE、BD点M是BD的中点，点N是AE的中点（1）在图中找出两对可以通过旋转而相互得到的三角形，并指出旋转中心及旋转角度数（2）CMN是什么三角形？为什么？13严先生能言善辨，他说，他能证明图中的直角等于钝角请你仔细审阅他的证明过程，指出错误所在如图，分别作AB、CD的垂直平分线ME、NE，两线相交于点E连接AE、BE、CE和DE，那么根据垂直平分线的性质，得到AE=BE，CE=DE又可得AC=BD，所以EACEBD，由此得EAC=EBD另一方面，

5、在EAB中，从AE=BE，得到EAB=EBA，将以上两式相减，最后得到BAC=ABD即：直角等于钝角！14如图，已知ABC和BDE都是等边三角形，求证：AE=CD15如图，ABC是等边三角形，D为AB边上的一点，连接CD，以CD为一边在点A的一侧作等边CDE，连接AE，设DE与AC相交于点F（1）写出图中所有的相似三角形；（2）AE与BC的位置关系是什么，证明你的结论；（3）若BC=6，CE=4，求AC的长16阅读下面的情景对话，然后解答问题：老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形小华：等边三角形一定是奇异三角形！小明：那直角三角形中是否存在奇异三角形

6、呢？问题（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的猜想：“等边三角形一定是奇异三角形”是否正确？问题（2）在RtABC中，ACB=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且ba，若RtABC是奇异三角形，求a：b：c；问题（3）如图，以AB为斜边分别在AB的两侧作直角三角形，且AD=BD，若四边形ADBC内存在点E，使得AE=AD，CB=CE求证：ACE是奇异三角形；当ACE是直角三角形时，求DBC的度数17如图，已知ABC和DCE都是等边三角形（三边都相等，三个角都是60°），且B，C，E在同一直线上，连接BD交AC于点G，连接AE交CD于点H（1）图中哪些三角形可

7、以通过旋转而得到？挑选其中的一对三角形，指出旋转中心及旋转角度；（2）若点M，N分别为AE，BD的中点，连CM，CN，根据旋转有关知识，你能说明CNM是什么三角形吗？为什么？二选择题（共7小题）18（2006天津）如图，A、C、B三点在同一条直线上，DAC和EBC都是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：ACEDCB；CM=CN；AC=DN其中，正确结论的个数是（）A3个B2个C1个D0个19如图，DAC和EBC都是等边三角形，AE、BD分别与CE、CE交于点M、N有如下结论：ACEDCB，CM=CN，AC=DN，BN=EM其中正确结论的个数有（）A1个B2个C3个D

8、4个20如图所示，ABC与BDE都是等边三角形，ABBD若ABC不动，将BDE绕点B旋转，则在旋转过程中，AE与CD的大小关系为（）AAE=CDBAECDCAECDD无法确定21如图，ABC和ADE都是等腰直角三角形，AB=AC，AD=AE，BAC=DAE，四边形ACDE是平行四边形，连接CE交AD于点F，连接BD交 CE于点G，连接BE下列结论中：CE=BD； ADC是等腰三角形；CGD+DAE=180°； CDAE=EFCG一定正确的结论有（）A1个B2个C3个D4个22如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，在CD上取一点E，使AE=AB，则EBC的度数为（）A30°B

9、15°C45°D不能确定23（2010嘉兴）如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为斜边并且在AB的同一侧作等腰直角ACD和BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，给出以下三个结论：MNAB；=+；MNAB，其中正确结论的个数是（）A0B1C2D324（2010黑河）如图所示，已知ABC和DCE均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，AE与BD与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC，FG，其中正确结论的个数是（）AE=BD；AG=BF；FGBE；BOC=EOCA1个B2个C3个D4个三填空题（共6小题）25

