初中数学重点从一道数学压轴题谈起

1、初中数学重点：从一道数学压轴题谈起由于工作的关系，我经常接到一些学生的咨询，反映在考试时，一见数学压轴题就发怵，经常折腾个把小时做不完； 还有的学生以为压轴题一定很难，不敢碰它，所以不如干脆放弃，挪些时间检查，保证基础题少丢分，这也是部分老师的谆谆教导和学生家长的千叮万嘱这种做法是否明智？数学压轴题是在初中主干知识的交汇处命制，是多个基础知识点的融合或深挖，所涉及的知识点多，覆盖面广， 综合性强，对思维能力思维品质的考查要求很高，几乎都涉及到数学学科的基础知识、基本技能、基本思想与基本方法，如三角形的全等、相似；函数解析式 的求法与应用、方程的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想等，所以具有一

2、定难度，绝 大部分学生难以全部完成1 压轴题真的就不能碰吗？下面以 2009 年东营市压轴题为例谈谈我们的看法.题目：(2009 年东营市 24 题)已知正方形 ABCD 中，E 为对角线 BD 上一点，过 E 点 作 EF 丄BD 交 BC 于 F,连接 DF , G 为 DF 中点，连接 EG, CG .(1) 求证：EG=CG;(2)将图中厶 BEF 绕 B 点逆时针旋转 450,如图所示，取 DF 中点 G,连接 EG ,。6.问(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.(3) 将图中厶 BEF 绕 B 点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问(1)中

3、的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？(均不要求证明)已知 Rt ABC 中，AB=AC，在 Rt ADE 中，AD = DE，连结 EC,取 EC 中点 M,连结DM 和 BM.(1) 若点 D 在边 AC 上，点 E 在边 AB 上且与点 B 不重合，如图，求证： BM=DM 且 BM 丄 DM ;这一压轴题改编自广州市2007 年初中学生学业考试数学试题第25 题，原题如下:CAD(2)如图中的 ADE 绕点 A 逆时针转小于 45的角，如图，那么(1)中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明.该题主要考查三角形、图形的旋转、特殊四边形等基础知识，考查空

4、间观念、演绎推理能力命题组给出的参考解答及评分意见如下:解：（1）证明：在 Rt FCD 中， G 为 DF 的中点，1二 CG= FD .1分2同理，在 Rt DEF 中，1八EG=FD . 2 分2 CG=EG . 3 分（2） （1）中结论仍然成立，即 EG=CG 证法一：连接 AG,过 G 点作 MN 丄 AD 于 M，与 EF 的延长线交于 N 点.在厶 DAG 与厶 DCG 中，/ AD=CD，/ADG=ZCDG,DG=DG,DAG DCGAG = CG. . 5 分在厶 DMG 与厶 FNG 中，/DGM =ZFGN,FG=DG，/MDG =ZNFG,DMGFNGMG=NG.在矩

5、形 AENM 中，AM=EN . 6 分在 Rt AMG 与 Rt ENG 中，/ AM=EN, MG=NG, AMGENG AG=EG.EG = CG. 8 分证法二：延长 CG 至 M,使 MG=CG,连接 MF , ME , EC,. 4 分在厶 DCG 与厶 FMG 中，/ FG=DG，/MGF =ZCGD,MG=CG, DCGFMG . MF = CD，/FMG= ZDCG. MF / CD / AB. . 5 分EF MF.图（二）图图（一）在 Rt MFE 与 Rt CBE 中,/ MF=CB, EF=BE ,MFECBE.MEF CEB./MEC= ZMEF+ ZFEC= ZC

6、EB+ZCEF=90 MEC 为直角三角形./ MG = CG,1- EG= MC.2EG CG . .8 分(3) (1)中的结论仍然成立，即 EG=CG .其他的结论还有:EG 丄 CG .10 分分析：解答压轴题，除了要具备扎实的数学知识和良好的的读题习惯外, 的应考能力，要特别关注题目中的特殊图形，如题目中的“正方形的对角线” 关系，如“ EF 丄 BD”；特殊的点“中点 G”等；要找准压轴题的“题眼”于某一个特殊图形中或在于某个思想方法中.该压轴题由 3 个小题组成 第 （1） 题要求证明两条线段相等， 这可以分别在 Rt FCD 和 Rt DEF中利用“直角三角形斜边上的中线等于斜

7、边的一半”得到要证得结论，这一问 是比较简单的，容易上手；第题是改变图中 BEF 的位置，将图中 BEF 绕 B 点逆时针旋转 45o,如图所 示，取DF 中点 G,连接 EG,。6.问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明； 若不成立，请说明理由.这一问稍难，但仍还属于常规题型，证明的过程需要添加辅助线， 通过证两次三角形的全等，借助于等量代换，得到EG CG；第（3）题较难，能力要求较高如果从合情推理的角度出发，可以通过 量一量、猜一猜 的办法解决.在解答时把最容易的第（1）小题的分数完全拿到，中等难度的第（2 ）小题力争拿到全分，最难的第（3 ）小题要争取得到一点分，这样就大大提

