全国数学2卷2020届高三第二次模拟试题(文科)以及答案

1、绝密启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题卷（全国2卷）（第二次模拟考试）注意事项：1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2 .作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .已知 A =l,则 A B 的元素个数为A . 0B. 2C. 3D. 52 .复数zJ2L(i为虚数单位)，则|匚|= iA. 5 BC .25 D .再23 .函数f (x) =sin2x 2cos x+1的最小正

2、周期为A.兀B. 2兀C. 3兀 D. 4 兀4 .已知向量 a = ( 1,2) , b = (3,1) , c =(x,4 ,若(a -b) _Lc ,则 x =相倒视图A. 1 B . 2 C . 3 D .4 225 .若双曲线xT-yT=1的一条渐近线方程为y = 0，则z =4x-3y的最小值为 y-0A. 0-1C. -2D. -318 .已知 x=ln 兀，y= log 52,夏，则z=eA. xvyvz B . zvxvyC. zvyvxD . yvzvx9.在数学解题中，常会碰到形如“x yy”的结构,1 - xy这时可类比正切的和角公式.如：设a,b是非零实数，且满足A.

3、 4 B15 C10.我国古代名著庄子？天下篇.HIIasin bcosn . . Ji acos- -bsin= tan生 15中有一句名言“一尺之棒,日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度(单位:尺)，则处可分别填入的是A. i：:20,S-1B. i 0)的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M与其准线相交于点N 若 |FM|：I MN = 1 :。5 ,则a的值为1A. 4二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分.13 .已知函数f (x) =2x sin x ,当xb

4、时，函数y=f(x)的最大值为114 .已知函数f(x)是奇函数，当x0时，f(x)=lgx,则f(f()的值为 10015 .已知直三棱柱 ABC A1BG的6个顶点都在球。的球面上，若AB=J6 , AC=/T0 , AB _L AC ,AAi =25,则球。的表面积为16 .在 ABC43,已知（a+b） ： （ c+a） ： （ b+c） =6 ： 5 ： 4,给出下列结论：由已知条件，这个三角形被唯一确定；* ABC-定是钝角三角形；sin A ： sin B - sin C= 7 ： 5 ： 3;15、3若b+c=8,则 ABC的面积是 2 .其中正确结论的序号是 .三、解答题：共

5、70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答 .（一）必考题：（共60分）17 . （12 分）已知等差数列中，a3a7=-16, a4+a6=0（1）求& J的通项公式an ；（2）求3的前n项和Sn.s18 . （12 分）如图所示，四棱锥 S-ABCD43, SA_L底面ABCD： VAB/CD , AD =AC =AB =3, SA = CD =4, P为线段AB上一点，AP =2PB, SQ=QC .（1）证明：PQ平面 SAD;口 C（2）求四面体C-DPQ的体积.19 . （12 分）某餐厅

6、通过查阅了最近 5次食品交易会参会人数 x（万人）与餐厅所用原材料数量 y（袋），得到如下统计表：安次第二次第三次第四次第五次参会人数x（万人）13981012原材料y（袋）3223182428（1）根据所给5组数据，求出y关于x的线性回归方程y=?x+a?；（2）已知购买原材料的费用C （元）与数量t（袋）的关系为C=400t 20,0 t 36(t 亡 N ) 投入380t ,t - 36(t N)又使用的每袋原材料相应的销售收入为700元，多余的原材料只能无偿返还，据悉本次交易大会大约有15万人参加.根据(1)中求出的线性回归方程，预测餐厅应购买多少袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是

7、多少？(注：利润L =销售收入原材料费用)nn” (Xi x)(yi y) “ Xiyi nxy参考公式：i?=卫,?-y-b?X.22一2v (Xi -X) Xi -nx i 1i -1555参考数据：为.=1343, 2x2 =558, y2 =3237 . i 1i 1i 120 . (12 分)22已知椭圆 二+L=1的右焦点为F,设直线l : x=5与 54x轴的交点为E,过点F且斜率为k的直线11与椭圆交于A, B两点，M为线段EF的中点.兀(1)若直线11的倾斜角为 了，求|AB的值；(2)设直线Ag直线1于点N,证明：直线 BNL 1 .21 . (12 分)已知函数 f (x

8、) = x -a ln(x 1).(1)当a =2日,求f(x)的单调区间；(2)当a=1时，关于x的不等式kx2之f(x)在0,十比)上恒成立，求k的取值范围(二)选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22 .选彳4-4:坐标系与参数方程(10分)以直角坐标系原点 O为极点，五轴正方向为极轴，已知曲线的方程为(x-1)2 + y2 =1 ,七；的 方程为x + y = 3 , C3是一条经过原点且斜率大于0的直线.(1)求。与G的极坐标方程；(2)若C.与C；的一个公共点为 a (异于点O) ,与C；的一个公共点为 b,求oa -joB的取

