椭圆及其标准方程公开课

1、第二章第二章圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程身边的发现身边的发现生活中的椭圆中国国家大剧院中国国家大剧院美国白宫椭圆形办公室美国白宫椭圆形办公室 2008年，年，神舟神舟七七号在进入太空后，先以远地点号在进入太空后，先以远地点347公里、近地点公里、近地点200公里公里的椭圆轨道运行，的椭圆轨道运行，后经过变轨后经过变轨调整为距地调整为距地343公里的圆形轨道公里的圆形轨道.F1F2M观察做图过程：观察做图过程：1绳长应当大于绳长应当大于F1、F2之间的距离。之间的距离。2由于绳长固定，所以由于绳长固定，所以 M 到两个定点的距离和到两个定点的距离和也固定。也固定。1取一条细绳，取一条细绳，2把它

2、的两端固定在板上把它的两端固定在板上的两点的两点F1、F23用铅笔尖（用铅笔尖（M）把细绳）把细绳拉紧，在板上慢慢移动观察拉紧，在板上慢慢移动观察画出的图形画出的图形1 1、数学实验、数学实验2 2、椭圆的定义、椭圆的定义平面上到两个定点平面上到两个定点F1、F2的距离的和（的距离的和（2a）等于）等于常数（大于常数（大于|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆。）的点的轨迹叫椭圆。定点定点F1、F2叫做椭圆的焦点。叫做椭圆的焦点。两焦点之间的距离叫做焦距两焦点之间的距离叫做焦距F1F2MF1F2MPF1F22 2、椭圆上的点到两个焦点的距离之和为常数；记为、椭圆上的点到两个焦点的距离之和为常数；记为

3、2a2a；两焦点之间的距离称为焦距，记为两焦点之间的距离称为焦距，记为2c,2c,即即:F:F1 1F F2 22c.2c.说明1、平面上这一个条件不可少、平面上这一个条件不可少3、2a F1F2注意注意：若：若2a=F1F2轨迹是什么呢？轨迹是什么呢？若若2a2c)线段线段 (2a=2c)不存在不存在 (2a0)，M与与F1和和F2的距离的和等于正的距离的和等于正常数常数2a (2a2c) ，则，则F1、F2的坐标分别是的坐标分别是( c,0)、(c,0) .xF1F2M0y（问题：下面怎样（问题：下面怎样化化简？）简？）aMFMF221222221)(,)(ycxMFycxMFaycxyc

4、x2)()(2222 得方程由椭圆的定义得，由椭圆的定义得，限限制条件制条件：代代入坐标入坐标1)椭圆的标准方程的推导2222y)cx(a2y)cx( )ca(ayax)ca(22222222 22242222xccxa2a)yccx2x(a cx4a4y)cx(a4222 0ca 0ca22 移项：移项：两边平方化简：两边平方化简：再次两边平方：再次两边平方：为使方程变简洁为使方程变简洁 ，两边同除以，两边同除以222()aac222221xyaac得得,bca222 0b 222222bayaxb 1byax2222 ) 0( 12222babxay总体印象：对称、简洁，总体印象：对称、简

5、洁，“像像”直线方程的截距式直线方程的截距式012222babyax焦点在焦点在y轴：轴：焦点在焦点在x轴：轴：1oFyx2FMaycxycx2)()(2222axcyxcy2)()(222212yoFFMx0 12222babyax 0 12222babxay图图 形形方方 程程焦焦 点点F( (c，0)0)F(0(0，c) )a,b,c之间的关系之间的关系c2 2= =a2 2- -b2 2MF1+MF2=2a (2a2c0)定定 义义12yoFFMx1oFyx2FM两类标准方程的对照表注注: :共同点：共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标椭圆的标准方程表示的一定是

6、焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是方程的左边是平方和，右边是1.2x2y不同点：焦点在不同点：焦点在x轴的椭圆轴的椭圆 项分母较大项分母较大. 焦点在焦点在y轴的椭圆轴的椭圆 项分母较大项分母较大.主题主题1.1.探求椭圆标准方程的特点探求椭圆标准方程的特点 11625)2(22yx11)3(2222mymx11616)1(22yx0225259)4(22yx123)5(22yx1.口答：下列方程哪些表示椭圆？口答：下列方程哪些表示椭圆？22,ba 若是若是,则判定其焦点在何轴？则判定其焦点在何轴？并指明并指明 ，写出焦点坐标，写出焦点坐标.?22xy

7、(6)125m16m2、 已知椭圆的方程为：已知椭圆的方程为： ， 请请填空：填空：(1) a=_，b=_，c=_，焦点坐标为，焦点坐标为_，焦距等于，焦距等于_.(2)你能根据方程画出该椭圆吗？你能根据方程画出该椭圆吗？（3）若）若C为椭圆上一点，为椭圆上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，分别为椭圆的左、右焦点， 并且并且CF1=2,则则CF2= _. 1162522yx5436(-3,0)、(3,0)8主题主题2.2.根据椭圆标准方程求参数根据椭圆标准方程求参数12yoFFMx变式：变式： 已知椭圆的方程为：已知椭圆的方程为： ，请，请填空：填空：(1) a=_，b=_，c=_，焦点

8、坐标为，焦点坐标为 ，焦距等于，焦距等于_ .(2)若若M,N为椭圆上点，为椭圆上点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，分别为椭圆的左、右焦点， 线段线段MN经过经过F2，则则 的周长为的周长为=_. 431 622169144xy71MNFxyF1F2MNo例例1.方程方程 ，分别求方程满足，分别求方程满足下列条件的下列条件的m的取值范围的取值范围：表示一个圆；表示一个圆；表示一个椭圆；表示一个椭圆；表示焦点在表示焦点在x轴上的椭圆轴上的椭圆。1m16ym25x22思考题：思考题：例例1、方程、方程 ，分别求方程满足下列条件，分别求方程满足下列条件的的m的取值范围：的取值范围： 表示一个圆；

9、表示一个圆；1m16ym25x22思考题：思考题：29 mmmmm1625016025分析：方程表示圆需要满足的条件：分析：方程表示圆需要满足的条件：例例1、方程、方程 ，分别求方程满足下列条件，分别求方程满足下列条件的的m的取值范围：的取值范围：表示一个圆；表示一个圆；表示一个椭圆表示一个椭圆；1m16ym25x22思考题：思考题：29)1(m292516mm且mmmm1625016025分析：方程表示一个椭圆需要满足的条件：分析：方程表示一个椭圆需要满足的条件：例例1、方程、方程 ，分别求方程满足，分别求方程满足下列条件的下列条件的m的取值范围：的取值范围：表示一个圆；表示一个圆；表示一个椭圆；表示一个椭圆；表示焦点在表示焦点在x轴上的椭圆轴上的椭圆。1m16ym25x22思考题：思考题：29)1(m292516)2(mm且2916m分析：表示焦点在分析：表示焦点在x轴上的椭圆需要满足的条件轴上的椭圆需要满足的条件：mmmm1625016025求椭圆标准方程的方法求椭圆标准方程的方法一种方法一种方法：二类方程二类方程:三个意识三个意识：求美意识，求美意识， 求简意识，前瞻意识求简意识，前瞻意识 1222