10、如图，DAC和EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：ACEDCB；CM=CN；AC=DN；DAE=DBC其中正确的有_（填番号）26如图，C是线段BD上一点，分别以BC、CD为边长的BD同侧作等边三角形BCA和等边三角形CDE，连接BE、AD，分别交AC于M，交CE于N，若CM=x，则CN=_27（2006嘉峪关）ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且AE=CD=BF，则DEF为_三角形28如图，C为线段BD上一点，BC=3，CD=2，ABC、ECD都为等边三角形，AD交CE于F，则DFE与ACF周长的比是_29下列说法：如图1，ABC

11、中，AB=AC，A=45°，则ABC能被一条直线分成两个小等腰三角形如图2，ABC中，AB=AC，A=36°，BD，CE分别为ABC，ACB的角平分线，且相交于点F，则图中等腰三角形有6个如图3，ABC是等边三角形，CDAD，且ADBC，则AD=AB如图4，ABC中，点E是AC上一点，且AE=AB，连接BE并延长至点D，使AD=AC，DAC=CAB，则DBC=DAB其中，正确的有_（请写序号，错选少选均不得分）30已知：如图分别以ABC的每一条边，在三角形外作等边三角形，ABD、BCE、ACF，则CD=AE=BF（_）答案与评分标准一解答题（共17小题）1已知：如图，DAC

12、、EBC均是等边三角形，点A、C、B在同一条直线上，且AE、BD分别与CD、CE交于点M、N求证：（1）AE=DB；（2）CMN为等边三角形考点：等边三角形的判定与性质；三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质。专题：证明题。分析：（1）根据DAC、EBC均是等边三角形，求证ACEDCB（SAS）即可得出结论（2）由（1）可知：ACEDCB，和DAC、EBC均是等边三角形，求证ACMDCN（ASA）即可得出结论解答：证明：（1）DAC、EBC均是等边三角形，AC=DC，EC=BC，ACD=BCE=60°，ACD+DCE=BCE+DCE，即ACE=DCB在ACE和DCB中，ACEDCB

13、（SAS）AE=DB（2）由（1）可知：ACEDCB，CAE=CDB，即CAM=CDNDAC、EBC均是等边三角形，AC=DC，ACM=BCE=60°又点A、C、B在同一条直线上，DCE=180°ACDBCE=180°60°60°=60°，即DCN=60°ACM=DCN在ACM和DCN中，ACMDCN（ASA）CM=CN又DCN=60°，CMN为等边三角形点评：此题主要考查学生对等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识点的理解和掌握，此题难度不大，但是步骤繁琐，属于中档题2如图，已知D

14、AC和ECB是两个大小不同的等边三角形，点A、C、B在同一直线上，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N（1）试说明：ACEDCB；（2）连接MN，则MNAB，请说明理由考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质。专题：证明题；数形结合。分析：（1）欲证三角形全等，利用全等的条件进行判定即可；因为DAC和ECB均为等边三角形，即有ACD=ECB=60°，即ACD+DCN=ECB+DCN，即可得出ACE=DCB，再利用边的关系，即可得正ACEDCB（SAS）；（2）由（1）可知，ACEDCB（SAS），即有MEC=NBC，从而可得MCN=60°，又因为MCN=ECB，且E

15、C=CB，即证MCENCB从而可推出，即有CNM+CAN=120°，即证MNAB解答：解：（1）ACD=ECB=60°，ACD+DCN=ECB+DCN，ACE=DCB，AC=DC，EC=BC，ACEDCB（SAS）（2）ACEDCB（SAS），MEC=NBC，MCN=180°ACDECB=60°，MCN=ECB，EC=CB，MEC=NBCMCENCB，MC=NC，CNM=60°，CNM+CAN=120°，MNAB点评：本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质，属于中等题目，要求学生具备一定的几何知识和解题能力3如图所示，

16、AB上有一点C，分别以AC、BC为边在AB同一侧作等边三角形ACD和CBE，连接AE、BD，分别交CD、CE于P、Q两点求证：CPQ是等边三角形考点：平行线分线段成比例；等边三角形的判定与性质。专题：证明题。分析：先根据等边三角形的每一个角都是60°，根据同位角相等，两直线平行求出ADCE，然后根据平行线分线段成比例定理得到=，同理可得CDBE，=，再根据等边三角形的边长相等，推出=，得到PQAB，根据两直线平行，内错角相等得到CPQ=ACP=CQP=BCE=60°，PCQ=180°ACDBCE=180°60°60°=60°