9、值范围.23 .选彳4 5:不等式选讲(10分)111(1)已知 a, b,c= R+且a +b+c =1,证明 一 + 十之9；a b c111(2)已知 a,b,cw R中且abc =1,证明 4a + Jb + Vc W + 十 a b c全国2卷2020届高三第二次模拟数学（文科）试题答案.选择题:123456789101112BAAABBCDDDCD二.填空题：213. 2 sinl14, lg2 15 S球=4#=36冗.16 17解：设an的公差为d,则(a 2d)(a1 6d) = -16, ai 3d ai 5d = 0,即卜 PA 4.5 所以四面体 C-DPQ的体积Vc-

10、dpq= 3 X SLdcpX 2 = 3十响+12d2=-16,解彳1nai=-8,或!ai=8, a1 -4d.d=2 d =-2.(1) an = 2n-10, an= 2n+10.(2) S = 8n + n( n 1) = n( n 9),或 S= 8n n( n 1) = n( n 9). 18解析：s2 (1)证明：由已知得 AP = -AB = 2.3如图，取DS的中点连接AT, TQ,1 由 N 为 PC 中点知 TQ / DC, TQ = 2DC = 2.又 AB/ DC,故 TQLAP, 一m MN /AT,又 AT u 平面 SAD, 从而证得PQ平面SAD ;(2)因

11、为SAL平面ABCD, Q为SC的中点，所以Q到平面ABCD的距离为2SA.如图，取DC的中点E,连接AE.由 AD = AC = 3 得 AE，DC ,则 AE = 5. 1 一 一故 S BCP=2X4X 5=2 5.19【答案】(1) y=2.5x1； (2)餐厅应该购买36袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为11520 元.【解析】(1)由所给数据可得:13 9 8 10 12x =10.45，32 23 18 24 28八5: Xiyi -5xy i 45_2Z X2 -5xi 1y=25,2分a =y bX = 252.5x10.4 = 1 ,1343 -5 10.4 252

12、=2.5 ,558 -5 10.4则y关于x的线性回归方程为 y =2.5x -1(2)由(1)中求出的线性回归方程知，当x=15时，y=36.5,即预计需要原材料 36.5袋,，400t -20,0 :二t 36,t N 因为C =.380t,t _36,t N所以当 t 4+ 5k2 - 5k=xi3=0.直线 BN/ x 轴,即 BNL l .2i.解：(i)当 a=2 时，f( x) = x2ln(x+1),2 x -1f ( x ) =1 一=,当 xW (一1,1 酎,f (x) o, f(x)是增函数函数；所以，f (x)的减区间为(1,1 )增区间为1,依)(i)当a =i时，

13、f (x) = xln(x+i), kx2 至 f(x),即 kx2x+ln(x+i)至 0.设g(x) =kx2 x+|n(x+i), x 0,则只需g(x)之 环0,十)恒成立即可.一.1 x2k (x +1 1 x易知 g( 0) =0, g ( x) =2kx -1 +=,因为 x 0以,所以0.xTxTxT当k0时，g(x)0,此时g(x)在0,+s)上单调递减，所以g(x) g(0) =0,与题设矛盾；.1 ,.ii 一 ,当 0k0,当 x=(0,1+ 一)时，g(x)0,此时g(x)在(0,-1 +工)上单调递减，所以，当 x W(0, -1+工)时, 2k2k2kg(x) g

14、(0) =0,与题设矛盾；1 .当k之一时，g(x)之0,故g(x)在0,+R)上单调递增，所以g(x)之g(0) = 0恒成立. 21综上，k -1.22.解：(1)曲线C的方程为(x1)2+y2=1, C1的极坐标方程为 P=2cose3二的方程为x + y = 3,其极坐标方程为P =cos 二 sin 二(2) C；是一条过原点且斜率为正值的直线，的极坐标方程为8=%联立Ci与C3的极坐标方程，P=2cos日 石-“I,得 P = 2 cosa ,即 OA = 2 cosot 6 =a联立Ci与C2的极坐标方程一 3 cos+sin8,得 P =,cosL sin-.9=a即OB =3cos： - sin ：-冗1 cos、工,4所以 OA -7-3-r 22cosa -cosa -sina = 41OB3OB(-1,1)23.证明:(1)因为111 a b c a b c a b cr r r r abc abcc+ ab a b c a c、,1