二重积分的计算一

1、第二节 二重积分的计算(一)分布图示 利用直角坐标系计算二重积分 关于积分限的确定 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 交换二重积分次序的步骤 例8 例9 例10 例11 例12 例13 利用对称性和奇偶性化简二重积分的计算 例14 例15 例16 例17 内容小结 课堂练习 习题10 -2 返回内容要点 一、在直角坐标系下二重积分的计算对型区域：，有 (2.2)对型区域：，有 (2.3) 二、交换二次积分次序的步骤（1）对于给定的二重积分 先根据其积分限画出积分区域D（图9-2-13）；（2）根据积分区域的形状，按新的次序确定积分区域D的积分限（3）写出结果 三、利用对称性和奇偶性化简

2、二重积分的计算利用被积函数的奇偶性及积分区域D的对称性，常会大大化简二重积分的计算. 在例5中我们就应用了对称性来解决所给问题. 如同在处理关于原点对称的区间上的奇（偶）函数的定积分一样，在利用这一方法时，要同时兼顾到被积函数的奇偶性和积分区域D的对称性两方面.例题选讲在直角坐标系下二重积分的计算例1（E01）计算其中D是由直线及所围成的闭区域.解一 如图，将积分区域视为型,解二 将积分区域视为型,例2 计算, 其中是由直线和所围成的闭区域.解 如图,既是型,又是型.若视为型,则原积分若视为型，则其中关于的积分计算比较麻烦，故合理选择积分次序对重积分的计算非常重要.例3（E02）计算二重积分其

3、中D是由抛物线及直线所围成的闭区域.解 如图,既是型，也是型.但易见选择前者计算较麻烦，需将积分区域划分为两部分来计算，故选择后者.例4（E03）计算 其中D由及y轴所围.解 画出区域的图形.将表成型区域,得因的原函数不能用初等函数表示.所以我们要变换积分次序. 将表成型区域,得例5（E04）计算其中D为.解 例6 计算二重积分 其中区域是由, 所围成的矩形.解 如图，因为是矩形区域,且所以例7（E05）求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积.解 成的立体的体积. 及利用立体关于坐标平面的对称性, 只要算出它在第一卦限部分的体积然后再乘以8即可.如图.易见所求立体在第一卦限部分可

4、以看成是一个曲顶柱体，它的底为它的顶是柱面于是,故所求体积为 交换二次积分次序的步骤例8 交换二次积分的积分次序.解 题设二次积分的积分限: 可改写为:所以 例9（E06）交换二次积分的积分次序.解 题设二次积分的积分限: 可改写为:所以 例10（E07）证明其中a、b均为常数, 且.证 等式左端二次积分的积分限:可改写为所以例11（E08）交换二次积分的积分次序. 解 题设二次积分的积分限:可改写为 所以 原式例12 交换二次积分的积分次序. 解 题设二次积分的积分限:由 原式例13 计算积分 解 不能用初等函数表示,先改变积分次序. 题设二次积分的积分限:可改写为，所以利用对称性和奇偶性化简二重积分的计算例14（E09） 计算其中积分区域由曲线与所围成.解 令因为关于轴对称,且故 例15 计算 其中解法一 先对积分,积分区域故解法二 先对积分，积分区域故解法三 利用对称性,因为积分域关于轴对称，且函数关于是奇函数,所以又 故例16（E10）计算 其中区域解 因为关于轴和轴对称，且关于或关于为偶函数注: 若直接在上求二重积分，则要繁琐很多.例17 证明不等式 其中证 因为关于对称，所以，故