17、，从而得出CPQ是等边三角形解答：证明：ACD和CBE都是等边三角形，AD=CD，CE=BE，DAC=BCE=60°，ADCE，=，同理可得，CDBE，=，=，PQAB，CPQ=ACP，CQP=BCE，等边三角形的角都是60°，即ACD=60°，BCE=60°，CPQ=CQP=60°，又PCQ=180°ACDBCE=180°60°60°=60°，CPQ是等边三角形点评：本题主要考查了平行线分线段成比例定理，平行线的性质，等边三角形的性质与判定，利用等边三角形的三边相等与每个角都是60°

18、，进行等量代换是解题的关键4如图ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD求证：DB=DE考点：等边三角形的性质；三角形的外角性质。专题：证明题。分析：根据等边三角形的性质得到ABC=ACB=60°，DBC=30°，再根据角之间的关系求得DBC=CED，根据等角对等边即可得到DB=DE解答：证明：ABC是等边三角形，BD是中线，ABC=ACB=60°DBC=30°（等腰三角形三线合一）又CE=CD，CDE=CED又BCD=CDE+CED，CDE=CED=BCD=30°DBC=DECDB=DE（等角对等边）点评：此题主要考查学生对

19、等边三角形的性质及三角形外角的性质的理解及运用；利用三角形外角的性质得到CDE=30°是正确解答本题的关键5如图，ABC和ECD都是等边三角形，EBC可以看作是DAC经过什么图形变换得到的？说明理由考点：等边三角形的性质；坐标与图形变化-旋转。分析：EBC与DAC全等，CDA可绕点C逆时针旋转得到EBC解答：解：ECD是等边三角形CD=CE，DCE=60°同理CA=CB，ACB=60°以点C为旋转中心将DAC逆时针旋转60°就得到EBC点评：两个三角形全等，可以看作是一个三角形通过某种变换得到另一个三角形6在ABC中，BAC与ABC的角平分线AE、BE相

20、交于点E，延长AE交ABC的外接圆于D点，连接BD、CD、CE，且BDA=60°求证：BDE是等边三角形；若BDC=120°，猜想BDCE是怎样的四边形，并证明你的猜想；在的条件下当CE=4时，求四边形ABDC的面积考点：等边三角形的判定；菱形的判定与性质；圆周角定理。专题：证明题；探究型。分析：由等弧所对圆周角可得BCA=BDA=60°，显然BAC+ABC=120°，由两条角平分线和三角形的外角性质，可得到BED=60°，由此得证由BDE是等边三角形，可以得出BC垂直平分DE，从而证得CDE为等边三角形，解决第二个问题由第二个问题的结论，利用

21、菱形面积等于对角线乘积的一半解决第三个问题解答：证明：如图，在圆中ACB=BDA=60°，ABC+BAC=120°，又AE、BE是BAC与ABC的角平分线，BED=ABE+BAE=（ABC+BAC）=60°，BDE是等边三角形四边形BDCE是菱形证明：BDC=120°，BDA=60°，ABC=ADC=60°BE是ABC的角平分线，BDE是等边三角形，BF平分EBD，且BC垂直平分DE，BDF=CDF，BFD=CFD，DF=DF，BFDCFD，BF=CF，DE垂直平分BC，因此四边形BDCE是菱形解：由ABC=ADC=60°，

22、ACB=ADB=60°，AE是BAC的角平分线，可得CAD=30°，AD为圆的直径，CD=CE=4，AD=2CD=8，AC=4因此S四边形ABDC=2×（4×4×）=16点评：此题主要考查等边三角形的判定，菱形的判定及三角形面积的有关计算7已知，如图，点C在线段AB上，在AB的同旁作等边ADC和等边BCE，连接AE、BD交CD、CE于M、N，（1）求证：AE=BD；（2）求证：CMN为等边三角形；（3）如果把BEC绕着C点旋转任意角度，上述结论中哪些成立？试说明理由考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。专题：证明题。分析：（1）根据等

