北京市高考数学压轴卷理(含解析)(一)

1、北京市高考压轴卷理科数学-11 -、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的x1.已知 1 yi ,其中x, y是实数,1 iA. 1 2i B . 1 2ii是虚数单位，则x yi的共轲复数为(2.已知函数f (x)3x x , x，x2,x3R ,且 x1x2f(x1)f(x2)f(x3)的值为()A.正 B. 负 C. 零 D.可正可负3.已知某几何体的三视图如下，则该几何体体积为(恻视图A. 4+5B .4+3-C224.如图所示为函数f(x) 2sin( x )(0,0离为5,那么f( 1)().4+ D . 4+-)的部分图像，

2、其中 A, B两点之间的距 2A.-1B.J3C.3D.15 .(5分)已知两条不重合的直线mn和两个不重合的平面a、3,有下列命题:若mLn,mila,则nIIa;若mLa,n±3,m/n,贝Ua/3；若mn是两条异面直线，ma,n3,m/3,n/a,则a/3；若aA3=mln3,nm,贝Un±a.其中正确命题的个数是()B. 2C. 3D. 46 .设函数5)是定义在(e°)上的可导函数，其导函数为方，且有2j(.©S",则不等式(门2门4)52014)-”(-2)。的解集为A.-B.（-2012,。）c,（tz-2016）d.（-2016

3、Q）7.已知 F 1（c,0）,F2（c,0）为椭圆2 K 2 a2匕二1的两个焦点, b2P为椭圆上一点且ff ；二c ?，则此椭圆离心率的取值范围是()8 .已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x),且xC0,1时，f二11!则方程f(k)二|k|-1在区间-3,3上的根的个数为()A.5B.4C.3D.2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡的相应位置.A229 .已知集合Aa,a1,3,Ba3,2a1,a1,若AIB3则实数a的值为10 .已知如图所示的流程图(未完成)，设当箭头a指向时输出的结果s=成当箭头a指向时，输出的结果S=n,求

4、m+n的值.开胤j=r+l11 .若Sn是等差数列an的前n项和，且SgS320,则S11的值为.12 .(正+料)12展开式中有理项共有项.213 .在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)的图象交于P、Q两点,x则线段PQ长的最小值是14 .设aeR,若x>0时均有(a1)x-1(x2ax1)>0,贝Ua=.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.15 .已知向量m(V3sinx,1),n(cos-,cos2-).记f(x)mn444(I)求f(x)的周期；(n)在ABC中，角A、B、C的对

5、边分别是a、b、c,且满足(2ac)C0SB=bC0SC,若13,.f(A)，试判断ABC的形状.216 .在一次某班42名学生参加课外篮球、排球兴趣小组(每人参加且只参加一个兴趣小组)情况调查中，经统计得到如下2X2列联表：(单位：人)篮球排球总计男同学16622女同学81220总计241842(I)据此判断是否有95%勺把握认为参加“篮球小组”或“排球小组”与性别有关？(n)在统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从两个兴趣小组中随机抽取7名同学进行座谈.已知甲、乙、丙三人都参加“排球小组”.求在甲被抽中的条件下，乙丙也都被抽中的概率；设乙、丙两人中被抽中的人数为X,求X的分布列

6、及数学期望E(X).下面临界值表供参考：p(kE5ko)0.150.100.050.0250.0100.0050.001ko2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8282参考公式：K2n(ad")(ab)(cd)(ac)(bd)命题意图：考查分类变量的独立性检验，条件概率，随机变量的分布列、数学期望等，中等题.17 .已知正四棱柱ABCDAB1clD1中，AB2,AA14.(I)求证：BDA1c;(n)求二面角AAiCDi的余弦值；CP，一(出)在线段CCi上是否存在点P,使得平面AiCDi平面PBD,若存在，求出的值;PC1若不存在，请说明理由2218

7、.已知椭圆C:二41(ab0)的左右焦点分别为Fi,F2,点B(0,J3)为短轴的一个ab端点，OF2B60.(I)求椭圆C的方程；(n)如图，过右焦点F2,且斜率为k(k0)的直线l与椭圆C相交于E,F两点，A为椭圆的右顶点，直线AE,AF分别交直线x3于点M,N，线段MN的中点为P,记直线PF2的斜率为k'.求证：kk'为定值.19 .已知数列an的各项均为正数，记A(n)a1a2Lan,B(n)a2a3Lan1,C(n)a3a4Lan2,n1,2,L.,、.一*._._(i)若a11,a25,且对任意nN，三个数A(n),B(n),C(n)组成等差数列，求数列an的通项公

