九年级数学竞赛平面几何中的定值问题

1、第十七讲 平面几何中的定值问题定值问题的证明或计算，一般是通过图形的定量，如线段和定角来讨论的如果问题中已明确给出定值，那么一般通过线段和角的和、差、倍、分的推导或计算来解决；如果问题中未给出定值，可以利用特殊的方法推测出定值，然后再加以一般化的证明下面举几个例题，说明上述思考方法例1 如图380已知ABC中，AB=AC，P是其底边BC上任一点，设AP交ABC的外接圆于Q点，求证：AP·AQ为定值分析 欲证AP·AQ为定值，我们先用特殊化方法找出这个定值是什么，然后再给以一般化的证明为此，我们取P与B(或C)重合，则Q点也必与B(或C)重合，则AP·AQ应等于AB

2、2(定值)，以下证明这个推测证连结BQ因为AB=AC，所以ABC=ACB又因为ACB=AQB，所以ABC=AQB又因为BAQ=PAB，所以所以 AP·AQ=AB2(定值)注意 如果连结QC，将怎样证明？请读者思考例2 如图381已知ABC中，AB=AC，如果直线EF，MN都垂直于BC，试证明：不论MN，EF怎样平行移动，只要MN，EF之间的距离不变，五边形AMNFE的周长是一个定值分析 从图381中可以发现，如果引ADBC于D，由已知条件可知AB(或AC)，AD，NF，BD(或CD)都为定值，因此，若五边形AMNFE的周长转化为以上各线段的表达式，则可判定其为定值证 作ADBC于D，

3、则所以所以又因为所以所以所以由于ABC为确定的等腰(AB=AC)三角形，所以AD，BD，CD，AB为定值，又因为EF，MN之间距离为定长，所以NF为定值所以五边形AMNFE的周长为定值例3 设OA，OB是已知圆O的任意两条半径，过B引BEOA于E，过E作EPAB于P求证：OP2+EP2为定值(图382)分析 由已知A，B为O上任意两点，如果固定A，让B在圆上移动，当B点移动到半圆中点时，BE变成了半径r，E与O重合，证 延长OP交O于C，D(图382)因为在直角三角形AEB中，AEB=90°，EPAB于P，所以EP2=AP·PB=CP·PD(OC-OP)·

4、;(OD+OP)r2-OP2，所以EP2+OP2=r2(定值)例4 若P为圆O内一定点，过P任作一弦AC，分别过A，C引圆的切线，再过P分别作两切线的垂线，垂足为Q，R(如图384)，分析 根据已知，AC为过圆O内定点P的任意一弦，为了找定值，使AC特殊化，令AC为直径，则P是直径AC上的一个定点，这时由于PC，PQ同时垂直于切线，所以Q，C两点重合同理A，R也重合(图385)于是， 下面证明这个推测结论证 在图384中，作直径AB，连BC，并过OP作直径EF由于ACB=90°，于是ABCAPR又因为ABCPCQ，所以因此 例5 设d1，d2，d3是单位圆O的三条直径，且两两交角为6

5、0°，在圆周上任一点P向d1，d2，d3作垂线，垂足分别为A，B，C证明：ABC为定三角形(图386)分析 因为P为圆O上的动点，所以当P点移动到d1的一个端点D时(P与D重合，见图3-86)，因为DFd3于F，DEd2于E，而FOD=EOD=60°，所以EDF=60证 连OP，作BMOA于M因为PAO=PBO=90°，所以，A，P，B，O四点共圆，且OP=1因此，在ABM与OPB中，MAB=BPO，BMA=OBP=90°，所以AMBPBO，所以 例6 相交的两圆的交点为A，B，经过B点所作的任意直线与两圆的交点分别是C，D，那么ACAD是定值(图387

6、)分析 因CD是过B点的任意直线，为确定ACAD，使CD特殊化，令其垂直于AB，这时因为ABC=CAD=90°，那么AC，AD必定是两圆直径若设d1，d2为两圆直径，则ACAD=d1d2(定值)下面对以上推测做一般性证明证 在图388中，设CD是过B点交两圆于C，D的任一直线，过B作CD交两圆于C，D，且使ABCD于B，连AD，DD，AC，CC，易知ADD=ACC=90°又ADD=ABD =ACC，所以ADDACC，所以ACAD=ACAD=d1d2(定值)练习十七 1如图389直线l1l2l3，A，B是l2上两定点，P，Q分别为l1和l3上的动点求证：四边形PAQB的面积为定值2如图390ABC是正三角形，由其中任一点P，向三边引垂线，设垂足分别为M，N，Q，求证：PM+PN+PQ为定值3已知正方形ABCD，以A为圆心，AB为半径在正方形内作圆别交BC，CD于E，F求