23、边三角形性质推出AC=CD，BC=CE，DCA=ECB=60°，求出ACE=DCB，根据SAS证ACEDCB即可；（2）求出ECD=60°，推出AEC=DBC，证EMCBNC，推出CN=CM即可（3）结论（1）正确，根据（1）的推理过程即可得出答案解答：（1）证明：等边ADC和BCE，AC=CD，BC=CE，DCA=ECB=60°，DCA+DCE=ECB+DCE，ACE=DCB，在ACE和DCB中，ACEDCB，AE=BD（2）证明：ACEDCB，DBC=AEC，DCE=180°ACDBCE=60°=BCE，在EMC和BNC中，EMCBNC，C

24、M=CN，MCN=60°，CMN是等边三角形（3）结论（1）成立，理由是：不论旋转多少度，AC=CD，BC=CE，DCA=ECB=60°，推出ACE=BCD，ACEDCB，AE=BD点评：本题考查了对全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定的应用，主要培养学生运用性质进行推理的能力8如图，DAC和EBC都是等边三角形，AE，BD分别与CD，CE交于点M，N（1）证明：ACEDCB（2）在两组线段：CM与CN；AC与DN中，有相等的线段吗？（只须写出结论，不须证明）考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。专题：证明题。分析：（1）根据等边三角形的性质可知AC=D

25、C，CE=CB，由ACE=60°+DCE，DCE=60°+DCE可得ACE=DCB，根据全等三角形的判定SAS可证得ACEDCB；（2）根据全等三角形全等的判定可证得ACMDCN，即可得CM=CN，AM=DN解答：解：（1）在ACE和DCB中，AC=DC，CE=CB，（等边三角形）又ACE=60°+DCE，DCE=60°+DCE即ACE=DCB，ACEDCB（SAS）；（8分）（2）相等的线段只有CM=CN（2分）点评：本题主要考查了全等三角形的判定的性质，涉及到全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形全等的判定是解题的关键9已知如图ABC和DCE都为等边三

26、角形，AE交CD于点N，BD交AC于点M求证：AE=BD连接MN，图中还有等边三角形吗？如有，请证明考点：等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。分析：根据等边三角形边长相等的性质和各内角为60°的性质可求得BCDACE，根据全等三角形对应边相等的性质即可求得AE=BD；根据全等三角形全等的判定可证得DCMECN，即可得CM=CN，又MCN=60°，所以可判定NCM是等边三角形解答：证明：ABC和DEC都是等边三角形AC=BC，CD=CE，ACB=DCE=60°，ACE=ACD+ACB，BCD=DCE+DCA，ACE=BCD，BCDACE（SAS），AE=

27、BD；解：NCM是等边三角形证明：BCDACE，MDC=CEN，ACB=60°，DCE=60°，MCD=60°，CD=CE，DCMECN（ASA）DCMECN，CM=CN，又MCD=60°，NCM是等边三角形点评：本题考查了全等三角形的证明和全等三角形对应边相等的性质，考查了等边三角形各内角为60°、各边长相等的性质，本题中求证BCDACE是解题的关键10如图，点B、C、E不在同一条直线上，BCE=150°，以BC、CE为边作等边三角形，连接BD、AE（1）试说明BD=AE；（2）ACE能否由BCD绕C点按顺时针方向旋转而得到？若能，

28、指出旋转度数；若不能，请说明理由考点：旋转的性质；全等三角形的性质；全等三角形的判定。分析：（1）根据“SAS”判断ACEBCD，可证BD=AE；（2）观察两个全等三角形的旋转关系，确定旋转角解答：（1）证明：ACE=ACD+DCE=ACD+60°=ACD+BCA=BCD，AC=BC，CE=CD，ACEBCD（SAS）（2）解：因为旋转角BAC=60°，所以，ACE能由BCD绕C点按顺时针方向旋转而得到，旋转度数为60°点评：本题考查了三角形全等的判断方法、旋转的判断和性质，要注意旋转定义的应用11如图：ABC和ADE是等边三角形证明：BD=CE考点：等边三角形的