8、式.(n)证明：数列an是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意nN,三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列.20 .已知函数f(x)2lnxx2ax(aR).(I)当a2时，求f(x)的图象在x1处的切1线方程；(n)右函数g(x)f(x)axm在-，e上有两个手点，求头数m的取值氾围；e(出)若函数f(x)的图象与x轴有两个不同的交点A(x1,0),B(x2,0),且0x1x2,求证：f(迎冷)0(其中f(x)是f(x)的导函数).22014北京市高考压轴卷数学理word版参考答案1.【答案】Dx1_,【解析】-(xxi)1yi,x2,y1,故选D.1 i22 .【答

9、案】B【解析】:f(x)xx3,函数f(x)在R上是减函数且是奇函数，1x1x20,，xx2,f(x1)f(x2),f(x1)f(x2),，f(xjf(x2)0,同理：f(x2)f(x3)0,f(x3)f(x)0,f(x1)f(x2)f(x3)0.3 .【答案】A【解析】该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分一，所以该几何体的25体积为2213-4故选A.224 .【答案】A.【解析】5 .【答案】C【解析】若miln,mila,则n可能在平面a内，故错误;mila,m/n,n±a,又;n±3,a/3,故正确过直线m作平面丫交平面3与直线c,n是两条异面直线

10、，设nCc=O,mH3,my,yA3=cmilc,n3,c3,nCc=O,c/a,n/aa/3；故正确由面面垂直的性质定理：:a，3,an3=mrjn3,n±n1.n±a.故正确故正确命题有三个，故选C6 .【答案】C.【解析】由2，（力+/0得：2E幻+铲/乜1即巧0令网力=力，则当汇0时，甲5）口,即占在（-8,Q）是减函数，如+2。14”（2014-工厂/"刈4），?（-2）=4*2）,F（2Q+-F（-2）0式在（-00）是减函数，所以由囚（2014+»尸（一2：得，2014+元-2,即x42016,故选-7 .【答案】C.【解析】设P （mq

11、n ）, FF/PF2二匚2=(-c-m-n)?(c-m-n)=m2-c2+n2,-m+n2=2c2,n2=2c2-m2.把 P (m, n )代入椭圆2 K 2 a三=1得b2mf+a2n2=a2b2 ,把代入得.aWa"：b2w2c：a2-c22c2,.工亚.<0,a3。一V22又m2",一匕，2a/wj,b2Ta2-2"0,.金迪.a2综上，叵返3a2故选C.8 .【答案】A.【解析】由f(1+x)=f(1-x)可得函数f(x)的图象关于x=1对称，1惶I11直1方程二(A)-1在区间-3,3根的个数等价于f(x)与y=(£)-1图象的交点的

12、个数，1叵1I11»1而函数y=()-1图象可看作y=(上)的图象向下平移1个单位得到，故选A与题意不符，舍a=-14,又由9 .【答案】a=-1.【解析】若a-3=-3,则a=0,此时：A0,1,3,B3,1,1AB1,3,若2a-1=-3,则a=-1,此时：A0,1,3,B3,4,2AB3若a2+1=-3,则a不存在综上可知：a=-110 .【答案】20.【解析】当箭头指向时，计算S和i如下.i=1,S=0,S=1;i=2,S=0,S=2;i=3,S=0,S=3;i=4,S=0,S=4;i=5,S=0,S=5;i=6结束.S=rm=5.当箭头指向时，计算S和i如下.i=1,S=0

13、,S=1;i=2,S=3;i=3,S=6;i=4,S=10;i=5,S=15;I =6结束.S=n=15.n=20.II .【答案】44【解析】由S8s3a4a5a6a7a85a620,解得a6S1111(a1a11)11a611a6442212.【答案】3.【解析】心源)12展开式通项公式为Tr+1亏21yH啦)工由笠若为有理项时，则至二三为整数，r6r=0、6、12,故展开式中有理项共有3项，故答案为：313 .【答案】4.【解析】设过坐标原点的一条直线方程为ykx,因为与函数f(x)2的图象交于P、Q两x点，所以k0,且联列解得pJ,'2k,QJ1,V2k,所以_2*2疝2屋74

14、14 .【答案】32【解析】(1)a=1时，代入题中不等式明显不成立.(2)aw1,构造函数y1=(a-1)x-1,y2=x2-ax-1,它们都过定点P(0,-1).考查函数y1= (a 1)，0),.a>1;考查函数y2=x 2 - ax -1,显然过点0),代入得:解之得:a=,或a=0(舍去).故答案为:3215.【解析】f(x)3sin -4x cos4cos3 . x -sin221 xcos22(I)(nxsin 一2根据正弦定理知:2ac cosBbcosC (2sin A sinC)cosBsin BcosC2sin AcosB sin(B C) sin Acos B而0

