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文档简介
1、上海交通大学工程硕士研究生入学考试数学(高等数学,线性代数)模拟试卷 2009.4 考试时间为180分钟;试卷总分为100分 准考证号码_ 报考领域_ 姓名_ 第一大题得分第二大题得分第三大题得分第四大题得分总 分一 单项选择题(共18分,每小题3分)1. 求极限 = ( )A 1; B0.5; C; D2. 若函数与在实数轴上均可导,且,则必有 ( )A; B;C; D。3. 设是平面上的三点,则三角形ABC 的面积为( )A6; B14; C28; D32。4. 设是非齐次线性方程组的两个不同的解,其中为阶矩阵,则下列选项中一定是对应的特征值的特征向量的为 ( )A ; B; C; D。5
2、. 维向量线性无关的充要条件是 ( )A存在不全为零的数,使; B中任意两个向量都线性无关;C中任意一个向量都不能用其余向量线性表示;D中存在一个向量,它不能用其余向量线性表示。6. 设函数在满足,则( )A是的极大值; B是的极大值;C是的极小值; D是曲线的拐点。二 填空题 (共18分,每小题3分)1.=_。2. 设是任意的二阶可导函数,如果满足,则常数_。3. 二元函数沿圆周上的点的外法线方向的方向导数为零时,则的坐标为_。4. 在平面直角坐标系中,作一抛物线,使之通过三点,则该抛物线的方程为_。5. 如果线性方程组 无解,则_。6. 幂级数的收敛区间为_,其和函数为_。三 计算与应用题
3、(共50分)(要求写出解题的过程,需要画图的,要表明图中符号的意义,只写答案无分)1. (4分)下述论证是否正确?请给出理由。若不正确,你的结论又是什么? 因为运用Lhospitai 法则有 ,而右端的极限显然不存在,所以,左端的极限也不存在,即在时不存在极限。2.(6分)计算二重积分,其中由直线和抛物线所围成的区域。3.(6分)设,其3个特征向量分别为,求的全部特征值,写出矩阵的所有元素的值。4.(6分)从半径为的圆中切去圆心角为的扇形,将余下部分做成一个圆锥体,问为多大时,该锥体的容积最大?5. (6分)一个半径为,密度为(<1)的木质球体投入水中。试用,等参数建立关于球浸入水中部分
4、的深度的方程。又给定,结合球的密度值的特点,并运用连续函数的性质,判断的有根区间。6. (6分)求经过点及直线的平面的方程。7. (8分)一个的地下仓库内的空气中二氧化碳的含量占1.12%。现用一台通风能力为每分钟1500的鼓风机通入内含0.04%的二氧化碳的新鲜空气,还有一台与鼓风机同等能力的排风机在另一端抽出混合的空气。假设鼓入的新鲜空气能立即与仓库内的空气混合,10分钟后,地下仓库内的空气中二氧化碳的百分比降为多少?建立相应的微分方程并求解之。8.(8分)用集成电路构成一个四端网络(如下图所示),两输入()和两输出()分别是电流与电压量。假设这4个量的定量关系为 ,根据测量,。现将100
5、块这样的电路串联起来,初始的安,伏。求和。四. 综合题 (共14分)1(6分)有一农民老汉十分崇敬梁山泊好汉,他准备一批马匹,要送给108位好汉。他到梁山泊后见到一位好汉就送他当时所有马匹的1/4给这位好汉,而这些好汉也很有礼貌,每人接受礼物后,都回送自己的一匹马给老汉。这样,给108位好汉的礼都送完后,老汉还剩下4匹马。试用数列方法建立数学模型,求出老汉原有多少匹马? 2. (8分)A,B两只羊被放在草地上吃草,用一根长10m的绳拴A羊在草地中央的细柱上,它可在以柱为中心,绳长为半径的圆内吃草。而B羊被用11m长的绳子拴在一个建在草地上的圆型仓库的外墙的铁钩上,此绳长度恰好是该圆仓库外墙周长的一半,所以B羊可绕到仓库另一面与拴钩对应的地方。问这两只羊谁的吃草面积更大?用计算出的数据证实你的判断。答案一、 单项选择题1、 D 2、 C3、 B4、 B5、 C6、 D二、 填空题1、2、或者3、4、5、或者6、收敛域,和函数三、计算与应用题1、错。LHospital法则:设函数和在上可导,且。若此时,或者,且存在(可以是有限数或),则成立。现在不存在,LHospital法则不适用。显然,。2、3、4、其中5、将代入,得根据连续函数中值定理,深度在cm到cm之间。6、是直线上一点,因此向量平行于所求平面,设所求平面的法向量是,分别垂直于向量和向量
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