gct交大专业考试交大数学模拟试题

1、上海交通大学工程硕士研究生入学考试数学（高等数学，线性代数）模拟试卷 2009.4 考试时间为180分钟；试卷总分为100分 准考证号码_ 报考领域_ 姓名_ 第一大题得分第二大题得分第三大题得分第四大题得分总 分一 单项选择题（共18分，每小题3分）1. 求极限 = ( )A 1； B0.5； C； D2. 若函数与在实数轴上均可导，且，则必有 （ ）A； B；C； D。3. 设是平面上的三点，则三角形ABC 的面积为（ ）A6； B14； C28； D32。4. 设是非齐次线性方程组的两个不同的解，其中为阶矩阵，则下列选项中一定是对应的特征值的特征向量的为 ( )A ； B； C； D。5

2、. 维向量线性无关的充要条件是 ( )A存在不全为零的数,使； B中任意两个向量都线性无关；C中任意一个向量都不能用其余向量线性表示；D中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示。6. 设函数在满足，则（ ）A是的极大值； B是的极大值；C是的极小值； D是曲线的拐点。二 填空题 （共18分，每小题3分）1.=_。2. 设是任意的二阶可导函数，如果满足，则常数_。3. 二元函数沿圆周上的点的外法线方向的方向导数为零时，则的坐标为_。4. 在平面直角坐标系中，作一抛物线，使之通过三点，则该抛物线的方程为_。5. 如果线性方程组 无解，则_。6. 幂级数的收敛区间为_，其和函数为_。三 计算与应用题

3、（共50分）（要求写出解题的过程，需要画图的，要表明图中符号的意义，只写答案无分）1. (4分）下述论证是否正确？请给出理由。若不正确，你的结论又是什么？ 因为运用Lhospitai 法则有 ，而右端的极限显然不存在，所以，左端的极限也不存在，即在时不存在极限。2.（6分）计算二重积分，其中由直线和抛物线所围成的区域。3.(6分)设，其3个特征向量分别为，求的全部特征值，写出矩阵的所有元素的值。4.（6分）从半径为的圆中切去圆心角为的扇形，将余下部分做成一个圆锥体，问为多大时，该锥体的容积最大？5. (6分）一个半径为，密度为（<1）的木质球体投入水中。试用，等参数建立关于球浸入水中部分

4、的深度的方程。又给定，结合球的密度值的特点，并运用连续函数的性质，判断的有根区间。6. (6分）求经过点及直线的平面的方程。7. (8分）一个的地下仓库内的空气中二氧化碳的含量占1.12%。现用一台通风能力为每分钟1500的鼓风机通入内含0.04%的二氧化碳的新鲜空气，还有一台与鼓风机同等能力的排风机在另一端抽出混合的空气。假设鼓入的新鲜空气能立即与仓库内的空气混合，10分钟后，地下仓库内的空气中二氧化碳的百分比降为多少？建立相应的微分方程并求解之。8.（8分）用集成电路构成一个四端网络（如下图所示），两输入（）和两输出（）分别是电流与电压量。假设这4个量的定量关系为 ，根据测量，。现将100

5、块这样的电路串联起来，初始的安，伏。求和。四. 综合题 （共14分)1（6分）有一农民老汉十分崇敬梁山泊好汉，他准备一批马匹，要送给108位好汉。他到梁山泊后见到一位好汉就送他当时所有马匹的1/4给这位好汉，而这些好汉也很有礼貌，每人接受礼物后，都回送自己的一匹马给老汉。这样，给108位好汉的礼都送完后，老汉还剩下4匹马。试用数列方法建立数学模型，求出老汉原有多少匹马？ 2. (8分）A，B两只羊被放在草地上吃草，用一根长10m的绳拴A羊在草地中央的细柱上，它可在以柱为中心，绳长为半径的圆内吃草。而B羊被用11m长的绳子拴在一个建在草地上的圆型仓库的外墙的铁钩上，此绳长度恰好是该圆仓库外墙周长的一半，所以B羊可绕到仓库另一面与拴钩对应的地方。问这两只羊谁的吃草面积更大？用计算出的数据证实你的判断。答案一、 单项选择题1、 D 2、 C3、 B4、 B5、 C6、 D二、 填空题1、2、或者3、4、5、或者6、收敛域，和函数三、计算与应用题1、错。LHospital法则：设函数和在上可导，且。若此时，或者，且存在（可以是有限数或），则成立。现在不存在，LHospital法则不适用。显然，。2、3、4、其中5、将代入，得根据连续函数中值定理，深度在cm到cm之间。6、是直线上一点，因此向量平行于所求平面，设所求平面的法向量是，分别垂直于向量和向量