7第七章71非正弦周期函数的傅里叶级数展开式

1、第七章第七章 非正弦周期电流电路的分析非正弦周期电流电路的分析 随着科技的开展，非正弦周期函数的电流和电压愈加普遍。本章介绍应用傅里叶级数和叠加定理分析非正弦周期电流电路的方法，讨论非正弦周期电流、电压有效值和平均功率的计算，简要介绍非正弦周期信号频谱的概念;本章内容：本章内容： 7.1 7.1 非正弦周期函数傅立叶级数展开式非正弦周期函数傅立叶级数展开式7.27.2非正弦周期量的有效值和平均值、平均功率非正弦周期量的有效值和平均值、平均功率7.3 7.3 正弦周期电流电路的稳态分析正弦周期电流电路的稳态分析 对于周期性的鼓励与响应，可以利用傅里叶级数对于周期性的鼓励与响应，可以利用傅里叶级数

2、分解为一系列不同频率的简谐分量分解为一系列不同频率的简谐分量, ,再根据叠加定理。再根据叠加定理。所以线性电路对非正弦周期性鼓励的稳态响应，等于所以线性电路对非正弦周期性鼓励的稳态响应，等于组成鼓励信号的各简谐分量分别作用于电路时所产生组成鼓励信号的各简谐分量分别作用于电路时所产生的响应的叠加。而响应的每一简谐分量可用正弦稳态的响应的叠加。而响应的每一简谐分量可用正弦稳态分析的相量法求得。分析的相量法求得。 1. 1. 非正弦周期电流的产生非正弦周期电流的产生 引起的电流或电压便是非正弦周期电流，引起的电流或电压便是非正弦周期电流， 解决方法是解决方法是？1 1 当电路中有多个不同频率的电源同

3、时作用当电路中有多个不同频率的电源同时作用根本要求：初步了解非正弦信号产生的原因。根本要求：初步了解非正弦信号产生的原因。根据叠加定理，分别计算不同频率的响应，然后将瞬时值结果叠加。根据叠加定理，分别计算不同频率的响应，然后将瞬时值结果叠加。 1. 非非正弦周期电流的产生正弦周期电流的产生 2 非正弦周期电压源或电流源例如方波、锯齿波非正弦周期电压源或电流源例如方波、锯齿波 引起的响应也是非正弦周期量，引起的响应也是非正弦周期量，如何求响应？如何求响应？根本要求：初步了解非正弦信号产生的原因。根本要求：初步了解非正弦信号产生的原因。3 有非线性元件引起的非正弦周期电流或电压。有非线性元件引起的

4、非正弦周期电流或电压。对非正弦周期电流电路的分析方法：谐波分析法对非正弦周期电流电路的分析方法：谐波分析法这些非正弦周期函数首先分解为不同频率的傅里叶级数，然后这些非正弦周期函数首先分解为不同频率的傅里叶级数，然后求解不同频率的正弦鼓励的响应，最后将瞬时值结果叠加求解不同频率的正弦鼓励的响应，最后将瞬时值结果叠加 。响应也是非正弦周期量，响应也是非正弦周期量，如何求响应？如何求响应？ 1. 非非正弦周期电流的产生正弦周期电流的产生 根本要求：初步了解非正弦信号产生的原因。根本要求：初步了解非正弦信号产生的原因。7 7 1 1 非正弦周期函数的傅里叶级数展开式非正弦周期函数的傅里叶级数展开式 周

5、期函数周期函数 f ( t ) = f ( t + kT ) ( k = 1, 2, 3, ) 假设满足狄里赫利条件假设满足狄里赫利条件那么那么f(t)f(t)可展开为傅里叶级数：可展开为傅里叶级数： (2)函数函数f ( t ) 在任一周期内只有有限个极大值和极小值；在任一周期内只有有限个极大值和极小值； (3)函数函数f ( t ) 在任一周期内只有有限个不连续点；在任一周期内只有有限个不连续点； (1)函数函数f ( t ) 在任一周期内绝对可积，即对于任意时刻在任一周期内绝对可积，即对于任意时刻t0，积分，积分存在；存在； Tttdttf00 ) ( 即：)(sin)cos()(10t

