06节平面曲线的曲率

1、第6节 曲线的曲率6.1弧长微分 在曲线上取定一点为起点，从到的曲线段长记为，并规定当时。是单调增加的函数。下面求弧长微分。图6.1 如果则 如果则以后经常要用到以上弧长微分公式。6.2曲线的曲率这节讨论曲线的曲率，也就是曲线的弯曲程度。设曲线在的切线与轴正向的夹角为，在的切线与轴正向的夹角为。经过，切线的夹角变化了设和之间曲线的长为。 容易想见，和之间曲线的曲率（弯曲程度）与成正比，与成反比，平均曲率让求极限，就得到曲线在的曲率（弯曲程度）下面我们求出从而得到求曲率的计算公式。用作参数例子：求半径为的圆上一点的曲率。解、上半圆的方程。圆的曲率到处一样，求在处的曲率即可。这一结果是符合实际的。

2、因此我们把称为曲线在点的曲率半径。以为半径，在曲线凹侧，又与曲线在点相切的圆称为曲线在点的曲率圆，其圆心称为曲率中心。【例6.1】 求摆线，的曲率，并讨论在摆线上哪一点曲率最小？最小的曲率是多少？（）解、最小最大。当曲率最小【例6.2】 铁路弯道的缓和曲线铁轨弯道的主要部分是呈圆弧形的（称为主弯道）为了使列车既平稳又安全，除了必须使直道与弯道相切以外，还须考虑轨道曲线的曲率在切点邻近连续的变化（这时列车在该点邻近所受向心力也将连续地变化）我们知道，直线的曲率为0，而半径为的圆弧的曲率是，如果直道与圆弧形弯道直接相切，则在切点处曲率有一跳跃度，只有当充分大，列车在转弯时才显得较为平稳，但是实际铺

3、设铁轨时，由于地形的限制，弯道的半径不可能随意放大，故需要在直道与弯道之间增加一段称为缓和曲线的弯道，以使得铁轨的曲率连续地从零过渡到解、（对题的解析看黑版。） 设过渡曲线为（这是为了下面推算简单）。尽管设计精确一大堆小数，施工也不可能实现一大堆小数。因此作以下近似。，很大，。取，即过渡曲线为。习题3-6A类1. 求下列各曲线在指定点的曲率和曲率半径：(1)在点；*(2)在点2. 求下列曲线的曲率与曲率半径：(1) 抛物线(2) 双曲线*(3) 星形线3. 求下列参数方程给出的曲线的曲率和曲率半径：*(1) 椭圆(2) 圆的渐开线4. 求下列以极坐标表示的曲线的曲率半径：*(1) 心脏线*(2

4、) 双纽线(3) 对数螺线5. 求抛物线在顶点处的曲率圆方程.B类*1. 设为抛物线上任一点处的曲率半径，为该曲线上一定点到的有向弧长（取增长方向与轴正向一致），证明：满足关系2. 设曲线是用极坐标方程给出，且二阶可导，证明它在点处的曲率为总 习 题 三*1. 设满足关系式，且,，则在点处A. 取得极大值 B. 取得极小值C. 在某邻域内单调增加 D. 在某邻域内单调减少2. 设在上,则或的大小顺序是A. B. C. C. *3. 设函数在内连续，其导函数的图形如下图所示，则有 3题图A一个极小值点和两个极大值点B两个极小值点和一个极大值点C两个极小值点和两个极大值点D三个极小值点和一个极大值

5、点4. 设常数,函数在内零点个数为A.3 B.2 C.1 D.0*5. 设时,与是同阶无穷小,则为A.1 B.2 C.3 D.46. 设函数和在上存在二阶导数，且,，证明(1) 在内；(2) 在内至少存在一点，使.7. 设在上函数有连续导数，且，证明：在内有且仅有一个零点8. 设在上可导，且求证：存在，使9. 求证方程恰好有三个不同实根10. 求下列极限：*(1) (2) ，(3) (4) (5) (6) 11. 证明不等式：*(1) 当时，(2) 当时，(3) (4) ，其中12. 在中求出最大的一个数*13. 设在和处取得极值，试确定与的值，并证明是极大值，是极小值14. 设在的某邻域内具有3阶连续导数，如果，试问是否为极值点，为什么？是否为拐点，为什么？*15. 讨论函数的性态，并作出图形16. 设函数在区间是下凸的,则,以及满足的个非负数