中考讲苏科数学平行线的那些事

1、中考16讲苏科版数学第 8讲平行线的那些事一、填空题（本大题共2小题，共6.0分）1. 如图，点P在y轴正半轴上运动，点C在x轴上运动，过点P且平行于x轴的直线分别交函数y4x和y2x的图象于A，B两点，则ABC的面积等于_2. 如图，平行四边形ABCD的顶点C在y轴正半轴上，CD平行于x轴，直线AC交x轴于点E，BCAC，连接BE，反比例函数ykx(x0)的图象经过点D已知SBCE2，则k_二、解答题（本大题共9小题，共72.0分）3. 如图，点A，B为定点，定直线CDAB，P是CD上一动点（1）证明：PAB的内角和为180°； （2）如图，若点M，N分别为PA，PB的中点，对于下

2、列各值： 线段MN的长；PAB的周长；PMN的面积；直线MN与AB之间的距离；APB的大小，其中不随点P的移动而改变的是_；（填写序号即可）（3）如图，若点E，F分别为PA，PB上的点，EFAB，AB3，PA4，PB5，且FAB是等腰三角形，求PE的长； （4）如图，EFGHCD，PEGA1，BG4，PB12，则FH_4. 如图，把直尺摆放在直角三角板ABC上，C90°，A30°，使直尺和三角板的边分别交于点D，E，F，G若GGD24°，求AFE的度数5. 实验证明平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等  

3、60;  （1）如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射若被b反射出的光线n与光线m平行，且150°，则2_°，3_°    （2）在（1）中，若155°，则3_°；若140°，则3_°    （3）由(1)(2)，请你猜想：当两平面镜a，b的夹角3_°时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a，b的两次反射后，反射光线n与入射光线m平行你能说明理由吗？6. 如图，直线ACBD，连接AB，直线AC，BD及线段AB把

4、平面分成四个部分，规定：线上各点不属于任何部分当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成PAC，APB，PBD三个角（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°）     （1）当动点P落在第部分时，如图，有APBPACPBD，请说明理由；    （2）当动点P落在第部分时，APBPACPBD是否成立？若不成立，试写出PAC，APB，PBD三个角的等量关系（无需说明理由）；    （3）当动点P落在第部分时，探究PAC，APB，PBD之间的关系，写出你发现的结论及点P的位置，并对其中的一

5、个结论加以说明7. 已知三角板ABC如图所示放置，平行线DE，FG分别经过点B，A，AC平分FAB，BC平分DBA     （1）证明：C90°；    （2）若AC3，BC4，求平行线DE与FG之间的距离8. 已知在平面直角坐标系中，一次函数y43x8的图象分别与x轴，y轴相交于点B，A，点C(m,2m10)若SABC2SABO，求m的值9. 如图，已知二次函数yax28ax12(a0)的图象与x轴分别交于A，B两点，与y轴交于点C，点P在抛物线的对称轴上，且四边形ABPC为平行四边形    

6、 （1）求此抛物线的对称轴，并确定此二次函数的解析式；    （2）如图，M为x轴下方的抛物线上一点，若OMP的面积为36，求点M的坐标10. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y43x4的图象分别与x轴，y轴相交于点C，D，四边形ABCD是正方形，反比例函数ykx的图象在第一象限经过点A     （1）求点A的坐标以及k的值；    （2）P是反比例函数ykx(x0)的图象上一点，且PAO的面积为21，求点P的坐标11. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数yx的图象与二次函数yx2bx的图象相交于

7、O，A两点，点A坐标为(3,3)，点M为抛物线的顶点     （1）求二次函数的解析式；    （2）直线OA上是否存在点E，使得点E关于直线MA的对称点F满足SAOFSAOM？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由答案和解析1.【答案】3【解析】【分析】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即在反比例函数y=的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变先设P（0，b），由直线ABx轴，则A，B两点的纵坐标都为b，而A，B分别在反比例函数y=-和y=的图象上，可得到A点坐标为（-

8、，b），B点坐标为（，b），从而求出AB的长，然后根据三角形的面积公式计算即可【解答】解：设P（0，b），直线ABx轴，A，B两点的纵坐标都为b，而点A在反比例函数y=-的图象上，当y=b，x=-，即A点坐标为（-，b），又点B在反比例函数y=的图象上，当y=b，x=，即B点坐标为（，b），AB=-（-）=，SABC=ABOP=b=3故答案为：32.【答案】4【解析】【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质、平行线的性质、三角形的面积公式以及相似三角形的判定及性质，解题的关键是找出点D横纵坐标之积本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，通过相似三角形的边的比例关系找