15、 A 2316.【解析】2 一(I)由表中数据得 K的观测值242X (16X 128X6 )24X18X20X22f(A)U3 sin 公1 U322622A 一或3ABC为等边三角形2524.582>3.841.5512分所以，据此统计有 95%勺把握认为参加“篮球小组”或“排球小组”与性别有关.4分(II)由题可知在“排球小组”的18位同学中，要选取 3位同学.方法一：令事件A为“甲被抽到”；事件B为“乙丙被抽到“，则p(aa B)C|，P(A)C27C18所以P(B|A)P(AB)c3P(A)C7217X 161136.方法二：令事件C为“在甲被抽到的条件下，乙丙也被抽到”，C2

16、21则p(c)CL(C)C2717X16136.57由题知X的可能值为0, 1, 2.一、C3c35依题意 P(X 0)= 35; P(X 1)C3851笑124；P(X 2)C18C；6C2CM151从而X的分布列为于是E(X)355117。三 十 1X-+2X51 5113.10分12 分X012P355_151175117.【解析】证明：(I)因为ABCDABC1D1为正四棱柱，所以AAi平面ABCD,且ABCD为正方形.1分因为BD平面ABCD,所以BDAA1,BDAC.因为AA1IACA,所以BD平面AiAC.3分因为AC平面A1AC,所以BDAiC.4分(n)如图，以D为原点建立空

17、间直角坐标系Dxyz.则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A(2,0,4),Bi(2,2,4),Ci(0,2,4),Di(0,0,4)5分uuiruuuu所以DiAi(2,0,0),DC(0,2,4).设平面ADiC的法向量n(xi,yi,zi).uuuunD1A0,%0,所以uuui.即6分nDiC02yi4乙0令zii,则yi2.所以n(0,2,i).由(I)可知平面AAC的法向量为7分uuuDB(2,2,0).uuu所以cosDB,n所以二面角A ACD1的余弦值为i05因为二面角AACD1为钝二面角,-i12 -uuruuu(出)设Pd,y2,z2

18、)为线段CCi上一点，且CPPg(0i).uiruuu因为 CP (X2,y2 2,Z2),PG ( X2,2 y2,4 z"i0分所以(X2,y22,Z2)(X2,2y2,4Z2).即X20,y22,Z21，4所以p(02).11分，1设平面PBD的法向量m(x3,y3,z3).uuu4uuu因为DP(0,2,),DB(2,2,0),1uiu4mDP0,2y3Z30,Hr以uuu.即1.mDB02x32y30人1令y31,则X31,z3.一,1所以m(1,1,).2若平面ACD1平面PBD，则mn0.12分13分rr11即20,解得一.23CP1,_一所以当时，平面A1CD1平面P

19、BD.PG314分18.【解析】(I)由条件a2,b点22故所求椭圆方程为1.43(n)设过点F2(1,0)的直线l方程为：yk(x1).yk(x1),由x2V2可得：(4k23)x28k2x4k2120-y-143因为点F2(1,0)在椭圆内，所以直线l和椭圆都相交，即0恒成立.设点E(x1,y)F(x2,y2),则一22一8k4k12xix22,x1x224k34k3-18 -因为直线AE的方程为：yy(x2),x12直线AF的方程为：yy(x2),x22令x3,可得M(3,y1),N(3,y),x12x221所以点P的坐标(3, (2yix12y2x2 2).10分1(工上)°

20、直线PF2的斜率为k'2x12x22311(上上)4x12x221x1y2x2)2(yy2)4x1x22(x1x2)4所以k k为定值1 2 kxix2 3k (x1 x2) 4k4x,x2 2(x1 x2) 412分2k4k24k24k24k24k312一 3k31228k24k28k24k24k313分19.所以 B(n) A(n)C(n) B(n).【解析】(I)因为对任意nN,三个数A(n),B(n),C(n)是等差数列,所以an1a1an2a2,即an2an1a2a14.3分所以数列an是首项为1,公差为4的等差数列.4分所以an1(n1)44n3.5分(n)(1)充分性：若

21、对于任意nN,三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列，则B(n)qA(n),C(n)qB(n).所以C(n)B(n)qB(n)A(n),得an2a2q(an1a)即an2qan1a2qa1.因为当n1时，由B(1)qA(1),可彳#a2qa1,所以an2qan10.因为an0,所以曳Z也q.an1a1即数列an是首项为a1，公比为q的等比数歹U,(2)必要性：若数列an是公比为q的等比数列，则对任意an 1anq.10分因为an 0,所以A(n), B(n),C(n)均大于 0 .于B(n)A(n)a?a3 . an 1aa2.anq(&a2.an)一 q, an11分C(n)B(n)a3a4.an 2q(a2 a3 . an na2a3an 1q,a2a3. an 112分的等比数列.即Bn!=CM=q,所以三个数A(n),B(n),C(n)组成