初三相似图形思维导图内容111模板

1、比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，那么，这四条 线段叫做成比例线段，简称比例线段.a _c线段 a、b、c、d 成比例，表示为 j “或 a : b= c : d （称其为比例式），其中 a、b、c、d 叫做组成比例的项，a、d 叫做比例外项，b、c 叫做比例内项，线段 d 叫做 a、b、c 的第四 比例项.a_b若作为比例内项是两条相同的线段，即 a： b= b：c或_r，那么线段 b 叫做线段 a 和 c 的比例中项.3r + 4_ y+3 _ z+8例 1、如果_，且 x + y + z = 12，求 x，y，z 的值.x + 4y+3 z+8上解：设1:

2、，贝 U x = 3k 4，y= 2k 3，z = 4k 8.代入 x + y + z = 12 中，得 3k 4 + 2k 3+ 4k 8 = 12，解得 k = 3. x=3k4=3X34=5，y=2k3=2X33=3，z=4k8=4X38=4.比例的基本性质（1）若匚则加=比b d若f上则耳D Ch a b d（4）右 y - - -t- = 一 + 出 44用 H 0 则=.Dd理b + d +b其中（3）称为合比性质，（4）称为等比性质.a-b b-c c-a例 2、已知 a,b,c 分别是 ABC 的三边长，且 B c m ,试猜想 ABC 的形状，并 说明理由.解：因为 a+b+

3、甘 0, 且a+b，因为 aM0,b 工 0,c 千0所以 a-b=0, b-c=0,c-a=0,=- =0a+ h + c即 a=b,b=c,c=a,所以 a=b=c .所以 ABC 是等边三角形.例 3、如图， ABC 是一块锐角三角形余料，边 BC=120mm，高 AD=80mm，要把它加工 成矩形零件，使一边在 BC 上，其余两个顶点分别在边 AB、AC 上，若这个矩形是正方形， 那么边长是多少？若这个矩形的长是宽的两倍，则边长是多少？解：(1 )设正方形边长为 xmm，： PQ / AD，PN / BC，根据平行线分线段成比例得PQ BP PN AP- - 二- - 二-AD AB

4、SC 血，由题意知 PN=PQ=x，AD=80，BC=120，x BP x _AP jU i 工二，两式相加得解得 x=48. 这个正方形的边长为 48mm .(2) 设长方形的宽为 xmm，长为 2xmm，vPQ / AD，PN / BC,根据平行线分线段PQ_BP更湮成比例得一匸二二，x _BP % AP1若PN=2x， PQ=x，AD=80，BC=120 , J .J 一上，两式相加得解得 x=2x BP x AP2若 PN=x， PQ=2x，AD=80，BC=120，两式相加得2x xBPAPAB+卜一=二180 120ABABAB解得 x=30 (mm ) ， 2x=60(mm).x

5、 * 牙 _ BP AP _BP+AP _ AB80 V2OAB AB AB AB24（rrrso,、（伽3）, 2n-（即刑）.77xBP AP AB_ i_ _ |_ _80 1205 ABABA480240- -答：矩形的长为： 宽为； 或长为 60mm，宽为 30mm .相似多边形1 相似图形定义：形状相同的图形称为相似图形.2 相似多边形定义：一般地，各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形相 似多边形对应边的比叫做它们的相似比.3)相似多边形的性质及判定相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例.相似多边形的判定：(1)边数相同；(2)对应角相等；(3)对应边成比例.判定

6、两个多边形相似，这三个条件缺一不可，另外，形状相同的图形也是相似图形.相似三角形的判定1、相似三角形定义：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形叫相似三角形.其中对应边的比称为相似 比，当相似比等于1 时，两个相似三角形全等.2、相似三角形的判定(1) 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.(2) 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.(3) 如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.(4) 如果两个三角形的两组对应边的比相等， 并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.(5) 直角三角形被斜边上的高分成的两个