8、高了获得数学高分的可能性.另外，从评分标准可以看出，一定要重视分段得分一道压轴题做不出来，不等于一点思路没有，要考虑各种可能由浅入深的分析，知道一步做一步因此，对压轴题要理解多少做多少，最大限度地发挥自己的水平.所以，我要大声疾呼：千万莫轻易向压轴题投降！2还有其他解法吗F 面再给出（2）的另外几种证法:证法三：过点 G 作 MN / AD 交 AB 于 M，交 CD 于 N , GP 丄 AD 于 P,则厶 BMG 与厶 DNG 均是等腰直角三角形，四边形 MNCB 是矩形，四边形 PDNG 是正方形.所以 MG=BM=CN.由于 G 为 DF 的中点， 所以 EM=AM=DN=GN,所以

9、Rt EMG 也 Rt GNG,还要具备较高 ;特殊的位置 “题眼” 一般在7 分DN图（三）C所以EG CG证法四：过 G 作 GM / AD 交 AB 于 M ,因为 EF / AD,DG=GF，所以 AM=ME, 所以 GA=GE.因为四边形 ABCD 是正方形，所以 AD=CD, GD=GD, / AGD=ZCGD , 所以AGDCGD,所以 AG=CG.所以EG CG3 该压轴题能推广吗？将试题中“ E 为对角线 BD 上一点，过 E 点作 EF 丄 BD 交 BC 于 F”变换为“ E 为直线BD 上一点，过 E 点作 EF 丄 BD 交直线 BC 于 F ”，可得：变式 1:已知

10、正方形 ABCD 中，E 为直线 BD 上一点，过 E 点作 EF 丄 BD 交直线 BC 于F，连接 DF , G 为 DF 中点，连接 EG, CG (1) 求证：EG=CG;(2) 将厶 BEF 绕 B 点逆时针旋转 450,取 DF 中点 G,连接 EG, CG.问(1)中的结 论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.(3) 将厶 BEF 绕 B 点旋转任意角度，再连接相应的线段，问(1)中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论?已知正方形 ABCD 中，E 为直线 BD 上一点，过 E 点作 EF 丄 BD 交直线 BC 于 F，连接DF，G 为 DF 中点

11、，连接 EG，CG .(1) 求证：EG=CG;(2) 将厶 BEF 绕 B 点顺时针旋转 450,取 DF 中点 G，连接 EG，CG.问(1)中的结将变式 1 中“将 BEF 绕 B 点逆时针旋转450”,可得：变式 2：450”变换为“将 BEF 绕 B 点顺时针旋转C论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.（3）将厶 BEF 绕 B 点旋转任意角度，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？如果将条件“过 E 点作 EF 丄 BD 交直线 BC 于 F，连接 DF , G 为 DF 中点，连接 EG ,CG.”变换为“过 E 点作 E

12、F 丄 BC 交直线 BC 于 F，连接 DE ,G 为 DE 中点，连接 FG, CG可得：变式 3:DE , G 为 DE 中点，连接 FG, CG .(1) 求证：FG = CG;（2）将厶 BEF 绕 B 点顺（或逆）时针旋转 450,中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立,（3）将厶 BEF 绕 B 点旋转任意角度，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然变式 4 :如图，P 是正方形 ABCD 对角线 AC 上一动点（P 与若将条件“知正方形 ABCD 中，E 为对角线 BD 上一点，过 E 点作 EF 丄 BD 交 BC 于 F , 连接DF , G 为 DF 中点

13、，连接 EG, CG.”变换为“知正方形 ABCD 中，P 为对角线 AC 上一点，过 P 点作 PE 丄 BC 交 BC 于 E, PF 丄 CD 交 CD 于 F.”可得:已知正方形 ABCD 中，E 为直线 BD 上一点，过E 点作 EF 丄 BC 交直线 BC 于 F,连接取 DE 中点 G,连接 FG,。6.问（1）请说明理由.成立？通过观察你还能得出什么结论?由证法四，可得重合），点 E 在射线 BC 上，且 PE=PB .求证： PE=PD ;PE 丄 PD.FACEA、C 不变式 5:如图 1,已知 P 为正方形 ABCD 的对角线 AC 上一点(不与 A、C 重合),PE 丄

14、 BC 于点 E, PF 丄 CD 于点 F.求证：BP=DP ;(2)如图 2， 若四边形 PECF绕点 C旋转任意一个角 度，在旋转过程中是否总有 BP=DP ?若是，请给予证明; 若不是，请用反例加以说明；两条线段在四边形 PECF 绕点 C 按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论.4 能得到什么启示？(1) 回归课本，夯实基础近年来中考数学有许多新题型，多数试题取材于教科书， 试题的构成是在教科书中的例题、练习题、习题的基础上通过类比、加工改造、加强条件或减弱条件、延伸或扩展而成的， 也就是说，教科书中的例题、练习题、习题为编拟中考数学试题提供了丰富的题源所以，我们要回到教材，认真研究教材，发挥教材的示范作用(2) 注重过程，发展能力要亲身经历数学问题的提出过程、解决方法的探索过程、问题结论的深化过程、方法能力的迁移过程积极参与数学思维活动、经历知识产生发展过程，重视动