29、性质；全等三角形的判定与性质。专题：证明题。分析：根据等边三角形的性质可得到两组边对应相等，一组角相等，从而利用SAS判定两三角形全等，根据全等三角形的对应边相等即可得到BD=CE解答：解：ABC和ADE是等边三角形，AB=AC，AD=AE，BAC=DAE=60°BAD=CAEBADCAEBD=CE点评：此题考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质；证明线段相等常常通过三角形全等进行解决，全等的证明是正确解答本题的关键12如图，已知等边三角形ABC在BC的延长线上取一点E，以CE为边作等边三角形DCE（ABC与DCE在同一侧）连接AE、BD点M是BD的中点，点N是AE的中点（1

30、）在图中找出两对可以通过旋转而相互得到的三角形，并指出旋转中心及旋转角度数（2）CMN是什么三角形？为什么？考点：旋转的性质；等边三角形的判定与性质。分析：（1）根据题目提供的两个等边三角形可以得到BCD绕点C顺时针旋转60°得到ACE；BCM绕点C顺时针旋转60°得到ACN；（2）由旋转的性质可知，CM=CN，BCM=ACN，因为BCM+ACM=60°，所以ACM+ACN=60°，所以MCN=60°，所以CMN是等边三角形解答：解：（1）BCD绕点C顺时针旋转60°得到ACE；BCM绕点C顺时针旋转60°得到ACN；（2）

31、CMN是等边三角形；BCM绕点C顺时针旋转60°得到ACN；由旋转的性质可知：CM=CN，BCM=ACN，BCM+ACM=60°，ACM+ACN=60°，MCN=60°，CMN是等边三角形点评：本题考查了等边三角形的判定及性质和旋转的知识，解题的关键是弄清旋转的不变性得到不变量13严先生能言善辨，他说，他能证明图中的直角等于钝角请你仔细审阅他的证明过程，指出错误所在如图，分别作AB、CD的垂直平分线ME、NE，两线相交于点E连接AE、BE、CE和DE，那么根据垂直平分线的性质，得到AE=BE，CE=DE又可得AC=BD，所以EACEBD，由此得EAC=E

32、BD另一方面，在EAB中，从AE=BE，得到EAB=EBA，将以上两式相减，最后得到BAC=ABD即：直角等于钝角！考点：线段垂直平分线的性质。专题：阅读型。分析：根据图形可知，AC，BD不一定相等细致分析即可看出错误所在解答：解：AE=BE，CE=DE又可得AC=BD，这步骤是错误的，得出AC=BD无根据，所以以下的证明以此为依据的步骤都是错误的点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识要注意证明的每一个步骤都需要依据，无依据的步骤是错误的14如图，已知ABC和BDE都是等边三角形，求证：AE=CD考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质。专题：证明题。分析：根据等边三角形各边

33、长相等的性质，可得AB=BC，BE=BD，根据等边三角形各内角为60°可得ABE=DBE，进而求证ABECBD（SAS），即可求得AE=CD解答：证明：ABC是等边三角形，AB=BC，ABE=60°又BDE是等边三角形，BE=BD，DBE=60°，ABE=DBE，在ABE和CBD中，ABECBD（SAS），AE=CD点评：本题考查了全等三角形的证明，全等三角形对应边相等的性质，等边三角形各内角为60°的性质，本题中求证ABECBD（SAS）是解题的关键15如图，ABC是等边三角形，D为AB边上的一点，连接CD，以CD为一边在点A的一侧作等边CDE，连接A