6、kbtkaatfkkk1傅里叶级数傅里叶级数 2/2Tf是角频率是角频率, T是是 f ( t )的周期。的周期。其中：其中：TdttfTa00)(1200)(cos)(1cos)(2ttdktftdtktfTaTk200)(sin)(1sin)(2ttdktftdtktfTbTk)(sin)cos()(10tkbtkaatfkkk(7-1)积分区间也可以取积分区间也可以取-T/2,T/2和和-p,p应用相量运算可得：应用相量运算可得：mcoskkkaAmsinkkkbA22mkkkAabarctgkkkba)(sin)cos()(10tkbtkaatfkkk(7-1)cos()(10kkkm

7、tkAAtf(7-2)00Aa 根据周期函数的某些对称性，可以简化傅里叶系数的求解，根据周期函数的某些对称性，可以简化傅里叶系数的求解，分别讨论三种情况：分别讨论三种情况：1f(t)函数为奇函数，函数为奇函数，f(t)=-f(-t); 0)(100TdttfTa0cos)(20TktdtktfTa2/02/2/0sin)(4sin)(2sin)(2TTTTktdtktfTtdtktfTtdtktfTb2f(t)函数为偶函数，函数为偶函数，f(t)=f(-t);)(12/00TdttfTa0sin)(20TktdtktfTb2/00cos)(4cos)(2TTktdtktfTtdtktfTa3f

8、(t)函数为奇谐波函数：函数为奇谐波函数：f(t)=f(t+T/2)； 即：相隔即：相隔半个周期的函数值大小相等，符号相反；也称为半波对半个周期的函数值大小相等，符号相反；也称为半波对称镜对称函数；称镜对称函数；0)(100TdttfTa2/0cos)(40TktdtktfTa2/0sin)(40TktdtktfTbk为奇数为奇数k为偶数为偶数k为奇数为奇数k为奇数为奇数k为偶数为偶数k为奇数为奇数恒定分量（直流分量）恒定分量（直流分量）m1A1k =1 基波；基波； 基波振幅基波振幅 ， 基波初相基波初相k =2,3称为高次谐波称为高次谐波,收敛的，次数越高，振幅越小收敛的，次数越高，振幅越

9、小)cos()(10kkkmtkAAtf将周期函数分解为恒定、基波和各次谐波的方法；将周期函数分解为恒定、基波和各次谐波的方法；竖线为幅值谱线振幅频谱长竖线为幅值谱线振幅频谱长度表示度表示Akm的量值；相邻两谱线的量值；相邻两谱线的间隔等于基波的间隔等于基波。同样相位频谱同样相位频谱,表示各次谐波的初表示各次谐波的初相相 随角频率随角频率k变动的情形。变动的情形。k7 1 非正弦周期函数的傅里叶级数展开式非正弦周期函数的傅里叶级数展开式 所给波形在一个周期内的表达式：所给波形在一个周期内的表达式： 02/)sin(2)cos(22/0TtkTkAdttkATaTk212/00AAdtTaTTt

10、TTtAtf2/, 02/0,)(当当20021( )cos()d( )cos()d()Tkaf tk t tf tk ttT20021( )sin()d( )sin()d()Tkbf tk t tf tk ttT0)2*2*sin(2)2sin(2TTkTkATkTkA02/)cos(2)sin(22/0TtkTkAdttkATbTk)(sin)(10tkbatfkk2T因为因为ak=0，所以：，所以：5sin513sin31sin22)(tttAAtf1) 12sin12122ntnnAA,.6 , 4 , 2, 0,.5 , 3 , 1,2)cos(1 (kkkAkkATtTTtAtf2

