20115394王福临数学实验作业微分方程

1、重 庆 大 学学 生 实 验 报 告实验课程名称 数学实验 开课实验室 DS1401 学 院 计算机 年级 2011 专业班 计科6班 学 生 姓 名 王福临 学 号 20115394 开 课 时 间 至 学年第 学期总 成 绩教师签名开课学院、实验室：ds1401 实验时间 ： 2013/4/7课程名称数学实验实验项目名 称微分方程实验项目类型验证演示综合设计其他指导教师何光辉成 绩一、实验目的及意义1 归纳和学习求解常微分方程(组)的基本原理和方法；2 掌握解析、数值解法，并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析；3 熟悉MATLAB软件关于微分方程求解的各种命令；4 通过范例学习建立微

2、分方程方面的数学模型以及求解全过程； 通过该实验的学习，使学生掌握微分方程(组)求解方法（解析法、欧拉法、梯度法、改进欧拉法等），对常微分方程的数值解法有一个初步了解，同时学会使用MATLAB软件求解微分方程的基本命令，学会建立微分方程方面的数学模型。这对于学生深入理解微分、积分的数学概念，掌握数学的分析思维方法，熟悉处理大量的工程计算问题的方法是十分必要的。二、实验内容1 微分方程及方程组的解析求解法；2 微分方程及方程组的数值求解法欧拉、欧拉改进算法；3 直接使用MATLAB命令对微分方程(组)进行求解(包括解析解、数值解)；4 利用图形对解的特征作定性分析；5 建立微分方程方面的数学模型

3、，并了解建立数学模型的全过程。三、实验步骤1开启软件平台MATLAB，开启MATLAB编辑窗口； 2根据微分方程求解步骤编写M文件3保存文件并运行；4观察运行结果(数值或图形)；5根据观察到的结果和体会写出实验报告。四、实验要求与任务根据实验内容和步骤，完成以下实验，要求写出实验报告（实验目的问题数学模型算法与编程计算结果分析、检验和结论）基础实验1、求微分方程的解析解, 并画出它们的图形， 1) y(4)= y, y(0)=y(0)=2,y(0)=y(0)=1代码如下：y=dsolve('D4y=y','y(0)=2,Dy(0)=2,D2y(0)=1,D3y(0)=1

4、','x')y =3/2*exp(x)+1/2*sin(x)+1/2*cos(x)ezplot('3/2*exp(x)+1/2*sin(x)+1/2*cos(x)',-5,5);2) x3y+x2y-4xy=3x2 y(0.1)=y(0.1)=2,y(0.1)=1,代码如下：y=dsolve('(x3)*D3y+(x2)*D2y-4*x*Dy=3*x2','y(0.1)=2,Dy(0.1)=2,D2y(0.1)=1') y = 1/68*(11*17(1/2)+51)*(x+10-2*17(1/2)/exp(1/20*(-

5、1+17(1/2)/x)/(-1+17(1/2)*x*exp(1/2*(-1+17(1/2)/x*t)+1/68*(11*17(1/2)-51)*(2*17(1/2)+x+10)/exp(-1/20*(1+17(1/2)/x)/(1+17(1/2)*x*exp(-1/2*(1+17(1/2)/x*t)-3/4*x*t+2-7/16*x2-17/40*xezplot('1/68*(11*17(1/2)+51)*(x+10-2*17(1/2)/exp(1/20*(-1+17(1/2)/x)/(-1+17(1/2)*x*exp(1/2*(-1+17(1/2)/x*t)+1/68*(11*17

6、(1/2)-51)*(2*17(1/2)+x+10)/exp(-1/20*(1+17(1/2)/x)/(1+17(1/2)*x*exp(-1/2*(1+17(1/2)/x*t)-3/4*x*t+2-7/16*x2-17/40*x',-5,5)2、用向前欧拉公式和改进的欧拉公式求方程 y=y-2x/y, y(0)=1的数值解（0x 1 , h=0.1）要求编写程序。1、分析：解：（1）解析解法得到其精确解：（2） 向前欧拉法： 迭代公式为 ，其中（3）改进欧拉法： 迭代公式为，其中2、Matlab编码x1(1)=0;y1(1)=1;y2(1)=1;h=0.1;for k=1:1

7、0x1(k+1)=x1(k)+h;y1(k+1)=(1-h)*y1(k)+2*h*x1(k)/y1(k);y2(k+1)=(1+h)*y2(k)+(h*h)/2-h*x1(k)/y2(k)-h*(x1(k)+h)/(y2(k)+h); endx=0:0.1:1;y=(2*x+1).(1/2); x1=x1(1:11),y=y(1:11),y1=y1(1:11),y2=y2(1:11),plot(x,y,x1,y1,'k:',x1,y2,'r-') 显示图像及结果：x1 = 0 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0

8、.7000 0.8000 0.9000 1.0000y = 1.0000 1.0954 1.1832 1.2649 1.3416 1.4142 1.4832 1.5492 1.6125 1.6733 1.7321y1 = 1.0000 0.9000 0.8322 0.7971 0.7926 0.8143 0.8557 0.9103 0.9731 1.0402 1.1092y2 = 1.0000 1.0959 1.1847 1.2679 1.3468 1.4222 1.4948 1.5653 1.6340 1.7016 1.7683图中，蓝色曲线是精确解，红色曲线是向前欧拉法曲线，黑色曲线是改进