34、E，设DE与AC相交于点F（1）写出图中所有的相似三角形；（2）AE与BC的位置关系是什么，证明你的结论；（3）若BC=6，CE=4，求AC的长考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。分析：（1）只要求写出相似的三角形，不必写出求证过程，根据相似三角形的判定定理，两个等边三角形的三个角分别相等，可推出ABCEDC，根据对应角相等推出BDCEFCAFD，根据全等三角形的判定定理SAST推出AECBDC，即可推出BDCAECEFCAFD，还有一组是CAE=B=60°，再加上有一组对顶角，可以推出AFEDFC；（2）通过全等三角形的判定定理SAS得出AECB

35、DC，所以CAE=B=ACB=60°，根据内错角相等，两直线平行，判定AEBC；（3）通过ABC是等边三角形可以推出其三边相等，很很容易即可得出AC的长度解答：解：（1）ABCEDC，BDCAECEFCAFD，AFEDFC；（2）AEBC，证明：ABC和EDC都是等腰三角形，BC=AC，DC=EC，ACB=ECD=60°，BCD=ACE，BCDACE，CAE=B=60°，ACB=60°，AEBC；（3）ABC是等边三角形，BC=6，AC=6点评：本题主要考查相似三角形的判定定理及有关性质的运用，关键在于根据图中两个等边三角形，找出相关的相等关系，然后结合

36、已知条件，证明结论16阅读下面的情景对话，然后解答问题：老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形小华：等边三角形一定是奇异三角形！小明：那直角三角形中是否存在奇异三角形呢？问题（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的猜想：“等边三角形一定是奇异三角形”是否正确？问题（2）在RtABC中，ACB=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且ba，若RtABC是奇异三角形，求a：b：c；问题（3）如图，以AB为斜边分别在AB的两侧作直角三角形，且AD=BD，若四边形ADBC内存在点E，使得AE=AD，CB=CE求证：ACE是奇异三角形；当AC

37、E是直角三角形时，求DBC的度数考点：等边三角形的性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质。专题：阅读型；新定义。分析：（1）根据“奇异三角形”的定义与等边三角形的性质，求证即可；（2）根据勾股定理与奇异三角形的性质，可得a2+b2=c2与a2+c2=2b2，用a表示出b与c，即可求得答案；（3）AB是O的直径，即可求得ACB=ADB=90°，然后利用勾股定理与圆的性质即可证得；利用（2）中的结论，分别从AC：AE：CE=1：与AC：AE：CE=：1去分析，即可求得结果解答：解：（1）设等边三角形的一边为a，则a2+a2=2a2，符合奇异三角形”的定义正确；（2）C=90°

38、，则a2+b2=c2，RtABC是奇异三角形，且ba，a2+c2=2b2，由得：b=a，c=a，a：b：c=1：；（3）以AB为斜边分别在AB的两侧作直角三角形，利用直角三角形外接圆直径就是斜边，AB是O的直径，ACB=ADB=90°，在RtACB中，AC2+BC2=AB2，在RtADB中，AD2+BD2=AB2，点D是半圆的中点，=，AD=BD，AB2=AD2+BD2=2AD2，AC2+CB2=2AD2，又CB=CE，AE=AD，AC2+CE2=2AE2，ACE是奇异三角形；由可得ACE是奇异三角形，AC2+CE2=2AE2，当ACE是直角三角形时，由（2）得：AC：AE：CE=1

39、：或AC：AE：CE=：1，当AC：AE：CE=1：时，AC：CE=1：，即AC：CB=1：，ACB=90°，ABC=30°，AD=BD，ADB=90°，ABD=45°，DBC=ABC+ABD=75°，当AC：AE：CE=：1时，AC：CE=：1，即AC：CB=：1，ACB=90°，ABC=60°，AD=BD，ADB=90°，DBC=ABC+ABD=105°，DBC=105°或DBC=75°点评：此题考查了新定义的知识，勾股定理以及圆的性质，三角函数等知识解题的关键是理解题意，抓住数形