11、/, 02/0,)(当当说明说明: 式中引入新的正整数式中引入新的正整数 n 以区别原来的正整数以区别原来的正整数 k 。 周期性方波的波形分解周期性方波的波形分解 直流直流分量分量基波基波分量分量3 次谐次谐波分量波分量1) 12sin12122)(ntnnAAtf（振幅频谱和相位频谱振幅频谱和相位频谱本节小结：本节小结：1 1、频谱图直观而清晰地表示出一个信号包含有哪些谐波、频谱图直观而清晰地表示出一个信号包含有哪些谐波分量，以及各谐波分量所占的比重和其间的相角关系，便分量，以及各谐波分量所占的比重和其间的相角关系，便于分析周期信号通过电路后它的各谐波分量的幅值和初相于分析周期信号通过电路

12、后它的各谐波分量的幅值和初相发生的变化。这对于研究如何正确地传送信号有重要的意发生的变化。这对于研究如何正确地传送信号有重要的意义。义。2 2、奇，偶函数的对称性可能因原点的移动而遭破坏，奇、奇，偶函数的对称性可能因原点的移动而遭破坏，奇谐波函数的对称性不受原点移动的影响。谐波函数的对称性不受原点移动的影响。3 3、适中选择时间起点，可使有些函数具有一种以上的对、适中选择时间起点，可使有些函数具有一种以上的对称性。称性。4 4、对波形的对称性的判断可直观地判断哪些谐波存在，、对波形的对称性的判断可直观地判断哪些谐波存在，哪些谐波不存在。减少付立叶级数展开的工作量。哪些谐波不存在。减少付立叶级数

13、展开的工作量。 1函数函数 f ( t ) 在一个周期内的表达式，直接代入上式。在一个周期内的表达式，直接代入上式。 例例7-2： 计算方波的有效值计算方波的有效值解：解：TdtuTU021根本要求：理解非正弦周期量的有效值和平均功率的定义。根本要求：理解非正弦周期量的有效值和平均功率的定义。TdttfTF02)(12012/02/2AdtdtATTTT2正弦级数正弦级数形式求有效值形式求有效值00m11( )cos()sin()cos()kkkkkkf tAaktbktAAkt设20m011cos() dTkkkAAAkttT有效值：有效值：非正弦周期量的有效值非正弦周期量的有效值 平均功率

14、平均功率200201AdtATT220222)(cos1kmkTkmkAAdttkAT0)cos(100TkmkdttkAATkqdttqAtkATTqmqkmk, 0)cos()cos(1020m011cos() dTkkkAAAkttT1m12m2/2/2AAAA式中、基波、二次谐波基波、二次谐波的有效值的有效值 有效值等于有效值等于恒定分量恒定分量、基波分量基波分量与与各谐波分量各谐波分量有效有效值的值的平方和平方和的的平方根平方根。2221212221AAAAAAokmko有效值：有效值：2正弦级数形式求有效值正弦级数形式求有效值非正弦周期量的有效值非正弦周期量的有效值 平均功率平均功

15、率已知周期电流已知周期电流 ，求其，求其有有效值效值。A)502cos(42. 0)20cos(707. 01 ttiAIIo16. 1)42. 0(21)707. 0(212222/00)(2)(1TTavdttfTtdtfTF平均值平均值 平均值平均值：电工技术中经常遇到上下半周期对称的波，如正、：电工技术中经常遇到上下半周期对称的波，如正、余弦波，奇谐波等，在横轴上下的面积相等，其平均值为零，余弦波，奇谐波等，在横轴上下的面积相等，其平均值为零，在电工实践中，还用到均绝值的概念，其数学式为：在电工实践中，还用到均绝值的概念，其数学式为： 取绝对值是将负值局部反号，即取绝对值是将负值局部反

