人教版初三上册数学各章节重要知识点概要

1、人教版初三上册数学各章节重要知识点概要第二十一章一元二次方程一、一元二次方程 1、一元二次方程含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a、 b、 c； 其中a 、 b,、c可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.二、降次-解一元二次方程 1降次：把一元二次方程化成两个一元一次方程的过程(不管用什么方法解一元二次方程，都是要一元二次方程降次)2、直接开平方

2、法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如x2=b或的一元二次方程。根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，当b<0时，方程没有实数根。3、配方法：配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有。配方法解一元二次方程的步骤是：移项、配方(写成平方形式)、用直接开方法降次、解两个一元一次方程、判断2个根是不是实数根。4、公式法：公式法是用求根公式，解一元二次方程的解的方法。一元二次方程的求根公式：当>0时，方程有两个实数根。当=0时，方程有两个相等实数根。当0时，方程没有实数根。因式分解法：先将一元二次

3、方程因式分解，化成两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解叫因式分解法。这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。6、一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开平方法虽然三、一元二次方程根的判别式 根的判别式：一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即、0 <=> 有两个不等的实根； =0 <=> 有两个相等的实根；0 <=> 无实根； 四、一元二次方程根与系数的关系 如果方程的两个实数根是，由求根公式可算出，。. 一元二次方程根的判别式: 当ax2+bx+c=0

4、 (a0)时，=b2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题： 五平均增长率问题-应用题的类型题之一 （设增长率为x）： (1) 第一年为 a , 第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2.（2）常利用以下相等关系列方程： 第三年=第三年 或 第一年+第二年+第三年=总和.（3）商品减价销售量增长问题:单利润=售价-进价总利润=总售价-总成本 或者 总利润=单利润X总件数 减价X元 利润= 售价-x-进价(获利-x） 销售件数 = 原来件数+ 减价1元多买件数乘以X（4）图形问题 长方形面积= 长X宽 面积=（长-X）（宽-X）(5)传染（细胞分裂） 第一次一个 一次传染

5、x 第一次后 1+X第二次(1+x)X第二十二章二次函数 1、定义：一般地，如果是常数，那么叫做的二次函数。自变量的取值范围是全体实数。2、二次函数的性质：（1）抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是轴；（2）函数的图像与的符号关系： 当时抛物线开口向上顶点为其最低点；当时抛物线开口向下顶点为其最高点。（3）顶点是坐标原点，对称轴是轴的抛物线的解析式形式为。（P21-12）3、二次函数 的图像是对称轴平行于（包括重合）轴的抛物线。4、二次函数用配方法可化成：的形式，其中。5、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：；。6、抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点。 的符号决定抛物线的开口方向：当时，

6、开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同。 平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线。（P23-9,10）7、顶点决定抛物线的位置。几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同。8、求抛物线的顶点、对称轴的方法 （1）公式法：，顶点是，对称轴是直线。（P26-9） （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线。 （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点。 注意：用配方法求得的顶

7、点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失。9、抛物线中，的作用（P29-例2,1,10） （1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样。 （2）和共同决定抛物线对称轴的位置。由于抛物线的对称轴是直线。，故：时，对称轴为轴；（即、同号）时，对称轴在轴左侧；（即、异号）时，对称轴在轴右侧。 （3）的大小决定抛物线与轴交点的位置。 当时，抛物线与轴有且只有一个交点（0，）： ，抛物线经过原点； ,与轴交于正半轴；,与轴交于负半轴。 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 。10、几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时

8、开口向下（轴）（0,0）（轴）(0, )(,0)(,)()11、用待定系数法求二次函数的解析式（P36- P39 、P43 P50） （1）一般式：。已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式。 （2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。 （3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：。261 （用函数观点看一元二次方程 1. 如果抛物线与x轴有公共点，公共点的横坐标是，那么当时，函数的值是0，因此就是方程的一个根。 2. 二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两

9、个不等的实数根。262 实际问题与二次函数 在日常生活、生产和科研中，求使材料最省、时间最少、效率最高等问题，有些可归结为求二次函数的最大值或最小值。第二十三章 旋转1、概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角旋转三要素：旋转中心、旋转方面、旋转角2、旋转的性质：（1） 旋转前后的两个图形是全等形；（2） 两个对应点到旋转中心的距离相等（3） 两个对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角 3、中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心这

10、两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点（1）关于中心对称的两个图形是全等形。（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 4、中心对称的性质：（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分 （2）关于中心对称的两个图形是全等图形 5、中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心 6、坐标系中的中心对称两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点P（-x，-y）7、关于x轴对称的点的特征：两个点