9、出点D的横纵坐标之积是关键设点D的坐标为（m，n）（m0，n0），则CD=m，OC=n由平行线的性质结合平行四边形的性质即可得出ACD=OEC，DAC=90°=COE，由此即可得出COEDAC，再根据相似三角形的性质即可得出，即，结合三角形的面积公式即可得出mn=2SBCE=4根据点D的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出结论【解答】解：设点D的坐标为（m，n）（m0，n0），则CD=m，OC=n，CDx轴，ACD=OEC四边形ABCD为平行四边形，BCAC，DAAC，AD=BC，DAC=90°=COE，COEDAC，即，mn=BCCESBCE=BCCE=2，mn=

10、2SBCE=4.点D在反比例函数y=（x0）的图象上，k=mn=4故答案为4.3.【答案】（1）证明：CDAB,B=DPB,A=CPA,又CPA+APB+DPB=180°，A+B+APB=180°，即PAB的内角和为180°.（ 2）; （3）解：当AF=AB=3时，85或2或2825;  （4）8【解析】【分析】本题主要考查了三角形的内角和以及三角形中位线的有关计算，难度中等.【解答】（1）见答案.（2）解：点M,N是中点，点A,B是定点，,即MN的长不变；随着点P的而移动PA,PB的长也发生变化，所以PAB的周长不变；直线l和MN之间的距离不变，PM

11、N的面积不变；直线MN的距离也不变，APB的大小随着点P的运动也会变化，故正确.故答案为.4.【答案】解：CGD=24°，C=90°，CDG=90°-24°=66°，DEF=CDG=66°，A=30°，AFE=DEF-A=66°-30°=36°；【解析】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.先根据直角三角形的两锐角互为求出CDG的度数，再根据两直线平行，同位角相等求出DEF，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求出A

12、FE.5.【答案】（1）100；90；（2）90；90；（3）90；理由：当3=90°时，4+6=90°，则1+4+6+7=180°，2+5=360°-(1+4+6+7)=180°，mn(同旁内角互补，两直线平行).【解析】【分析】本题考查了平行线的判定和三角形的内角和.能够读懂题意，结合图形理解题中的信息是解题的关键.【解答】（1）根据反射光线规律可知，1=4=50°，5=180°-1-4=80°。已知n与m光线平行，5+2=180°，2=100°，6=77+6=180°-2=80&

13、#176;，6=40°，3=180°-4-6=90°，故答案为100；90；（2）在(1)中,若1=55°，则5=70°，2=110°，6=35°3=180°-55°-35°=90°，若1=40°，则5=100°，2=80°，6=50°，3=180°-40°-50°=90°，故答案为90；90；（3）由(1)(2)知，当3=90°时，mn，理由：当3=90°时，4+6=90°，

14、则1+4+6+7=180°，2+5=360°-(1+4+6+7)=180°，所以mn(同旁内角互补，两直线平行).6.【答案】解：（1）如图，过点P向左作PQAC，则APQ=PAC，ACBD， PQBD，BPQ=PBD，APB=APQ+BPQ，APB=PAC+PBD；（2）不成立APB+PAC+PBD=360°理由如下：如图，过点P向右作PQAC，则APQ+PAC=180°，ACBD，  PQBD，BPQ+PBD=180°，APQ+PAC+BPQ+PBD=180°×2=360°，APB

15、=APQ+BPQ，APB+PAC+PBD=360°；（3）如图，若点P在直线AB左侧，过点P向右作PQAC，则APQ=180°-PAC，ACBD，PQBD，BPQ=180°-PBD，APB=BPQ-APQ=(180°-PBD)-(180°-PAC)=PAC-PBD，PAC=APB+PBD；若点P在直线AB右侧，过点P向右作PQAC，则APQ=180°-PAC，ACBD，PQBD，BPQ=180°-PBD，APB=APQ-BPQ=(180°-PAC)-(180°-PBD)=PBD-PAC，PBD=APB+P

16、AC【解析】本题考查平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键.（1）过点P向左作PQAC，根据平行公理可得PQBD，然后根据两直线平行，内错角相等可得APQ=PAC，BPQ=PBD，相加即可得解；（2）过点P向右作PQAC，根据平行公理可得PQBD，然后根据两直线平行，同旁内角互补可得APQ+PAC=180°，BPQ+PBD=180°，两式相加即可得解；（3）分点P在直线AB的左侧与右侧两种情况，分别过点P向右作PQAC，根据平行公理可得PQBD，然后根据两直线平行，同旁内角互补用PAC表示出APQ，用PBD表示出BPQ，然后结合图形整理即可得解7.【答案】（1）证明