16、号，即“全波整流，就是全波整流，就是“全波全波整流后的平均值。整流后的平均值。mmTmTmavUUtTUtdtni sUTU64.02cos)1(220220mmUUU0.707211. 12222mmvaUUUU例例7-4:求求正弦电压的平均值，并有效值与平均值之比正弦电压的平均值，并有效值与平均值之比;有效值有效值为为:或或 V VaUaU有效值与平均值之比有效值与平均值之比:解：解：u(t)=Umsint平均值为平均值为: 设一端口网络的端口电压、电流取关联参考方向，那么其设一端口网络的端口电压、电流取关联参考方向，那么其输入的瞬时功率为输入的瞬时功率为 p=u i 平均功率平均功率就是

17、瞬时功率在一周期内的平均值，即就是瞬时功率在一周期内的平均值，即0m1cos()kukkuUUk t设0m1cos()kikkiIIk tTTuidtTpdtTP0011TkkkmkkmkTdttkIItkUUTuidtTP011000 )cos()cos(11非正弦周期量的有效值非正弦周期量的有效值 平均功率平均功率0001dTU ItT0m011cos()dTkikkUIkttT0m011cos()dTkukkIUkttTmm0111cos()cos()dTkkukikkkUIktkttTmm011cos()cos()dTkkukikkUIktkttTmm001cos22kkkkUIU I

18、0m0m0111cos()cos()dTkukkikkkPUUk tIIk ttT10100coskkkkkkPPIUIUUk 、I k为第为第 k 次谐波的有效值，次谐波的有效值， 为第为第 k 次谐波电压与电流间的相位差；次谐波电压与电流间的相位差；kikukkn线性电路在非正弦周期鼓励时的稳态分析步骤：线性电路在非正弦周期鼓励时的稳态分析步骤： 1) 把给定的非正弦周期性鼓励分解为恒定分量和各谐波分量。把给定的非正弦周期性鼓励分解为恒定分量和各谐波分量。 2) 分别计算电路由上述恒定分量和各谐波分量单独作用下的响分别计算电路由上述恒定分量和各谐波分量单独作用下的响应。求恒定分量响应要用计

19、算直流电路的方法；求各次谐波分应。求恒定分量响应要用计算直流电路的方法；求各次谐波分量的响应，那么要应用计算正弦电流电路的方法相量法。量的响应，那么要应用计算正弦电流电路的方法相量法。其中，电感、电容对其中，电感、电容对k次谐波的电抗分别为次谐波的电抗分别为 XL1为基波感抗为基波感抗 XC1为基波容抗 3) 根据叠加定理，把恒定分量和各谐波分量的响应相量转化为根据叠加定理，把恒定分量和各谐波分量的响应相量转化为瞬时表达式后进行叠加。瞬时表达式后进行叠加。根本要求：熟练掌握用叠加定理分析非正弦周期电流电路的方法。根本要求：熟练掌握用叠加定理分析非正弦周期电流电路的方法。非正弦周期电流电路的稳态

20、分析非正弦周期电流电路的稳态分析1LLkkXLkX11CckkXCkX图示电路中图示电路中 . (1)求电流源的端电压求电流源的端电压u及其有效值；及其有效值；(2) 求电流源发出的平均功率。求电流源发出的平均功率。rad/s10,A)cos222(,Vcos220,V1021tituUSSS直流分量作用，电路模型如图直流分量作用，电路模型如图 交流分量作用相量模型如图交流分量作用相量模型如图(c)所所示。节点法求电流源端电压相量示。节点法求电流源端电压相量电流源的端电压及其有效值分别为电流源的端电压及其有效值分别为电流源发出的平均功率电流源发出的平均功率例例75：图图b b图图a a图图c

21、c解：解：VUjjjU90202102010142111解得：U0=10+22=14v VUUUVtuUu4 .242014)90cos(2201422212010WUUP2890cos220214()090cos(2210=+ = 314 rad/s, R1 = R2 = 10 , L1 = 0.106 H，L2，C1F，C2=159 F ，V ) 3sin210 sin22010()(tttus，求，求i1(t)及及i2(t)。例例7 6：解：解： 1 .直流分量电压直流分量电压0A 1A 1010201010IRUIs = 314 rad/s, R1 = R2 = 10 , L1 = 0.106 H，L2