动点轨迹问题

1、专题_ 动点轨迹问题 直线、圆弧型路径 自查： (2018 广州 25 题)如图 12,在四边形 ABCDK/ B= 60,/ D= 30, AB= BC. (1) 求/ A+Z C的度数； (2) 连接BD探究AD, BD CD三者之间的数量关系，并说明理由； (3) 若AB= 1,点E在四边形ABCD部运动，且满足 AE2 BE2+CE2,求点E运动路径的长度 几何模型 (1) 直线型路径 【定距离判断直线型路径】 当某一动点到某条直线的距离不变时，该动点的路径为直线 . 【定角度判断直线型路径】 当某一动点与定线段的一个端点连接后所成的角度不变，该动点的路径为直线 (2) 圆弧型路径 【

2、用一中同长定圆】 至庞点的距离等于定长的点的集合是圆 【用定弦对定角定圆】 当某条边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的路径是圆弧 典例分析 例 1 如图，矩形 ABCD 中，AB=6, AD=8 点 E 在边 AD 上，且 AE: ED=1: 3 .动点 P 从点 A 出发，沿 AB 运动到 点 B 停止.过点 E 作 EF 丄 PE 交射线 BC 于点 F,设 M 是线段 EF 的中点，则在点 P 运动的整个过程中，点 M 运动 路线的长为 例 2 如图， ADE 都是等腰直角三角形，/ BAC2 DAE=90 , AB=AC=2 0 为 AC 中点，若点 D 在直线 BC 上运动，连接

3、OE 则在点 D 运动过程中，线段 OE 的最小值是为 一 例 3 如图，在等腰 Rt ABC 中，AC=BC=2、2，点 P 在以斜边 AB 为直径的半圆上, 圆从点 A 运动至点 B 时，点 M 运动的路径长是 例 4 在正方形 ABCD 中, AD=2 点 E 从点 D 出发向终点 C 运动，点 F 从 C 出发向终点 连接AE, DF 交于点 P,则点 P 运动的路径长是 三、巩固练习 1. 如图，在 Rt ABC 中，/ ACB=90 , AC=4, BC=3 点 D 是平面内的一个动点，且 点运动过程中，线段 CM 长度的取值范围是M 为 PC 的中点，当点 P 沿半 B 运动，且

4、始终保持 DE=CF. AD=2 M 为 BD 的中点，在 D 2. 如图，等边三角形 ABC 中，BC=6 D E 是边 BC 上两点，且 BD=CE=1 点 P 是线段 DE 上的一个动点，过点 P 分别作 AC AB的平行线交 AB AC 于点 M N,连接 MN AP 交于点 G,则点 P 由点 D 移动到点 E 的过程中，线段 BG 扫过的区域面积为 ?. 3. 如图，以 G(0, 1)为圆心，半径为 2 的圆与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C、D 两点，点 E 为O G 上一动 点，CF 丄AE 于 F.若点 E 从在圆周上运动一周，则点 F 所经过的路径长为 ?.

5、4. 如图，已知点 A 是第一象限内横坐标为 2.、3的一个定点，AC 丄 x轴于点 M,交直线 y= -x 于点 N.若点 P 是线 段 ON 上的一个动点，/ APB=30 , BAL PA 则点 P 在线段 ON 上运动时，A 点不变，B 点随之运动.求当点 P 从 点 O 运动到点 N 时，点 B 运动的路径是 _ . 5. 如图，在边长为 3 的等边三角形 ABC 中，P 为 AC 边上一动点，Q 为线段 PC 上一点，/ PBQ=30 , D 为 BQ 延长 1 线上一点，PD=PB.当点 P 从点 A 运动到 AP=-AC 时，点 D 经过的路线长为 3 6. 如图，在 ABC

6、中，/ ABC=90 , AB=AC=2 线段 BC 上一动点 P从点 C 开始运动，到点 B 停止，以 AP 为边在 AC 的右侧作等边 APQ 则点 Q 运动的路径长为 . 7. (2018 花都区一模 ) 已知，如图 1,正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在边AB、AD的延长线上，且BE DF，连接EF . (1)证明：EF AC ; （2） 将 AEF绕点A顺时针方向旋转，当旋转角 满足0 45时，设EF与射线AB交于点 G,与 AC 题图 交于点H,如图2所示，试判断线段 FH , HG，GE的数量关系，并说明理由 （3） 若将 AEF绕点A旋转一周，连接 DF、BE，并延长EB

