第1章112（二）导数

1、瞬时瞬时变化率变化率导数导数( (二二) )1.1 明目标、知重点1.1.理解导数的定义，并掌握导数的几何意义理解导数的定义，并掌握导数的几何意义. .2 2. .理解导函数的概念，了解导数的物理意义和实际意义理解导函数的概念，了解导数的物理意义和实际意义填要点、记疑点1.导数导数2.导函数导函数明目标、知重点明目标、知重点填要点、记疑点填要点、记疑点探要点、究所然探要点、究所然当堂测当堂测、查疑缺查疑缺1.导数导数设设函数函数yf(x)在区间在区间(a，b)上有定义，上有定义，x0(a，b)，若，若x无限趋近于无限趋近于0时，时，比值比值无限无限趋近于一个常数趋近于一个常数A，则称，则称f(

2、x)在在xx0处可导，并称该处可导，并称该常数常数A为函数为函数f(x)在在xx0处的导数，记处的导数，记作作 .f(x0)2.导函数导函数明目标、知重点明目标、知重点填要点、记疑点填要点、记疑点探要点、究所然探要点、究所然当堂测、查疑缺当堂测、查疑缺若若f(x)对于区间对于区间(a，b)内任一点都可导，则内任一点都可导，则f(x)在在 也也随着自变量随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作的导函数，记作f(x).f(x)在在xx0处的导数处的导数f(x0)就是导函数就是导函数f(x)在在 处处的函数值的函

3、数值.各点的各点的导数导数xx0探要点、究所然探究点探究点一一 函数函数的导数的导数探究探究点二点二 导数导数概念的应用概念的应用情境导学情境导学明目标、知重点明目标、知重点填要点、记疑点填要点、记疑点探要点、究所然探要点、究所然当堂测、查疑缺当堂测、查疑缺如果一个函数是路程关于时间的函数，那么函数在某点处如果一个函数是路程关于时间的函数，那么函数在某点处的导数就是瞬时速度，这是函数的实际意义，那么从函数的导数就是瞬时速度，这是函数的实际意义，那么从函数的图象上来考察函数在某点处的导数，它具有怎样的几何的图象上来考察函数在某点处的导数，它具有怎样的几何意义呢？这就是本节我们要研究的主要内容意义

4、呢？这就是本节我们要研究的主要内容.探究点探究点一一 函数函数的导数的导数明目标、知重点明目标、知重点填要点、记疑点填要点、记疑点探要点、究所然探要点、究所然当堂测、查疑缺当堂测、查疑缺思考思考1函数的导数和函数的平均变化率有什么关系函数的导数和函数的平均变化率有什么关系？答答函数函数f(x)在点在点x0附近的平均变化附近的平均变化率率当当x0时时， A就是就是f(x)在点在点xx0处的导数，记作处的导数，记作f(x0).明目标、知重点明目标、知重点填要点、记疑点填要点、记疑点探要点、究所然探要点、究所然当堂测、查疑缺当堂测、查疑缺思考思考2导数导数f(x0)有什么几何意义？有什么几何意义？答

5、答f(x0)的几何意义是曲线的几何意义是曲线yf(x)在点在点(x0，f(x0)处处的切线的斜率的切线的斜率. 探究点探究点一一 函数函数的导数的导数明目标、知重点明目标、知重点填要点、记疑点填要点、记疑点探要点、究所然探要点、究所然当堂测、查疑缺当堂测、查疑缺例例1利用定义求函数利用定义求函数f(x)x23x在在x2处的导数处的导数.探究点探究点一一 函数函数的导数的导数解解yf(2x)f(2)(2x)23(2x)2(x)2x. x1，当当x0时时，f (2)1.明目标、知重点明目标、知重点填要点、记疑点填要点、记疑点探要点、究所然探要点、究所然当堂测、查疑缺当堂测、查疑缺反思与感悟反思与感

6、悟求函数求函数yf(x)在在xx0处的导数步骤如下：处的导数步骤如下：求函数值的改变量求函数值的改变量yf(x0 x)f(x0)；求平均求平均变化变化率率 求导数，当求导数，当x0时时， 则则f(x0)A.探究点探究点一一 函数函数的导数的导数明目标、知重点明目标、知重点填要点、记疑点填要点、记疑点探要点、究所然探要点、究所然当堂测、查疑缺当堂测、查疑缺跟踪训练跟踪训练1求函数求函数f(x)3x22x在在x1处的导数处的导数.探究点探究点一一 函数函数的导数的导数解解y3(1x)22(1x)(31221)3(x)24x，3x4，当当x0时时，f(1)4.探究点二探究点二 导数导数概念的应用概念