40、结合思想的应用17如图，已知ABC和DCE都是等边三角形（三边都相等，三个角都是60°），且B，C，E在同一直线上，连接BD交AC于点G，连接AE交CD于点H（1）图中哪些三角形可以通过旋转而得到？挑选其中的一对三角形，指出旋转中心及旋转角度；（2）若点M，N分别为AE，BD的中点，连CM，CN，根据旋转有关知识，你能说明CNM是什么三角形吗？为什么？考点：旋转的性质；等边三角形的性质。分析：（1）通过已知ABC和DCE都是等边三角形，及公共顶点C，可把图形理解为三角形旋转，本题可以找出三对通过旋转得到的三角形；（2）三角形旋转，也会带动对应边上的中线的旋转，从而可证明CNM是等边三

41、角形解答：解：（1）BCD和ACE，BCG和ACH，GCD和HCE，在BCD和ACE中，旋转中心为点C，旋转角度60°；（2）CNM是等边三角形，理由：CN，CM是BCD和ACE的对应边上中线，也是这两个三角形旋转的对应边，由于旋转角为60°，CM=CN，MCN=60°，CNM是等边三角形点评：本题考查旋转的性质，旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变二选择题（共7小题）18（2006天津）如图，A、C、B三点在同一条直线上，DAC和EBC都是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：ACEDCB；CM=CN；AC=

42、DN其中，正确结论的个数是（）A3个B2个C1个D0个考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质。分析：根据等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质采用排除法对各个结论进行分析从而得出答案解答：解：DAC和EBC都是等边三角形AC=CD，CE=BC，ACD=ECB=60°ACE=DCBACEDCB（SAS）（正确）AEC=DBCDCE+ACD+ECB=180°，ACD=ECB=60°DCE=ECB=60°CE=BC，DCE=ECB=60°，AEC=DBCEMCBNC（ASA）CM=CN（正确）AC=DC 在DNC中，DC所对的角为DNC=N

43、CB+NBC=60°+NBC60°，而DN所对的角为60°，根据三角形中等边对等角、大边对大角，小边对小角的规律，则DCDN，即是ACDN，所以错误，所以正确的结论有两个故选B点评：考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定方法，要求学生做题时要能灵活运用19如图，DAC和EBC都是等边三角形，AE、BD分别与CE、CE交于点M、N有如下结论：ACEDCB，CM=CN，AC=DN，BN=EM其中正确结论的个数有（）A1个B2个C3个D4个考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。专题：推理填空题。分析：利用边角边即可证明ACE与DCB全等，然后根据全等三角形对

44、应角相等可得CAM=CDN，再利用角边角证明ACM与DCN全等，根据全等三角形对应边相等可得CM=CN，DN=AM，同理可证明BCN与ECM全等，根据全等三角形对应边相等可得BN=EM，从而得解解答：解：DAC和EBC都是等边三角形，ACD=BCE=60°，ACE=DCB=120°，在ACE与DCB中，ACEDCB（SAS），故小题正确；CAM=CDN，在ACM与DCN中，ACMDCN（ASA），CM=CN，故小题正确；DN=AM，在AMC中，ACAM，ACDN，故小题错误；同理可证：BCNECM，BN=EM，故小题正确综上所述，共3个正确故选C点评：本题考查了全等三角形的

45、判定与性质，等边三角形的性质，找出三角形全等的条件，从而证明三角形全等是解题的关键20如图所示，ABC与BDE都是等边三角形，ABBD若ABC不动，将BDE绕点B旋转，则在旋转过程中，AE与CD的大小关系为（）AAE=CDBAECDCAECDD无法确定考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。分析：本题可通过证ABE和CBD全等，来得出AE=CD的结论两三角形中，已知了AB=BC、BE=BD，因此关键是证得ABE=CBD；由于ABC和BED都是等边三角形，因此EBD=ABC=60°，即ABE=CBD=120°，由此可得证解答：解：ABC与BDE都是等边三角形，AB=B

46、C，BE=BD，ABC=EBD=60°；ABE=CBD=120°；ABECBD；AE=CD故选A点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，当出现两个等边三角形时，一般要利用等边三角形的边和角从中找到一对全等三角形21如图，ABC和ADE都是等腰直角三角形，AB=AC，AD=AE，BAC=DAE，四边形ACDE是平行四边形，连接CE交AD于点F，连接BD交 CE于点G，连接BE下列结论中：CE=BD； ADC是等腰三角形；CGD+DAE=180°； CDAE=EFCG一定正确的结论有（）A1个B2个C3个D4个考点：平行四边形的性质；等腰三角形的判定