17、：DEFC，DBA+FAB=180°，AC平分FAB，BC平分DBA，DBC+ABC=12DBA，BAC+FAC=12FAB，BAC+ABC=12DBA+FAB=12×180°=90°，C=180°-（BAC+ABC）=180°-90°=90°，C=90°；（2）解：过点C作MNDE于点M，交FG于点N，过点C作CQAB于点Q ，如图：BC平分DBA，AC平分FAB，CQCMCN，由（1）可知BCA=90°，又AC3，BC4，AB=5，12CQ×AB=12AC×BC，即12&

18、#215;CQ×5=12×3×4CQ=125，MN245，即平行线DE与FG之间的距离为245【解析】此题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，勾股定理，角平分线的定义和性质，三角形的面积，做辅助线构建角平分线利用其性质求出相应的线段长是解题的关键（1）利用平行线的性质得出DBA+FAB=180°，再利用角平分线的定义得出，利用三角形内角和即可证得结论；（2）过点C作MNDE于点M，交FG于点N，过点C作CQAB于点Q ，利用角平分线的性质得出CQCMCN，利用勾股定理和三角形面积公式求出CQ的值，从而求得MN的值，即可求得结果8.【答案】解：点C坐标为

19、(m,2m10)，点C在直线y2x10上，在x轴正半轴上取点D（6，0），如图：则SABD2SABO，过点D作AB的平行线交直线y2x10于点C，则SABCSABD2SABO，DM：y43x8，联立方程y=-2x10y=43x-8，解得C（5.4，0.8），m5.4；在x轴负半轴上取点D(18，0），如图：则SABD2SABO，过点D作AB的平行线交直线y-2x10于点C，则SABCSABD2SABO，DM：y43x24联立方程y=-2x10y=43x25可得C（4.2，1.6），m4.2综上所述，m的值为5.4或4.2【解析】此题考查三角形的面积，一次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式

20、，点的坐标的确定以及分类讨论思想的应用 由点C坐标可得出点C所在的直线，分两种情况进行讨论，当点C在第四象限时，在x轴正半轴上取点D（6，0），从而得出SABD2SABO，过点D作AB的平行线交直线y2x10于点C，即可求得直线DM的函数解析式，连立方程求出点C坐标，即可求得m的值；当C点在第二象限时，同理在x轴负半轴上取点D，求出点C的坐标，从而求得m的值9.【答案】解：（1）对称轴为直线x=-8a2a=4，则PC=4，四边形ABPC为平行四边形，PCAB，PC=AB，PC=AB=4，A（2，0），B（6，0），把点 A（2，0）代入得y=ax2-8ax+12，得4a-16a+12

21、=0，解得，a=1，二次函数解析式为y=x2-8x+12；（2）设M（m，x2-8x+12），其中2m6，如图2，作MNy轴于N，S梯形CPMN-SOCP-SOMN=SOPM，12（4+m）（12-m2+8m-12）-12×4×12-12m（-m2+8m-12）=36，化简得：m2-11m+30=0，解得m1=5，m2=6，点M的坐标为（5，-3）【解析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图像， 图形的性质以及平行四边形的性质.（1）利用二次函数的性质可得对称轴为直线x=4，则PC=4，再根据平行四边形的性质得PC=AB=4，然后利用抛物线的对

22、称性可得A（2，0），B（6，0），然后把把点 A（2，0）代入得y=ax2-8ax+12求出a=1，所以二次函数解析式为y=x2-8x+12； （2）根据二次函数图象上点的坐标特征，设M（m，x2-8x+12），其中2m6，作MNy轴于N，如图2，利用S梯形CPMN-SOCP-SOMN=SOPM得到（4+m）（12-m2+8m-12）-×4×12-m（-m2+8m-12）=36，化简得：m2-11m+30=0，然后解方程求出m即可得到点M的坐标10.【答案】解：（1）由题可得：C（3，0），D（0，4）过A作AEy轴于E，如图（1）：在AED和DOC中，AED=DOCADE=DCOAD=DC，AEDDOC，AE=DO=4，ED=OC=3，A点坐标为（4，7），点A在反比例函数y=kx的图象上，k=28（2）设点P坐标为（x，28x），当点P在OA上方时，如图（2）：过P作PGy轴于G，过A作AFy轴于F，SAPO+SPGO=S四边形PGFA+SAFO，SPGO=SAFO=14，SAPO=S四边形PGFA，有：12（x+4）（28x-7）=21，解得：x1=-8（舍去），x2=2；即点P的坐标为（2，14）；当点P在OA下方时，如图（3）：过P作PHx轴于H，过A作AMx轴于M，SAPO+SPHO=S四边形PHMA+SAMO，S