2004天津市理工高等数学竞赛真题答案

1、2004年天津市大学数学竞赛试题参考答案（理工类）一、 填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）1设函数，则函数的定义域为 。2设要使函数在区间上连续，则 。3设函数由参数方程所确定，其中f可导，且，则 3 。4由方程所确定的函数在点处的全微分dz = 。5设，其中 f 、具有二阶连续导数，则 。二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）1 已知，则( A )（A） 12； （B）3； （C） 1； （D）0。2 设函数在的一个邻域内有定义，则在

2、点处存在连续函数使是在点处可导的（ C ）（A）充分而非必要条件； （B）必要而非充分条件；（C）充分必要条件； （D）既非充分，也非必要条件。3 设，则F(x)=（ D ）(A) ; (B) ;(C) ; (D) 。4 函数，在点处（ B ）（A）可微； （B）偏导数存在，但不可微；（C）连续，但偏导数不存在； （D）不连续且偏导数不存在。5 设为区间上的正值连续函数，与为任意常数，区域，则（ D ）（A）； （B）； （C）； （D）。三、设函数在点的某邻域内具有二阶导数，且。求：，及。（本题6分）解：因为 ，所以 。由无穷小比较，可知 ，以及 。从而 ，其中，即 。由此可得 ，。并有 。

3、四、计算。（本题6分）解： 五、求函数在点处的100阶导数值。（本题6分）解：方法一：利用莱布尼兹公式，又由归纳法可得。故。所以。方法二：利用泰勒公式，故，。六、设为定义在上，以T > 0为周期的连续函数，且。求。（本题7分）解：对于充分大的x > 0，必存在正整数n，使得。又 ，故有 ，及 。注意到： ，且当时，。由夹逼定理可知。七、在椭球面上求一点，使函数在该点沿方向的方向导数最大。（本题8分）解： 函数的方向导数的表达式为。其中：为方向的方向余弦。因此。于是，按照题意，即求函数在条件下的最大值。设，则由得以及，即得驻点为与。因最大值必存在，故只需比较，的大小。由此可知为所求。

4、八、设正整数，证明方程至少有两个实根。（本题6分）证明：设，则其在区间上连续，且，。因而，当时，必存在，使得。由连续函数的介值定理可知，至少有一点，使得。同理，当时，必存在，使得。由连续函数的介值定理可知，至少有一点，使得。综上可知，方程至少有两个实根。九、设。证明存在，并求之。（本题8分）证明： 证明存在：注意到：对于一切的n恒有，因此知数列有界。又，于是可知与同号，故当时，数列单调递增；当时，数列单调递减。也就是说，数列为单调有界数列，而单调有界数列必有极限。求：设，则，解之得，即。十、计算曲面积分，其中是曲线绕z轴旋转而成的旋转面，其法线向量与z轴正向的夹角为锐角。（本题7分）解： 旋转曲面的方程为。补充曲面其法线向量与z轴正向相反；和其法线向量与z轴正向相同。设由曲面所围空间区域为，则十一、设具有连续的偏导数，且对以任意点为圆心，以任意正数r为半径的上半圆L：，恒有。证明：（本题8分）证明：记上半圆周L的直径为AB，取AB+L为逆时针方向；又命D为AB+L所包围的区域。由格林公式有其中：为某一点。另一方面。于是有，即。命，两边取极限，得到，由的任意性知；且，即。类似。十二、设函数在0，1上连续，且，试证：，使得；，使得。（本题8分）证明： 使用反证法，即假设当时，恒有成立，于是有。因此有 ，。从而有 。于是有，即，这显然与矛盾，故，使得为真。