中考数学压轴题破解策略专题角含半角模型

1、专题15角含半角模型破题策略 1 等腰直角三角形角含半角如图，在ABC中，ABAC，BAC90°，点D，E在BC上且DAE45°（1） BAEADECDA （2）BD2CE2DE2 证明（1）易得ADCBBADEAB，所以BAEADECDA （2）方法一（旋转法）：如图1，将ABD绕点A逆时针旋转90°得到ACF，连结EF 则EAFEAD45°，AFAD，所以ADEFAE （ SAS ） 所以DE EF 而CFBD，FCEFCAACE90°，所以BD2 CE2CF2CE2EF2DE2 方法二（翻

2、折法）：如图2，作点B 关于AD 的对称点F，连结AF，DF，EF 因为BADEACDAFEAF，又因为BADDAF，则FAECAE，AFABAC，所以FAECAE（SAS） 所以EF EC 而DFBD， DFEAFD AFE90°，所以BD2 EC2 FD2 EF2 DE2 【拓展】如图，在 ABC 中，ABAC，BAC90°，点D 在BC 上，点E 在BC 的延长线上，且DAE45°，则BD2CE2DE2 可以通过旋转、翻

3、折的方法来证明，如图： 将等腰直角三角形变成任意的等腰三角形：如图，在ABC中，ABAC，点D，E在BC上，且DAEBAC，则以BD，DE，EC为三边长的三角形有一个内角度数为180°BAC 可以通过旋转、翻折的方法将BD，DE，EC转移到一个三角形中，如图： 2 正方形角含半角如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，EAF45°，连结EF，则： （1）EFBEDF;（2）如图2，过点A作AGEF于点G，则AGAD;（3）如图3，连结BD交AE于点H，连结FH 则FHAE （1）如图4，将ABE绕点A逆时针旋转90°得到ADI证明 则IAFEAF

4、45°，AIAE，所以AEFAIF（SAS），所以EFIFDIDFBEDF （2）因为AEFAIF，AGEF，ADIF，所以AGAD （3）由HAFHDF45°可得A，D，F，H 四点共圆，从而AHF180°ADF90°，即FHAE 【拓展】如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CB，DC 的延长线上，EAF45°，连结EF，则EFDFBE 可以通过旋转的方法来证明.如图: 如图，在一组邻边相等、对角互补的四边形ABCD 中，AB=AD，BAD+C=180 °，点E，F分别在BC、CD上，EAF=BAD，连结E

5、F，则EF=BE+DF.可以通过旋转的方法来证明.如图:例题讲解例1 如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，EAF45°.（1） 试判断BE、EF、FD之间的数量关系.（2） 如图2，在四边形ABCD中，BAD90°，ABADBD180°，点E、F分别在BC、CD上，则当EAF 与BAD 满足关系时，仍有EFBEFD. （3）如图3在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD.已知ABAD 80m，B60°，ADC120°，BAD150°，道路BC，CD上分别有景点 E，F，且AEADDF40（1）m现要在E、F

6、之间修一条笔直的道路，求这条道路EF的长（结果取整数，参考数据：1.41，1.73）解： （1）由“正方形内含半角模型”可得EFBEFD（2）BAD2EAF，理由如下：如图4，延长CD至点G，使得DGBE连结AG.易证ABEADG（SAS）.所以AEAG， 即EFBEDFDGDFGF. 从而证得AEFAGF（ SSS）所以EAFGAFEAGBAD. （3）如图5，将ABE绕点A逆时针旋转1 50°至ADG连结AF由题意可得BAE60°所以ABE 和ADG均为等腰直角三角形.过点A作 AHDG于点H则DHAD40m，AH AD40 m.而DF40（1）m.所以EAFGAF45

7、°.可得EAFGAF（SAS） 所以EF GF80m+40（l）m109. 2m. 例2如图，正方形ABCD的边长为a，BM、DN分别平分正方形的两个外角，且满足MA N45°连结MC、NC、MN （1）与ABM相似的三角形是，BMDN（用含有a的代数式表示）； （2）求MCN的度数； （3）请你猜想线段BM、DN和MN之间的等量关系，并证明你的结论.解：（1）NDA，. （2）由（1）可得，所以易证CBMNDC45°，所以BCMDNC则BCMDNC，所以MCN =360°一BCD一BCM一DCN 270° （DNC+DCN） 270°

8、;（180°DNC） 135°（3） ，证明如下：如图，将ADN绕点A顺时针旋转90°，得到ABE，连结EM. 易得AEAN. MAEMAN45°，EBM90°， 所以A MEAMN.（SAS）. 则MEMN 在RtBME中， 所以. 倒3 如图，在四边形ABCD中，ADBC，BCD90°，ABBCAD，DAC45°，E为CD上一点，且BAE45°.若CD4，求ABE的面积.解：如图1过点A作CB的垂线，交CB的延长线于点F.由DAC=45°，ADC90°，可得ADCD.所以四边形ADCF为正方

9、形.从而AF FC4令BCm，则AB4m，BF4m在RtAFB中，有16（4m）2一（4m）2所以AB5，BF3如图2将ADE绕点A逆时针旋转90°至AFG.易证AGHAEB令DEn，则CE4 n，BEBG3n在RtBCE中，有1+（4n）2（3n）2，解得n.所以BG.从而.进阶训练 1.如图，等边ABC的边长为1，D是ABC外一点且BDC120°，BDCD，MDN 60°，求AMN的周长 AMN的周长是2【提示】如图，延长AC至点E，使得CE BM，连结DE .先证BMDCED，再证MDNEDN即可.2如图，在正方形ABCD中，连结BD，E、F是边BC，CD上的点，CEF的周长是正方形ABCD周长的一半，AE、AF分别与BD交于M、N，试判断线段BM、DN和MN之间的数量关系，并证明解：BM2DN2MN2【提示】由CEF周长是正方形ABCD周长的一半，想到“正方形角含半角”，从而旋转构造辅助线解决问题（如图1），证AEFAGF，得MANBAD4，然后，再由“等腰直角三角形含半角”（如图2）即可证得3如图，在ABC中，ACB90°，点D在边AB上，DEBC于点E，且DEBC，点F在边AC上，连结BF交DE于点G，若DBF45