9、后欧拉法曲线3、水的流出时间一横截面积为常数A，高为H的水池内盛满水，由池底一横截面积为B的小孔放水。设水从小孔流出的速度为v = (2gh)0.5，求在任意时刻的水面高度和将水放空所需的时间。解： 模型假设： 1. 由于水池横截面积为常数A，假设水池为规则的形状，放水口在水池最低处。 2.假设在一段极微小的时间间隔dt内，水池的高度变化速率以及放水口的排水速率是一个不变化的定值。 3.放水速率仅与水池高度有关。 4.水池在放水过程中没有漏水的现象。 5.假设外界环境适宜，在常温下。 定义符号说明：A 水池横截面积 H 水池的高度 B 放水小孔横截面积 v 水从小孔流出的速度 t 时间 h 在

10、时刻t的水面高度 水在一段时间内从小孔流出保持水平前进时所经过的距离 水面高度的变化值 模型建立：根据题意画出示意图，如右图(a)设t时刻的水面高度为h 时的水面高度为有等量关系：如右图（a）中由水面a降到水面b所流去的水量等于从小孔流出的水量。则有关系： 模型求解 （a）两边除以取极限： 求极限转化为微分形式： 因为由题目知小孔流出的速度为 =所以有： 初始条件当t=0时，h=H 它是一个可分离变量的方程。解方程得：移相 两边取积分 求积分得 整理得 最后得： 所以得到水面高度与时间的函数关系：当h=0时，水池里的水流空，则水流空所需时间为： 当 时， h还是为0最终得到的水面高度h与时间t

11、的函数关系为：（即任意时刻的水面高度）则水流空所需时间为： 模型分析与检验： 通过以上方法，我们得到了h随时间t变化的函数关系，当t的取值范围为： 时， t满足函数，该函数是个二次函数，当 时，h=0; 我们就会得到h随时间t变化的大致的关系图：具体化，将数字代入，表达模型：可设H=8; B=1; A=6; g=10;得到函数图为：Matlab代码:H=8;B=1;A=6;g=10;t=0:0.1:A/B*sqrt(2*H/g);h=(sqrt(H)-B/(2.*A).*sqrt(2.*g).*t).*(sqrt(H)-B/(2.*A).*sqrt(2.*g).*t);plot(t,h)xla

12、bel('时间t');ylabel('高度h');title('高度与时间的关系图')对模型进行检验，通过具体实验，来检验模型的正确性。模型中 ，但在实际生活中放水时v是否为呢？我们通过流体力学来证明此问题:证明：因为我们知道流体中满足伯努利方程： 图中 AB两点之间为一条流线根据上图得： 得到 所以小孔防水的速度 由于实际中，只与高度有关，由此我就可以设计一下实验。 实验设计如图： 实验材料：水池，水，塞子，秒表，尺子，笔测量的水池横截面积A为 0.195349 池底一横截面积B为 0.00080384 水池高H为 0.16 m g 取 9.8

13、 实验：准备一个装满水的水池，水池底下有个排水口，开始时是用塞子塞住的，准备就绪了，将塞住迅速拔出，水开始流了，同时开始记时，水池高度分为几段，然后标记出来，当水面到达标记的高度时，记一下时间，分段计时，然后得出数据。我们通过三次实验得出的数据取平均值。通过三次测量，我们得到的数据取平均值，得到下表：时间t (s) 0.00 2.93 6.32 10.14 14.01 18.24 22.52 29.26 41.9高度h(m) 0.16 0.14 0.12 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00二次多项式函数拟合的法方程：拟合的方程为 通过计算得： =0.1605 =-0.0

14、0692 =0.00092数据处理通过Matlab来进行二次拟合：Matlab 代码：x=0.00 2.93 6.32 10.14 14.01 18.24 22.52 29.26 41.9; y=0.16 0.14 0.12 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00;n=2;p=polyfit(x,y,n);xi=linspace(0,40,100);z=polyval(p,xi); plot(x,y,'o',xi,z,'k:')legend('原始数据','2阶曲线')运行结果：p =0.0001 -0.006

15、9 0.1605 运行得到的二次拟合图为： 所以得到的拟合方程为： 则它的高度与时间的关系为：而理论上的方程为：=0.000083 =0.00729 H=0.1600则 理论上的方程高度与时间的关系图为：Matlab的代码：H=0.16;B=0.00080384;A=0.195349;g=9.8;x=0:0.1:A/B*sqrt(2*H/g);y=(sqrt(H)-B/(2.*A).*sqrt(2.*g).*x).*(sqrt(H)-B/(2.*A).*sqrt(2.*g).*x);plot(x,y)拟合方程：实际方程：拟合曲线的均方误差：=0.0002753实验值基本符合理论值，实验图与理论

16、图相近。由于实验的过程测量工具简陋，误差比较大，通过计算实验值与理论值的相对误差约为：5%误差分析：误差造成的原因有，看到水面到达指定高度时的反应时间产生的误差，测量面积，高度时的也存在误差，其他阻力因素产生的误差。 模型的评价与改进1、 模型的优点 通过具体的实验，证明模型的可靠性，使模型与实际更加得贴近。 模型建立在对一些数据分析和具体证明的基础上，同时又对数据进行了科学的处理，提高了它的精确性。2、 模型的缺点 该模型忽视了其他因素，模型具有一定局限性。 实验过程使用的测量工具简陋，实验结果有一定误差。 改进可使用精准的测量工具来进行实验，考虑其他因素对水流的影响，这样可提高模型的精确性。 总结： 我们得到的水面高度h与时间t的函数关系为：（即任意时刻的水面高度）水流空所需时间为： 该模型是在所有因素都是考虑在普通环境下建立起来的，所用数据