7、交直线DF于点P，连接PC，试说明点P的 运动路径并求线段 PC的取值范围 8. （ 2017 越秀区期末 25 题） 如图，在平面直角坐标系 xoy 中，点 A（0,3），B（5,3 ） 点 P（x, 0）是 x 轴正半轴上的一个动点，以 BP 为直 径作圆 Q 交 x轴于点 C,圆 Q 与直线 AC 交于点 D,连接 PD BD,过点 P 作 PE/ BD 交圆 Q 于点 E,连接 BE. （1）求证：四边形 BDPE 是矩形； (2) 设矩形 BDPE 勺面积为 S,试求 S 关于 x的函数关系式，写出 小值若存在，求出这个最大值或最小值，若不存在，请说明理由； (3) 当 0 x5 时

8、，求点 E 移动路线的长. 9. (2018 越秀区期末 25 题) 如图 1 所示，正方形 ABCD 勺边长为 2，点 E、F 分别为边 AB AD 的中点，如图 2 所示，将 AEF 绕点 A 逆时针旋 转( 0 p A 了 12. 如图，直角坐标系中，已知点 A(2，4)，B( 5，0)，动点 P从 B 点出发沿 BO 向终点 O 运动，动点 Q 从 A 点出发沿 AB 向终点 B 运动两点同时出发，速度均为每秒 1 个单位， 设从出发起运动了 x秒. (1) Q 点的坐标为(_) _ (用含x的代数式表示)； (2) 当x为何值时， APQ 是一个以 AP 为腰的等腰三角形 (3) 记

9、 PQ 的中点为 G.请你直接写出点 G 随点 P, Q 运动所经过的路线的长度. 13. 已知 ABC 是等腰直角三角形， AC=BC=2 D 是边 AB 上的一动点(A、B 两点除外)，将 CAD 绕点 C 按逆时 针方向旋转角a得到 CEF 其中点 E 是点 A 的对应点，点 F 是点 D 的对应点. (1) 如图 1,当a =90时，G 是边 AB 上一点，且 BG=AD 连接 GF 求证：GF/ AC (2) 如图 2,当 90 WaW 180。时，AE 与 DF 相交于点 M 当点 M 与点 C、D 不重合时，连接 CM 求/ CMD 勺度数； 设 D 为边 AB 的中点，当a从

10、90变化到 180时，求点 M 运动的路径长. 3 14.已知抛物线 G : y ax2 bx a 2 (1 )求抛物线Ci的解析式，并写出其顶点 (2)如图 1,把抛物线 G 沿着直线 AC 方向平移到某处时得到抛物线 C2,此时点 A, C 分别平移到点 D, E 处.设 点 F 在抛物线 G 上且在 x轴的上方，若 DEF 是以 EF 为底的等腰直角三角形，求点 F 的坐标. (3)如图 2,在(2)的条件下，设点 M 是线段 BC 上一动点，ENL EM 交直线 BF 于点 N,点 P 为线段 MN 的中点, 当点 M 从点 B向点 C 运动时：tan / ENM 勺值如何变化请说明理

11、由；点 M 到达点 C 时，直接写出点 P 经过的0 经过点 A (1,0 )和 B (-3,0 ) C 的坐标； 路线长 15.如图 1，已知正方形 OABC 勺边长为 2,顶点A C 分别在 x、y 轴的正半轴上，M 是 BC 的中点.P（0, m）是线 段 OC 上一个动点（点 C 除外），直线 PM 交 AB 的延长线于点 D. （1）求点 D 的坐标（用含 m 的代数式表示）； 当厶 ADP 是等腰三角形时，求 m 的值； 设过点 P、M B 的抛物线与 x轴的正半轴交于点 E,过点 O 作直线 ME 的垂线，垂足为 H（如图 2）.当点 P 从 原点 O 向点 C 运动时，点 H 也随之运动.请直接写出点 H 所经过的路径长（不写解答过程）. 16问题探究： (1) 请在图的正方形 ABCD 内，画出使/ APB=90 的一个点，并说明理由. (2) 请在图的正方形 ABC(含边)，画出使/ APB=60 的所有的点 P,并说明理由. 问题解决： (3) 如图，现在一块矩形钢板 ABCD AB=4, BC=3 工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的 APB 和厶 CP D 钢板，且/ APB=/ CPD=60 度.请你在图中画出符合要求的点和， 并求出 APB 的面积(结果保