11、关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P（x，-y）。8、关于y轴对称的点的特征：两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P（-x，y）。第二十四章 圆1、（要求深刻理解、熟练运用）1.垂径定理及推论: 如图：有五个元素，“知二可推三”；需记忆其中四个定理，即“垂径定理”“中径定理” “弧径定理”“中垂定理”. 几何表达式举例： CD过圆心CDAB2.“角、弦、弧、距”定理：（同圆或等圆中）“等角对等弦”； “等弦对等角”； “等角对等弧”； “等弧对等角”；“等弧对等弦”；“等弦对等(优，劣)

12、弧”；“等弦对等弦心距”；“等弦心距对等弦”.几何表达式举例：(1) AOB=COD AB = CD (2) AB = CDAOB=COD（3）3圆周角定理及推论:（1）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；（2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；(如图)（3）“等弧对等角”“等角对等弧”；（4）“直径对直角”“直角对直径”；(如图)（5）如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.(如图)（1） （2）（3） （4）几何表达式举例：（1） ACB=AOB （2） AB是直径 ACB=90°（3） ACB=90° AB是直径（4） CD=AD

13、=BD ABC是Rt 4圆内接四边形性质定理:圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.几何表达式举例： ABCD是圆内接四边形 CDE =ABCC+A =180°5切线的判定与性质定理:如图：有三个元素，“知二可推一”；需记忆其中四个定理.（1）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；（2）圆的切线垂直于经过切点的半径；几何表达式举例：（1） OC是半径OCABAB是切线（2） OC是半径AB是切线OCAB6相交弦定理及其推论:（1）圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等；（2）如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段长的比例

14、中项.（1） （2）几何表达式举例：（1） PA·PB=PC·PD（2） AB是直径PCABPC2=PA·PB7关于两圆的性质定理:（1）相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦；（2）如果两圆相切，那么切点一定在连心线上. （1） （2）几何表达式举例：（1） O1，O2是圆心O1O2垂直平分AB（2） 1 、2相切O1 、A、O2三点一线8正多边形的有关计算:（1）中心角an ，半径RN ， 边心距rn ， 边长an ，内角bn ， 边数n；（2）有关计算在RtAOC中进行.公式举例：(1) an =；(2) 二 定理：1不在一直线上的三个点确定一个圆.2任何正多

15、边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.3正n边形的半径和边心距把正n边形分为2n个全等的直角三角形.三 公式：1.有关的计算：（1）圆的周长C=2R；（2）弧长L=；（3）圆的面积S=R2.（4）扇形面积S扇形 =；（5）弓形面积S弓形 =扇形面积SAOB±AOB的面积.（如图）2.圆柱与圆锥的侧面展开图：（1）圆柱的侧面积：S圆柱侧 =2rh； (r:底面半径；h:圆柱高)（2）圆锥的侧面积：S圆锥侧 =rR. （L=2r，R是圆锥母线长；r是底面半径）四 常识：1 圆是轴对称和中心对称图形.2 圆心角的度数等于它所对弧的度数.3 三角形的外心 Û 两边中垂线

16、的交点 Û 三角形的外接圆的圆心；三角形的内心 Û 两内角平分线的交点 Û 三角形的内切圆的圆心.4 直线与圆的位置关系：（其中d表示圆心到直线的距离；其中r表示圆的半径）直线与圆相交 Û dr ； 直线与圆相切 Û d=r ； 直线与圆相离 Û dr.5 圆与圆的位置关系：（其中d表示圆心到圆心的距离，其中R、r表示两个圆的半径且Rr）两圆外离 Û dR+r； 两圆外切 Û d=R+r； 两圆相交 Û R-rdR+r；两圆内切 Û d=R-r； 两圆内含 Û dR-r.6证直线与圆相

17、切，常利用：“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径” 的方法加辅助线.五、正多边形和圆 1、正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。2、正多边形和圆的关系：只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。六、与正多边形有关的概念 1、正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。2、正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。3、正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。4、中心角：正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。七、正多

18、边形的对称性 1、正多边形的轴对称性：正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。2、正多边形的中心对称性：边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。3、正多边形的画法：先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。八、弧长和扇形面积 1、弧长公式：n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为2、扇形面积公式：其中n是扇形的圆心角度数，R是扇形的半径，l是扇形的弧长。3、圆锥的侧面积：其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的地面半径。第二十五章 概率初步一、概率 1随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件一般的

19、，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性大小有可能不同。(确定事件：事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，)二、概率1.概率：（1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率mn会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）=p。（频率接近概率）（2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现。概率反映可能性大小的一般规律。（3）概率取值范围：0p1 （4）必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=0 （5）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0二、求概率方法一般地，如果在一次实验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件发生的概率为P（A）=mn 。1.列举法：一次实验中，涉及1