47、与性质；相似三角形的判定与性质。分析：利用SAS证明BADCAE，可得到CE=BD；利用平行四边形的性质可得AE=CD，再结合ADE是等腰直角三角形可得到ADC是等腰直角三角形；利用BADCAE，BAEBAD，得出CAEBAE，可得到CGD+DAE=180°；利用得出GFD=AFE，以及GDF+GFD=90°，进而得出CGDEAF，得出比例式解答：解：BAC=DAE=90°，BAC+DAC=DAE+DAC，即：BAD=CAE，ABC和ADE都是等腰直角三角形，AB=AC，AE=AD，BADCAE（SAS），CE=BD，故正确；四边形ACDE是平行四边形，EAD=A

48、DC=90°，AE=CD，ADE都是等腰直角三角形，AE=AD，AD=CD，ADC是等腰直角三角形，正确；BADCAE，BAEBAD，CAEBAE，BEA=AEC=BDA，AEF+AFE=90°，AFE+BEA=90°，GFD=AFE，GDF+GFD=90°，CGD=90°，FAE=90°，GCD=AEF，CGDEAF，CDAE=EFCG故正确，由得CGD=90°，DAE=90°，CGD+DAE=180°故正确；故正确的有4个故选D点评：此题主要考查了全等三角形的判定及性质，以及相似三角形的判定，注意细心

49、分析，熟练应用全等三角形的判定以及相似三角形的判定是解决问题的关键22如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，在CD上取一点E，使AE=AB，则EBC的度数为（）A30°B15°C45°D不能确定考点：含30度角的直角三角形；矩形的性质。专题：计算题。分析：先作EFAB，再根据矩形和直角三角形的性质，进行做题解答：解：作EFAB于F，则EF=BC，又AB=2BC，AE=AB，AE=2EF，EAF=30°，ABE=AEB=75°，EBC=90°75°=15°故选B点评：本题考查了解直角三角形，矩形的性质以及直角三角形的

50、性质，是基础知识比较简单23（2010嘉兴）如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为斜边并且在AB的同一侧作等腰直角ACD和BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，给出以下三个结论：MNAB；=+；MNAB，其中正确结论的个数是（）A0B1C2D3考点：相似三角形的判定与性质；平行线分线段成比例。分析：（1）用平行线分线段成比例定理；（2）根据相似三角形的性质，化简分式可得；（3）要利用二次函数最值即可求解解答：解：（1）CDBE，CNDENB，CEAD，AMDEMC，等腰直角ACD和BCE，CD=AD，BE=CE，MNAB；（2）CDBE，CNDENB，

51、设=k，则CN=kNE，DN=kNB，MNAB，=，=，+=1，=+；（3）=+，MN=，设AB=a（常数），AC=x，则MN=x（ax）=（xa）2+aa点评：此题考查了三角形相似的判定与性质、平行线分线段成比例定理、比例变形及二次函数的应用24（2010黑河）如图所示，已知ABC和DCE均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，AE与BD与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC，FG，其中正确结论的个数是（）AE=BD；AG=BF；FGBE；BOC=EOCA1个B2个C3个D4个考点：圆周角定理；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；平行线分线段成比例。专题：几何综合题。分析：根据题意，结合图形，对选项一一求证，判定正确选项解答：解：（1）ABC和DCE均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，AC=BC，EC=DC，ACE=BCD=120°BCDECAAE=BD，故结论正确；（2）BCDECA，GAC=FBC，又ACG=BCF=60°，AC=BCACGBCF，AG=BF，故结论正确；（3）DCE=ABC=60°，DCAB，ACB=DEC=60°，DEAC，=，FGBE，故结论正确；（4）BCDECA，GAC=FBC，A，B，C，O四点共圆，由圆周角定理可得BOC=BA