7、的应用明目标、知重点明目标、知重点填要点、记疑点填要点、记疑点探要点、究所然探要点、究所然当堂测、查疑缺当堂测、查疑缺思考思考1导函数导函数f(x)和和f(x)在一点处的导数在一点处的导数f(x0)有何关系？有何关系？答答函数函数f(x)在一点处的导数在一点处的导数f(x0)是是f(x)的导函数的导函数f(x)在在xx0处的函数值处的函数值.探究点二探究点二 导数导数概念的应用概念的应用明目标、知重点明目标、知重点填要点、记疑点填要点、记疑点探要点、究所然探要点、究所然当堂测、查疑缺当堂测、查疑缺思考思考2f(x0)与与f (x)的区别是什么？的区别是什么？答答f(x)是函数是函数f(x)的导

8、函数，简称导数，是对一的导函数，简称导数，是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与本身，而与x0，x无关；无关；f(x0)表示的是函数表示的是函数f(x)在在xx0处的导数，是对一个点而言的，它是一个确定处的导数，是对一个点而言的，它是一个确定的值，与给定的函数及的值，与给定的函数及x0的位置有关，而与的位置有关，而与x无关无关.探究点二探究点二 导数导数概念的应用概念的应用明目标、知重点明目标、知重点填要点、记疑点填要点、记疑点探要点、究所然探要点、究所然当堂测、查疑缺当堂测、查疑缺思考思考3导数有哪些主要应用导数有哪些主要应用

9、？答答在物理上，导数可以解决一些瞬时速度、瞬时在物理上，导数可以解决一些瞬时速度、瞬时加速度问题；在函数图象上，利用导数可求曲线在加速度问题；在函数图象上，利用导数可求曲线在某点处切线的斜率；在实际问题中，导数可以表示某点处切线的斜率；在实际问题中，导数可以表示事物变化的快慢，解决膨胀率，降雨强度，边际函事物变化的快慢，解决膨胀率，降雨强度，边际函数等数等问题问题.探究点二探究点二 导数导数概念的应用概念的应用明目标、知重点明目标、知重点填要点、记疑点填要点、记疑点探要点、究所然探要点、究所然当堂测、查疑缺当堂测、查疑缺例例2已知已知曲线曲线y 在在点点(1,4)处的切线与直线处的切线与直线l

10、平行，平行，且与且与l的距离的距离等于等于 ，求直线求直线l的方程的方程.解解当当x无限趋近于无限趋近于0时，时， 无限无限趋近于趋近于4.曲线在点曲线在点(1,4)处的切线的斜率为处的切线的斜率为4.明目标、知重点明目标、知重点填要点、记疑点填要点、记疑点探要点、究所然探要点、究所然当堂测、查疑缺当堂测、查疑缺故切线方程为故切线方程为y44(x1)，即，即4xy80.设直线设直线l的方程为的方程为4xyc0，由题意由题意有有c19，c225，所以直线所以直线l的方程为的方程为4xy90或或4xy250.探究点二探究点二 导数导数概念的应用概念的应用明目标、知重点明目标、知重点填要点、记疑点填

11、要点、记疑点探要点、究所然探要点、究所然当堂测、查疑缺当堂测、查疑缺反思与感悟反思与感悟利用导数的几何意义来求曲线切线的斜利用导数的几何意义来求曲线切线的斜率，注意给出的点必须是切点才能直接根据导数求切率，注意给出的点必须是切点才能直接根据导数求切线斜率，否则要先求切点线斜率，否则要先求切点. .探究点二探究点二 导数导数概念的应用概念的应用明目标、知重点明目标、知重点填要点、记疑点填要点、记疑点探要点、究所然探要点、究所然当堂测、查疑缺当堂测、查疑缺跟踪训练跟踪训练2已知函数已知函数yf(x)在点在点( ，3)处的切线方程处的切线方程为为ykx1，则，则f( )_.解析解析由点由点( ，3)

12、在直线在直线ykx1上得上得3k 1，k2 .根据导数的几何意义根据导数的几何意义f( )2 .探究点二探究点二 导数导数概念的应用概念的应用明目标、知重点明目标、知重点填要点、记疑点填要点、记疑点探要点、究所然探要点、究所然当堂测、查疑缺当堂测、查疑缺思考思考4曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？探究点二探究点二 导数导数概念的应用概念的应用答答不一定不一定. 曲线曲线的切线和曲线的切线和曲线不一不一定定只有一个交点，和曲线只有一只有一个交点，和曲线只有一个个交点交点的直线和曲线也不一定相切的直线和曲线也不一定相切.如如图图，曲线的切线是通过逼近将

13、，曲线的切线是通过逼近将割线趋于割线趋于确定位置的直线确定位置的直线.明目标、知重点明目标、知重点填要点、记疑点填要点、记疑点探要点、究所然探要点、究所然当堂测、查疑缺当堂测、查疑缺思考思考5曲线曲线f(x)在点在点(x0，f(x0)处的切线与曲线过某点处的切线与曲线过某点(x0，y0)的切线有何不同？的切线有何不同？答答曲线曲线f(x)在点在点(x0，f(x0)处的切线，点处的切线，点(x0，f(x0)一定一定是切点，只要求出是切点，只要求出kf(x0)，利用点斜式写出切线方程，利用点斜式写出切线方程即可；而曲线即可；而曲线f(x)过某点过某点(x0，y0)的切线，给出的点的切线，给出的点(