7、直角三角形相似 例 4、已知，如图，在直角坐标系中，矩形 OABC 的对角线 AC 所在直线解析式为(1) 在 x 轴上存在这样的点 M，使 MAB 为等腰三角形，求出所有符合要求的点 M 的坐标；动点 P 从点 C 开始在线段 CO 上以每秒二；个单位长度的速度向点 O 移动，同时，动 点 Q 从点 O 开始在线段 OA 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 A 移动.设 P、Q 移动的时 间为 t 秒.是否存在这样的时刻使厶 OPQ 与厶 BCP 相似，并说明理由;设 BPQ 的面积为 S，求 S 与 t 间的函数关系式，并求出 t 为何值时，S 有最小值.例 5、正方形 ABCD 边长为

8、4, M、N 分别是 BC、CD 上的两个动点，当 M 点在 BC 上运动时，保持 AM 和 MN 垂直，（1） 证明：二二丄l-d-.?-.1；（2）设同八亍，梯形 ABCN 的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数关系式；当 M 点运动到什么位置时，四边形 ABCN 面积最大，并求出最大面积；（3）当 M 点运动到什么位置时 二匚二：，求 x 的值.BOQ=tA1）22/=1建当 -时，面积 S 有最小值，最小值是 -AB 为腰且 MA=AB 时，由题意可知|陀-：二- ；O：.：-心八二-；，由对称性知卜工：h.假设又 0 BC,求线段 AB 与 BC 的长。解：设 AB=x 二 BC=

9、x55+5,由 AC/AB=BC/AC得 x(x-5V5+5)=(5V5- 5)2x2- 5V5x+5x+50V5-150=0 x=(5V5-5) 5(5-V5)/2x 仁 10, x2=5V5-15(小于 0 舍去)。 AB=10 BC=155V5.相似三角形的性质(1) 相似三角形的对应角相等，对应边成比例.(2) 相似三角形的对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.(3 )相似三角形的周长的比等于相似比.(4 )相似三角形的面积的比等于相似比的平方.例 7、如图， ABC 中，DE / BC，BE 和 CD 相交于点 F，且 SEFC=3SEFD.求 SADE: SABC

10、.n nr-DE/BCt:. hDEMWBF:一 =ABAC/一厂沖 J:BC FC位似1 位似变换的定义若两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线都经过同一个点，则这样的两个图 形叫位似图形，这个点叫位似中心，这时的相似比又称位似比从定义可看出，位似图形一 定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形.2、位似图形的性质位似图形的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.例 8、如图 ABC 中，AB = 80cm，高 CD = 60cm，矩形 EFGH 中 E、F 在 AB 边上，G 在BC 边上，H 在三角形内，且 EF:GF = 2:1(1 )在厶 ABC 内画出矩形 GFEH 的

11、位似形，使其顶点在 ABC 的边上(保留作图痕迹)(2 )求所作的矩形的面积.解：(1)矩形 GFEH 的位似形其长与宽的比为 2:1，设其宽为 x，贝U 长为 2x，由此先找出点 I，然后作 IJ 丄 AB 于点 J,作 IK / AB 交 AC 于点 K，再过点 K 作 KL 丄 AB 于点 L,连接各顶点，四边形 IJLK 即为所求所画图形如下所示：丄+M1- -上 ，解得：x= 24，SC 5亦,二二,两式左右两边分别相加得:根据相似三角形的性质可知:(2)由(1)可知，该矩形的长为 48，宽为 24，3、在平面直角坐标系中，图形经过平移、旋转、轴对称后，各点的坐标会发生相应变化，同

12、样，图形经过位似变换后，点的坐标也会发生相应变化.变化规律为：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，位似比为k,那么位似图形对应点的坐标值的比等于 k 或一 k.警示：（1）这是以原点为位似中心的位似变换中图形坐标的变化规律.（2） 当对应点在同一象限内时，对应点坐标的比（指横坐标与横坐标，纵坐标与纵坐标 的比）等于 k.（3） 当一个点在 x 轴上，它的对应点仍在 x 轴上，且横坐标的比等于 k 或一 k （这时纵 坐标为 0，比值不存在），在 y 轴上的情形类似.例 9、如图， ABC 的三个顶点坐标分别为 A （-2，4）、B （-3，1）、C （-1，1），以坐 标原点 0 为位似中心，相似比为 2，在第二象限内将厶 A