第12课时抛物线的几何性质(二)

1、 2.4.22.4.2抛物线的简单抛物线的简单几何性质几何性质(2)(2)复习：复习： 1 1、抛物线的几何性质、抛物线的几何性质图图 形形方程方程焦点焦点准线准线 范围范围 顶点顶点 对称轴对称轴elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）)0 ,2(pF)0 ,2(pF )2, 0(pF)2, 0(pF2px 2px 2py 2pyx0yRx0yRy0 xRy 0 xR(0,0)x轴轴y轴轴1方程方程图图形形范围范围对称性对称性顶点顶点焦半径焦半径焦点弦焦点弦的长度的长度 y2 = 2px（p

2、0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）lFyxOlFyxOlFyxOx0 yRx0 yRxR y0y0 xRlFyxO12pxx12()pxx12pyy12()pyy02px02px02py02py关于关于x轴对称轴对称 关于关于x轴对称轴对称 关于关于y轴对称轴对称关于关于y轴对称轴对称（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）一、抛物线的焦点弦性质一、抛物线的焦点弦性质例例1.过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和的焦点的一条直线和抛物线相交抛物线相交,两交点为两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则(1)|AB|=x1+x2

3、+p (2)通径长为通径长为2 p (3)x1x2=p2/4; y1y2=-p2; (4)若直线若直线AB的倾斜角为的倾斜角为,则则|AB|=2p/sin2 (5)以以AB为直径的圆与准线相切为直径的圆与准线相切.(6)焦点焦点F对对A、B在准线上射影的张角为在准线上射影的张角为90o。OyABFpBFAF2117）（xOyABF过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线的焦点的一条直线和抛物线相交相交,两交点为两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则(1)|AB|=x1+x2+p (2)通径长为通径长为2pxOyABF1A1B过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦

4、点的一条直线和抛物线相交的焦点的一条直线和抛物线相交,两两交点为交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则(3)x1x2=p2/4; y1y2=-p2; 证明：思路分析：韦达定理证明：思路分析：韦达定理01ABx当轴时，pppp易得A（ ， ），B（ ，- ），2222224pypx11y-，x；02 AB斜率存在时设为k，（k0）p则直线AB方程为y=k（x- ）22px2代入抛物线方程y22202yppyppkk22消元得y（）即y22yp1y-；222112224yypxpp1xxOyABF过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交的焦点的一条直线和抛物线相交,

5、两两交点为交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则(4)若直线若直线AB的倾斜角为的倾斜角为,则则|AB|=2p/sin2 xOyABF证明证明: 思路分析思路分析|AB|=|AF|+|BF|= 12xxp0190pp20（）时，k不存在，pp易得A（ ， ），B（ ，- ），222pAB =2P=sin 90思考：焦点弦何时最短？思考：焦点弦何时最短？过焦点的所有弦中，通径最短过焦点的所有弦中，通径最短2222222221222122220sin2tan1tan2tan2tan2tantan2tantan2tan, 04tan)2(tantan)2tan90ppppppppxxABpp

6、xxpxppxpxyAB，则，代入抛物线得（：时，直线当AXyOFBl lA1M1B1M过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交的焦点的一条直线和抛物线相交,两两交点为交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则(5)以以AB为直径的圆与准线相切为直径的圆与准线相切.222111证明：如图，AABBAFBFABMM故以故以AB为直径的圆与准线相切为直径的圆与准线相切.XyFAOBA1B1过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交的焦点的一条直线和抛物线相交,两两交点为交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则(6)焦点焦点F对对A、B在准线上

7、射影的张角为在准线上射影的张角为90o。12345600023563618049090AFB 证明：如图，1=， 4=，又 14，1，即01190FBA过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交的焦点的一条直线和抛物线相交,两两交点为交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则pBFAF2117）（ppxxppxxpxxppxxpxxpppxxpxxpxxpxxpxpxpxpxpxpxBFAFpxBFpxAF2)(22)(24)(244)(2)2)(2()2()2(2121112,2212122121221221221212121212121xyOABDFl轴平行与即即代入抛物线方程得：设直线时，当：则直线设xDByyypypypyypmpyypmyxABypyypypxxypxpy