14、x0，y0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点.探究点二探究点二 导数导数概念的应用概念的应用明目标、知重点明目标、知重点填要点、记疑点填要点、记疑点探要点、究所然探要点、究所然当堂测、查疑缺当堂测、查疑缺例例3试求过点试求过点P(3,5)且与曲线且与曲线yx2相切的直线方程相切的直线方程.解解探究点二探究点二 导数导数概念的应用概念的应用当当x无限趋近于无限趋近于0时时， 无限无限趋近于趋近于2x，所以所以f(x)2x.设所求切线的切点为设所求切线的切点为A(x0，y0)，因为因为A在曲线在曲线yx2上，所以上，所以y0 ，明目标、知重点明目

15、标、知重点填要点、记疑点填要点、记疑点探要点、究所然探要点、究所然当堂测、查疑缺当堂测、查疑缺又因为又因为A是切点，所以过点是切点，所以过点A的切线的斜率的切线的斜率k2x0.因为所求切线过因为所求切线过P(3,5)和和A(x0，y0)两点，两点，所以斜率可以表示所以斜率可以表示为为故故 2x0，解得，解得x01或或5.从而切点的坐标为从而切点的坐标为A(1,1)或或A(5,25).探究点二探究点二 导数导数概念的应用概念的应用明目标、知重点明目标、知重点填要点、记疑点填要点、记疑点探要点、究所然探要点、究所然当堂测、查疑缺当堂测、查疑缺当当切点的坐标为切点的坐标为A(1,1)时，时，切线的斜

16、率为切线的斜率为k2x02；当切点的坐标为当切点的坐标为A(5,25)时，时，切线的斜率为切线的斜率为k2x010.所以所求的切线有两条，所以所求的切线有两条，方程分别为方程分别为y12(x1)和和y2510(x5)，即即2xy10和和10 xy250.探究点二探究点二 导数导数概念的应用概念的应用明目标、知重点明目标、知重点填要点、记疑点填要点、记疑点探要点、究所然探要点、究所然当堂测、查疑缺当堂测、查疑缺反思与感悟反思与感悟(1)求曲线上某点处的切线方程，可以求曲线上某点处的切线方程，可以直接利用导数求出曲线上此点处的斜率，然后利用直接利用导数求出曲线上此点处的斜率，然后利用点斜式写出切线

17、方程；点斜式写出切线方程；(2)求曲线过某点的切线方程，求曲线过某点的切线方程，要先求出切点坐标，再按要先求出切点坐标，再按(1)完成解答完成解答.探究点二探究点二 导数导数概念的应用概念的应用明目标、知重点明目标、知重点填要点、记疑点填要点、记疑点探要点、究所然探要点、究所然当堂测、查疑缺当堂测、查疑缺跟踪跟踪训练训练3已知曲线已知曲线y2x27，求：，求：(1)曲线上哪一点的切线平行于直线曲线上哪一点的切线平行于直线4xy20?(2)曲线过点曲线过点P(3,9)的切线方程的切线方程.解解明目标、知重点明目标、知重点填要点、记疑点填要点、记疑点探要点、究所然探要点、究所然当堂测、查疑缺当堂测

18、、查疑缺(1)设切点为设切点为(x0，y0)，则则4x04，x01，y05，切点坐标为切点坐标为(1，5).(2)由于点由于点P(3,9)不在曲线上不在曲线上.设所求切线的切点为设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率，则切线的斜率k4x0，故所求的切线方程为故所求的切线方程为yy04x0(xx0).明目标、知重点明目标、知重点填要点、记疑点填要点、记疑点探要点、究所然探要点、究所然当堂测、查疑缺当堂测、查疑缺将将P(3,9)及及y02 7代入上式，代入上式，得得9( 7)4x0(3x0).解得解得x02或或x04，所以切点为，所以切点为(2,1)或或(4,25).从而所求切线方程为从而所求切线方程为8xy150和和16xy390.当堂测、查疑缺12341234明目标、知重点明目标、知重点填要点、记疑点填要点、记疑点探要点、究所然探要点、究所然当堂测、查疑缺当堂测、查疑缺1.已知已知f(x)x210，则，则f(x)在在x 处处的瞬时变化率的瞬时变化率为为_.-3解析解析当当x无限趋近于无限趋近于0时时， 无限无限趋近于趋近于3.明目标、知重点明目标、知重点填要点、记疑点填要点、记疑点探要点、究所然探要点、究所然当堂测、查疑缺当堂测、查疑缺2.函数函数yx 在在x1处的导数为处的导数为_.1234解析解析当当x无限趋近于无限趋近于0时时， 无限无限趋近于趋近于0.0明目