抽样分布大学数学教案2

1、内容分布图示抽样分布单正态总体的抽样分布例 1例 2例 4例 5双正态总体的抽样分布例 6例 7 一般总体抽样分布的极限分布内容小结课堂练习习题 5-3内容要点:一、抽样分布有时，总体分布的类型虽然已知，但其中含有未知参数，此时需对总体的未知参数或对总体 的重要数字特征(如数学期望、分差等)进行统计推断，此类问题称为参数统计推断在参数统计 推断问题中，常需利用总体的样本构造出合适的统计量，并使其服从或渐近地服从已知的总体分布统计学中泛称统计量分布为 抽样分布讨论抽样分布的途径有两个 一是精确地求出抽样分布，并称相应的统计推断为 小样本统 计推断；另一种方式是让样本容量趋于无穷，并求出轴样分布的

2、极限分布 然后，在样本容量充分大时，再利用该极限分布作为抽样分布的近似分布，进而对未知参数进行统计推断，称与此相应的统计推断为大样本统计推断这里重点讨论正态总体的抽样分布，属小样本统计范畴；此外也简要介绍一般总体的某些抽样分布的极限分布，属大样本统计范畴。二、 单正态总体的抽样分布 设总体 X 的均值，方差为 样本均值与样本方差E(X) _ ，D(X) _；.2,2样本，X 与 S 分别为该样本的样本均值与样本方差，则有1n(1)2十(Xi)22(n)第三节抽样分布例 3T2，XX2，Xn是取自 X 的一个样本，X 与 S2分别为该样本的，则有而E(S2) =E了nXJjnZ E(Xi2) n

3、E(X2) n-1i二故有下列定理：定理 1 设总体 X N(4；2)，的样本均值与样本方差，则有(1)XN(,；2/n);X -k(2) U - N(0,1).口 7 n定理 2 设总体 X N( J；2),的样本均值与样本方差，则有.72n_ 1。21n(1)Z=2 S= 2CTCT 2(2)X 与 S 相互独立.定理 3 设总体 X N(；2), X-X2, ,Xn是取自 X 的一个n-1 n2XX2，Xn是取自 X 的一个样本，X-X2，Xn是取自 X 的一个样本，、(Xi-X)22(n -1)；X 与 S2分别为该样本X 与 S2分别为该样本 t( n-1).三、双正态总体的抽样分布

4、2 2定理 4 设 XN(MG)与 YN(2,G)是两个相互独立的正态总体，又设 Xi,X2,，Xq 是取自总体 X 的样本，X 与 S2分别为该样本的样本均值与样本方差 YI,Y2/,Yn2是取自总体 YY与 s；分别为此样本的样本均值与样本方差.再记 Sw2是S2与S2的加权平均，即S2(n11)S|2 (n2)S2Sw2 2I / nC2/ n2F(1)g F(ri!-1,r)2-1)；二一捋十2时，T=(X-Y)-(叫2)t(nn2).SwJi / ni+1/ n2四、一般总体抽样分布的极限分布定义 1 设 Fn(x)为随机变量 Xn的分布函数，F(x)为随机变量 X 的分布函数，并记

5、 C(F)为 由 F (x)的全体连续点组成的集合，若nim_Fn(x) =F(X),-XC(F),则称随机变量 Xn依分布收敛于 X,简记为XnT X 或 Fn(X)T F( X)命题设随机变量 X 有连续的分布函数，且有dPXn、X,Yn0 1,则 XnYndX.定理 5 设 X1,X2，Xn为总体 X 的样本，并设总体 X 的数学期望与方差均存在，记为EX -：DX -；2.记统计量UX 卩TX 4Un. ,Tn,n SN n其中 X 与S分别表示上述样本的样本均值与样本方差，则有(1)Fun(x)d：s(x),(2)FTn(x)d0(X),以上 Fun(x), FTn(X)与:(x)分别表示 Un，Tn与标准正态分布的分布函数.注：定理 4 成立的条件只是总体的方差存在，这样当样本的容量n 充分大时，Un和 Tn都近似地服从标准正态分布，因此在 二2已知时，可用 Un对进行统计推断；在 二2未知时，可用 Tn对丿进行统计推断。例题选讲：单正态总体的抽样分布例 1 (讲义例 1)设 X N(21,22), X1,X2/ ,X25为 X 的一个样本，求:(1)样本均值 X 的数学期望与方差；(2) P| X -210.24.(1)由于 X N(21,22),样本容量 n =25,是