二项式定理问题的题型与解题思路

1、二项式定理问题的题型与解题思路江苏省盐都县时杨中学 杨红霞 （224035）下面通过对一些近几年高考题的分析，谈谈与二项式定理有关的问题的题型与解题思路。一、 求展开式中的某一项在二项展开式中，有时存在一些特殊的项，如常数项、有理项、系数最大的项等等，这些特殊项的求解主要是利用二项展开式的通项公式T。1、 求常数项例1 、（08年江西卷） 展开式中的常数项为（ ） A1 B46 C4245 D4246解：先求的展开式中的通项再求的展开式中的通项两通项相乘得：，令=0，得4r=3k，这样一来，（r，k）只有三组：（0，0），（3，4），（6，8）满足要求。故常数项为：例2、（08年辽宁卷15）已

2、知的展开式中没有常数项，且2n8，则n=_分析：本小题主要考查二项式定理中求特定项问题。依题对中，只有时，其展开式既不出现常数项，也不会出现与、乘积为常数的项。故填5。（备用题）（05年湖北卷）的展开式中整理后的常数项等于 。解：因为，所以常数项为正中间的项 练习题：1）、（08年山东卷）（x-）12展开式中的常数项为（ ）（A）-1320（B）1320（C）-220 (D)2202）、（08年全国二7）的展开式中的系数是（ ）A B C3 D4 答案：1）（C）；2）（B）。2、 求正整数次幂的项数（或有理项）例3、（05年江西卷）的展开式中，含x的正整数次幂共有（）（）4 项 (B)3项

3、(C)2项 (D)1项解：欲求原式展开式中含x的正整数次幂的项数，即求使x的指数为正整数的r 的个数，而当r=0,6,12时，x的指数为正整数，即共三项，故选二、 求展开式中的某一项的二项式系数或项的系数此类问题仍然是利用二项展开式的通项公式来加以求解，但在解题过程中要注意一些常用方法和数学思想的应用。1、 直接利用二项式定理例4、（08年四川卷）展开式中的系数为_。分析：此题是二项式定理的再现，是一道中档略偏难的常规题学生容易在准确性和快捷性上有缺陷解：项的系数是（备用题）：（05年山东卷）已知的展开式中各项系数和为128，则展开式中的系数是( )(A)7 (B)-7 (C)21 (D)-2

4、1分析：由已知条件可得：，n=7，令7-=-3，则有：r=6所以二项展开式中系数是：故选C。2、 运用数列知识例5（05年浙江卷）的展开式中x3项的系数是（ ）（A）74 （B）121 （C）-74 （D）-121分析：先求和：分子的展开式中x4的系数，所以选D。三、 求二项式中的参数例5、（08年广东卷）已知（是正整数）的展开式中，的系数小于120，则 解：按二项式定理展开的通项为，我们知道的系数为，即，也即，而是正整数，故只能取1。（备用题）（05年广东卷）已知(xcos+1)5的展开式中x2的系数与的展开式中的x2系数相同，则cos= 解：(xcos+1)5的展开式中x2的系数为，的展开式中的x2系数为。依题意知，=，即10cos2 ，所以cos=。（备用题）（05年重庆卷）若展开式中含项的系数与含项的系数之比为-5，则n等于(A)4 (B)6 (C)8 (D)10解：，所以当n-2r=-2时，r=；当n-2r=-4时，r=；由题意知：，化简得：，2n+8=5n-10，n=6。故选B。四、 求多项式系数和在涉及到求多项式系数的和问题时，通常可以根据题目的结构特征，利用二项式定理加以解决。例6、（05年天津卷）设，则 。解，所以。